Сходимость ряда

[Limit79]

Исследовать ряд на сходимость: $ \sum\limits_{n = 1}^{ \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$

Пытался как-то представить в виде факториалов, знаменатель - понятно, а вот с числителем проблема...

Но увидел тут более простой способ:

$a_{n} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$, $a_{n+1} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6 \cdot(n+1)-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1+1)} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n+1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+2)}$

По Даламберу:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{\left ( \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n+1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+2)} \right )}{ \left ( \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)} \right )} = \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{(6n+1) (n+1)}{(n+2) (6n-5)} = ... = 1$

Думаю, что тут не будет выполняться необходимый признак сходимости, но не могу найти выражение для общего члена ряда.

Подскажите, пожалуйста, каким признаком тут нужно воспользоваться.

[ИСН]

У Вас в условии есть выражение для общего члена ряда. Чем оно плохо, и какое ещё выражение Вам нужно, чтобы применить необходимый признак?

[Limit79]

ИСН
Оно может и не плохо, но я затрудняюсь с пределом:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$

Я понимаю, что тут надо на что-то поделить числитель и знаменатель, только вот на что...

[ИСН]

Напишите в виде десятичных дробей приближённые значения первых 3 - 5 членов ряда.

[Limit79]

$a_{1} = 0.5$
$a_{2} \approx 1.16$
$a_{3} \approx 3.79$
$a_{4} \approx 14.4$
$a_{5} \approx 60.034$

-- 24.12.2012, 15:23 --

Из этого видно, что предел стремится к бесконечности, но как вычислить этот самый предел?

[ИСН]

Так. Наводит ли это Вас на какие-нибудь мысли?

-- Пн, 2012-12-24, 15:24 --

Ну естественно, к бесконечности!

-- Пн, 2012-12-24, 15:25 --

Его не надо вычислять. Достаточно того, что он... минуточку, а чего нам нужно-то?

[Limit79]

ИСН
В том посте дописал мысли

Есть такая мысль:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)} = \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6-\frac{5}{n})}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (1+\frac{1}{n})} = \infty$

Но как-то некрасиво это.

-- 24.12.2012, 15:28 --

ИСН
Так сразу видно, что числитель растет быстрее знаменателя, но как бы это доказать... или же можно просто написать несколько членов ряда, и сказать, что из того, что члены ряда возрастают, следует, что предел общего члена ряда стремится к бесконечности?

Но это как-то некрасиво, неужели тут нет более логичного решения?

[ИСН]

На что надо умножить очередной член, чтобы получить следующий?

[Limit79]

ИСН
В данном случае - не получается найти такого числа.

В общем случае - на т.н. знаменатель.

[ИСН]

Не надо числа. Напишите выражение. Какие добавились сомножители при переходе от... к...

[Limit79]

$a_{2} = \frac{7}{3} \cdot a_{1}$

$a_{3} = \frac{13}{4} \cdot a_{2}$

$a_{4} = \frac{19}{5} \cdot a_{3}$

-- 24.12.2012, 17:16 --

То есть: $a_{n+1} = \frac{6}{n+2} \cdot a_{n}$

-- 24.12.2012, 17:19 --

Блин, не так.

[ИСН]

Вот-вот, что-то в этом роде. Так как же?

[Limit79]

ИСН

$a_{n+1} = \frac{6n+1}{n+2} \cdot a_{n}$

Вот так.

[ИСН]

Ну? Всё? Достаточно? Обосновали, что он не это самое?

[Limit79]

ИСН
Я сначала думал, что Вы клоните в сторону геометрической прогрессии, а теперь вовсе запутался, к чему Вы вели.