Доказать норму.

[alexanderklim]

Помогите объяснить, почему 7/2 является/не является нормой в пространстве С[-1,1] ?
$\lvert f(x)\rvert = \lvert$$\int_{-1}^{0} tx(t+1)dt $$ + 3x(1) \rvert \leq $$ \int_{-1}^{0} \lvert tx(t+1)dt \rvert$$ +3\lvert x(t) \rvert \leq \lVert x\rVert $$\int_{-1}^{0} \lvert tdt \rvert $$ + \lVert 3x(t) \rVert $ \leq \frac7 2 \lVert x(t) \rVert $$

Не совсем понимаю как доказать, что $\frac 7 2 $ здесь является нормой.
Нужно взять последовательность и доказать, что она сходится к $\frac 7 2 $, но пока не совсем понимаю как это сделать.

[Anton_92]

не знаю

Toucan:

Замечание за бессодержательное сообщение

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения задачи и объясните, что конкретно вызывает затруднения.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[мат-ламер]

alexanderklim в сообщении #665061 писал(а):

Помогите объяснить, почему 7/2 является/не является нормой в пространстве С[-1,1] ?

Из дальнейших формул у меня создалось впечатление, что это совсем другое пространство. Что это за пространство и и какая в нём норма?

-- Сб дек 29, 2012 18:59:23 --

И что означает фраза "7/2 является нормой"? Норма ведь функция?

[ewert]

Явно имелась в виду норма некоего оператора, но что за оператор -- таинственно умолчено, телепаты же уже ушли на каникулы.

[alexanderklim]

Условие задачи выглядит вот так:
Доказать, что следующие функционалы в пространстве С[-1,1] являются линейными непрерывными, и найти их нормы.

$ $$\int_{-1}^{0} tx(t+1)dt$$ + 3x(1)$

[ewert]

Оценка правильная. Для доказательства точности... хм, ну рассмотрите, скажем, просто константу.

[lampard]

(Оффтоп)

alexanderklim в сообщении #665061 писал(а):

$\lvert f(x)\rvert = \lvert$$\int_{-1}^{0} tx(t+1)dt $$ + 3x(1) \rvert \leq $$ \int_{-1}^{0} \lvert tx(t+1)dt \rvert$$ +3\lvert x(t) \rvert \leq \lVert x\rVert $$\int_{-1}^{0} \lvert tdt \rvert $$ + \lVert 3x(t) \rVert $ \leq \frac7 2 \lVert x(t) \rVert $$

А зачем вы столько долларов пишите? Для регулировки высоты чего бы там ни было -- удобно писать \left и \right

Например, вот так $\left|\;\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} tx(t+1)dt + 3x(1)\right|$

\displaystyle --- для того, чтобы интеграл выглядел эстетично)

$\leqslant$ выглядит эстетичнее, чем $\le$

[ewert]

(Оффтоп)

lampard в сообщении #665179 писал(а):

\displaystyle --- для того, чтобы интеграл выглядел эстетично)

Он всё равно выглядит неэстетично, ибо косой как заяц. Но при этом ещё и отнимает кучу места, что ещё более неэстетично.

-- Сб дек 29, 2012 21:14:40 --

ewert в сообщении #665159 писал(а):

Для доказательства точности... хм, ну рассмотрите, скажем, просто константу.

Пардон, это была неправильная рекомендация. Рассматривать следует некую константу в плюс единичке и минус ту же константу до почти плюс единички. В пределе, когда то "почти" стремится к нулю -- мы и получим норму.

[alexanderklim]

Хм...Спасибо!!!
Вроде суть уловил!

-- 29.12.2012, 20:45 --

lampard в сообщении #665179 писал(а):

(Оффтоп)

alexanderklim в сообщении #665061 писал(а):

$\lvert f(x)\rvert = \lvert$$\int_{-1}^{0} tx(t+1)dt $$ + 3x(1) \rvert \leq $$ \int_{-1}^{0} \lvert tx(t+1)dt \rvert$$ +3\lvert x(t) \rvert \leq \lVert x\rVert $$\int_{-1}^{0} \lvert tdt \rvert $$ + \lVert 3x(t) \rVert $ \leq \frac7 2 \lVert x(t) \rVert $$

А зачем вы столько долларов пишите? Для регулировки высоты чего бы там ни было -- удобно писать \left и \right

Например, вот так $\left|\;\displaystyle\int\limits_{-1}^{0} tx(t+1)dt + 3x(1)\right|$

\displaystyle --- для того, чтобы интеграл выглядел эстетично)

$\leqslant$ выглядит эстетичнее, чем $\le$

В техе не так часто приходится работать. Главное было выдать правильно формулу.)