2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 13:55 


29/08/11
1759
Исследовать ряд на сходимость: $ \sum\limits_{n = 1}^{ \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$

Пытался как-то представить в виде факториалов, знаменатель - понятно, а вот с числителем проблема...

Но увидел тут более простой способ:

$a_{n} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$, $a_{n+1} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6 \cdot(n+1)-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1+1)} = \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n+1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+2)}$

По Даламберу:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{\left ( \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n+1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+2)} \right )}{ \left ( \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)} \right )} = \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{(6n+1) (n+1)}{(n+2) (6n-5)} = ... = 1$

Думаю, что тут не будет выполняться необходимый признак сходимости, но не могу найти выражение для общего члена ряда.

Подскажите, пожалуйста, каким признаком тут нужно воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
У Вас в условии есть выражение для общего члена ряда. Чем оно плохо, и какое ещё выражение Вам нужно, чтобы применить необходимый признак?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:09 


29/08/11
1759
ИСН
Оно может и не плохо, но я затрудняюсь с пределом:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)}$

Я понимаю, что тут надо на что-то поделить числитель и знаменатель, только вот на что...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Напишите в виде десятичных дробей приближённые значения первых 3 - 5 членов ряда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:22 


29/08/11
1759
$a_{1} = 0.5$
$a_{2} \approx 1.16$
$a_{3} \approx 3.79$
$a_{4} \approx 14.4$
$a_{5} \approx 60.034$

-- 24.12.2012, 15:23 --

Из этого видно, что предел стремится к бесконечности, но как вычислить этот самый предел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Так. Наводит ли это Вас на какие-нибудь мысли?

-- Пн, 2012-12-24, 15:24 --

Ну естественно, к бесконечности!

-- Пн, 2012-12-24, 15:25 --

Его не надо вычислять. Достаточно того, что он... минуточку, а чего нам нужно-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:26 


29/08/11
1759
ИСН
В том посте дописал мысли :-)

Есть такая мысль:

$ \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6n-5)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (n+1)} = \lim\limits_{ n \to \infty} \frac{1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot \cdot \cdot (6-\frac{5}{n})}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cdot \cdot (1+\frac{1}{n})} = \infty$

Но как-то некрасиво это.

-- 24.12.2012, 15:28 --

ИСН
Так сразу видно, что числитель растет быстрее знаменателя, но как бы это доказать... или же можно просто написать несколько членов ряда, и сказать, что из того, что члены ряда возрастают, следует, что предел общего члена ряда стремится к бесконечности?

Но это как-то некрасиво, неужели тут нет более логичного решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
На что надо умножить очередной член, чтобы получить следующий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:02 


29/08/11
1759
ИСН
В данном случае - не получается найти такого числа.

В общем случае - на т.н. знаменатель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Не надо числа. Напишите выражение. Какие добавились сомножители при переходе от... к...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:15 


29/08/11
1759
$a_{2} = \frac{7}{3} \cdot a_{1}$

$a_{3} = \frac{13}{4} \cdot a_{2}$

$a_{4} = \frac{19}{5} \cdot a_{3}$

-- 24.12.2012, 17:16 --

То есть: $a_{n+1} = \frac{6}{n+2} \cdot a_{n}$

-- 24.12.2012, 17:19 --

Блин, не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Вот-вот, что-то в этом роде. Так как же?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:26 


29/08/11
1759
ИСН

$a_{n+1} = \frac{6n+1}{n+2} \cdot a_{n}$

Вот так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13319
с Территории
Ну? Всё? Достаточно? Обосновали, что он не это самое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение24.12.2012, 16:32 


29/08/11
1759
ИСН
Я сначала думал, что Вы клоните в сторону геометрической прогрессии, а теперь вовсе запутался, к чему Вы вели.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group