Целые точки на эллиптической кривой

[nnosipov]

Решите уравнение $y^2=x^3+2x^2+3x+1$ в целых числах.

P.S. Ответ занятный. А доказательство элементарное. Но вот насколько простое --- это и хотелось бы выяснить.

[scwec]

Уравнение приводим к виду $x^2+y^2=(x+1)^3$. Для уравнения $x^2+y^2=z^3$ известно общее решение в натуральных числах $x,y,z$, где $x,y$ взаимно простые.
А имено $x=r^3-3rs^2, y=3r^2s-s^3, z=r^2+s^2$, где $r,s$ - натуральные числа, $\gcd{(r,s)}=1$ и $rs$- четное число.
У нас $z=x+1$, следовательно, $r^3-3rs^2=r^2+s^2-1$, откуда $s^2=\frac{r^3-r^2+1}{3r+1}$.
Легко показать, что эта дробь не может быть целым числом (не то что целым квадратом), исключая $r=0$.
А поскольку при отрицательных $x$ правая часть исходного уравнения меньше нуля, то других решений кроме $(0,\pm{1})$ нет.
Остается посмотреть что будет при $\gcd(x,y)\ne{1}$. Нет никаких решений.
Замечу, что на исходной эллиптической кривой бесконечно много рациональных точек, порожденных одной точкой $(0,1)$, поскольку ранг кривой единица. Рациональных точек конечного порядка на кривой нет (кроме $\infty$).

[nnosipov]

scwec в сообщении #664826 писал(а):

эта дробь не может быть целым числом (не то что целым квадратом)

Здесь Вы ошибаетесь, но это неважно, поскольку всё остальное абсолютно верно. Увы, задачка получилась слишком простой.

Помимо тривиального решения, есть ещё вот такая парочка $(x,y)=(88,835)$. Пожалуй, это самое забавное здесь.

[scwec]

Действительно, не рассмотрел случай $3r^2{s}-s^3=r^2+s^2-1$. Показалось, что аналогичная ситуация.
Но нет. Тут эта пара и выскочила. Тщательней надо работать.

[nnosipov]

На самом деле я хотел сочинить уравнение типа $(10x+4y+1)^3=x^2+2y^2$. Здесь все решения добываются уже усилием воли, поскольку никаких бесплатных обходных путей как-то не видно. Прошу всех желающих проверить эту мою гипотезу.

[scwec]

Все решение уравнения $x^2+2y^2=z^3$ в натуральных числах $x,y,z$, где $\gcd(x,y)=1$ находятся из тождества
$(r^3-6rs^2)^2+2(3sr^2-2s^3)^2=(r^2+2s^2)^3$, где $\gcd(r,2s)=1$. У нас $z=10x+4y+1$.
Это дает уравнение $10r^3-60rs^2+12sr^2-8s^3-r^2-2s^2+1=0$. Находить целые решения у него непонятно как.
На исходной же эллиптической кривой бесконечно много рациональных точек бесконечного порядка, поскольку ранг её единица.
А рациональных точек конечного порядка нет.
Может быть, при более детальном рассмотрении и проявится какое-то соотношение, помогающее находить здесь целые точки, но с ходу я его не увидел. Если nnosipov разглядел какой-нибудь подход, то интересно с ним познакомиться, если это возможно.

[nnosipov]

scwec в сообщении #665659 писал(а):

Это дает уравнение $10r^3-60rs^2+12sr^2-8s^3-r^2-2s^2+1=0$. Находить целые решения у него непонятно как.

В том-то и дело, что понятно! Весь фокус в том, что старшая однородная часть факторизуется: $10r^3-60rs^2+12sr^2-8s^3=2(-2s+r)(2s^2+16rs+5r^2)$. В этой ситуации работает метод Рунге, элементарную версию которого я и придумал примерно год назад. Даже статью по этому поводу сочинил (извиняюсь за саморекламу, это вот здесь topic40980.html). Впрочем, уравнение получилось довольно неказистым, но это не от хорошей жизни: с меньшими коэффициентами было бы либо слишком просто, либо вообще никак.

[scwec]

К сожалению, тема прошла мимо меня, а, видимо, представляет интерес. Конечно, я попробовал факторизовать всё выражение - и без результата. Кроме того, понятно было, что диапазон коэффициентов выбран не случайно. В принципе, можно настрогать уравнений с целыми решениями такого рода, заранее их (решения) зная. В любом случае, есть повод задуматься на эту тему. Спасибо за разъяснения.
С наступающим Новым годом. Наилучшие Вам пожелания.

[nnosipov]

scwec в сообщении #665680 писал(а):

С наступающим Новым годом. Наилучшие Вам пожелания.

С Новым Годом! Крепкого здоровья и удачи в будущем году!

[scwec]

nnosipov, спасибо, крепкое здоровье - это в точку. Вы всегда этим отличались.

[maxal]

По поводу метода Рунге тут обнаружилась вот такая статья:

[sergei1961]

Коллеги, существует какой-то СПРАВОЧНИК-именно справочник, где были бы собраны готовые решения известных диофантовых уравнений?

[maxal]

sergei1961 в сообщении #733530 писал(а):

Коллеги, существует какой-то СПРАВОЧНИК-именно справочник, где были бы собраны готовые решения известных диофантовых уравнений?

Вот например: Cohen H. — Number Theory, Volume 1: Tools and Diophantine Equations

[nnosipov]

maxal в сообщении #733500 писал(а):

По поводу метода Рунге тут обнаружилась вот такая статья:

Спасибо, не видел.

[sergei1961]

За ссылку на Коэна спасибо, но не сказал бы, что это справочник. Похоже, такого нет, а идея составить вроде очевидная...