Распределение случайных величин

[Tigris]

Добрый день,
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Случайная величина $X$ подчинена закону распределения, плотность которого задана графически. Найдите: 1) коэффициент $a$; 2) функции $f(x), F(x)$; 3) $M(x), D(x)$.


Я начал делать так:
Плотность имеет вид $ f(x)=\begin{cases} a-\frac {ax} {2},&\text{если $x<1$;}\\ \frac {ax} {2},&\text{если $x\geq1$;} \end{cases} $

Найдем коэффициент $a$ по формуле:
$1=\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} f(x) dx = \int\limits_{- \infty}^{1} a-\frac {ax} {2} dx + \int\limits_{1}^{+ \infty} \frac {ax} {2} dx = a$

Подскажите, пожалуйста, правильно это или нет?

[Henrylee]

Чего это пределы интегрирования бесконечные?

[Tigris]

А какие должны быть?

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите условие задачи и решение в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$ (график из условия можно оставить картинкой).
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[--mS--]

Tigris в сообщении #664130 писал(а):

А какие должны быть?

Давайте возьмём $x=-2$ и найдём значение плотности $f(-2)$:
а) по графику,
б) по записанной Вами формуле плотности:

Tigris в сообщении #663995 писал(а):

Плотность имеет вид $ f(x)=\begin{cases} a-\frac {ax} {2},&\text{если $x<1$;}\\ \frac {ax} {2},&\text{если $x\geq1$;} \end{cases} $

Сравним и сделаем выводы.

[Tigris]

--mS-- в сообщении #664558 писал(а):

Давайте возьмём $x=-2$ и найдём значение плотности $f(-2)$:
а) по графику,

График я вообще не могу понять... Поэтому затрудняюсь ответить, и пример не могу понять..

--mS-- в сообщении #664558 писал(а):

б) по записанной Вами формуле плотности:

$f(-2)=2a$

[--mS--]

Tigris в сообщении #664592 писал(а):

График я вообще не могу понять... Поэтому затрудняюсь ответить, и пример не могу понять..

Что конкретно непонятно в графике? Точку $x=-2$ на оси ОХ найти можете? Значение функции в этой точке каково?

[Tigris]

--mS-- в сообщении #664640 писал(а):

Что конкретно непонятно в графике? Точку $x=-2$ на оси ОХ найти можете? Значение функции в этой точке каково?

Либо 0, либо ее там вообще нет. Вот это я и не понимаю. Какие значения функция принимает левее 0 и правее 2. Там или 0, или ее там вообще нет, или по заданию мне показали только кусок от 0 до 2...
Я сейчас учусь заочно.. На дневном теория вероятностей была 6 лет назад, сейчас трудно очень все это вспоминается, поэтому прошу не судить строго.

[--mS--]

Tigris в сообщении #664702 писал(а):

Либо 0, либо ее там вообще нет. Вот это я и не понимаю. Какие значения функция принимает левее 0 и правее 2. Там или 0, или ее там вообще нет, или по заданию мне показали только кусок от 0 до 2...

Ноль, конечно. Она просто склеилась с осью, поэтому Вы её и не видите. А записанная функция у Вас даёт $2a$. Что это значит? Надо запись плотности исправлять: не при всех $x<1$ она у Вас равна первой строчке, а только при $0\leqslant x<1$, а при $x<0$ она равна нулю. То же самое с областью $x\geqslant 1$. Вот области интегрирования и исправятся, верно?

Кроме того, полезно было бы вспомнить геометрический смысл интеграла и найти площадь под графиком функции безо всяких интегралов.

Пересчитайте так и эдак и скажите, какое получилось $a$.

[Tigris]

$1=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{f(x)dx=\int\limits_{-\infty }^{0}{0dx+}\int\limits_{0}^{1}{(a-\frac{ax}{2})dx+\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax}{2}dx+\int\limits_{2}^{+\infty }{0dx}=a-}}}\int\limits_{0}^{1}{\frac{ax}{2}dx+\int\limits_{1}^{2}{\frac{ax}{2}dx}}= \\ & =a-\frac{a}{4}+a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{2} $

$a=\frac{2}{3}$

Тогда так получается?

[--mS--]

Так.

[Tigris]

--mS--, спасибо за помощь.
А как тогда $F(x)$ найти?
$f(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<0$;} \\ \frac{2-x}{3},&\text{если $0\le x<1 $;}\\ \frac{x}{3},&\text{если $1\le x<2 $;}\\ 0,&\text{если $x\ge 2$;} \end{cases} $

Так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2-x}{3}}dx$

Или так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy$

[--mS--]

Tigris в сообщении #664851 писал(а):

Или так? - Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy$

Разумеется, так. А вот для $x\in[1,\,2]$ и для $x>2$ уже не так, как Вы записали. По определению, $F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(y)\,dy$, вот и разбивайте интеграл на части.

[Tigris]

Получилось следующее:
Если $x<0$, то $F(x)=0$.

Если $0\le x<1$, то $F(x)=\int\limits_{0}^{x}{\frac{2-y}{3}}dy=\frac{2}{3}-\int\limits_{0}^{x}{\frac{y}{3}}dy=\frac{2}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{6}=\frac{4-{{x}^{2}}}{6}$.

Если $1\le x\le 2$, то $F(x)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{y}{3}}dy=\frac{{{x}^{2}}}{6}-\frac{1}{6}=\frac{{{x}^{2}}-1}{6}$.

Если $x>2$, то $F(x)=0$