Теорема о порядке: в случайном процессе порядок не нарастает

[pc20b]

Someone

Цитата:

Ваша формула выглядит так, будто бы поток излучения, идущий от Солнца, на каждой сфере $R=Const$ полностью поглощается и заново излучается. Это очень странное представление, поскольку в окружающем нас космическом пространстве нет ничего...

Хорошо. Давайте пока оставим воспоминания детства (они прекрасны)*** и всё остальное и обратимся к уравнениям Максвелла. Докажем, что температура солнечного излучения будет уменьшаться с увеличением расстояния от солнца.

Pассмотрим вакуумную область, заполненную излучением, ограниченную сферической излучающей поверхностью солнца радиуса $R_s$ и произвольной сферической поверхностью большего радиуса $R$.

Из уравнений Максвелла для электромагнитного поля следует локальный закон сохранения :

$$-\varepsilon _{f,t}=\vec j\vec E+div\vec S$$

,

где $\varepsilon _f$ - плотность энергии электромагнитного поля, $\vec j$ - плотность тока заряженных частиц, $\vec E$ - напряженность электрического поля, $\vec S$ - вектор Пойнтинга, т.е. плотность потока энергии электромагнитного поля.
Т.к. в рассматриваемой области зарядов нет, то второй член, описывающий работу поля над зарядом, будет равен нулю. Остальное умножим на элемент объема $dV$, проинтегрируем по всему объему между двумя концентрическими сферами и, воспользовавшись теоремой Гаусса, окончательно получим :

$$-\mathcal{E}_{,t}=-(\int _{V}\varepsilon_fdV)_{,t}=\oint _{\Sigma =\partial V}\vec Sd\vec \Sigma=P_{\Sigma}$$

,

т.е. уменьшение энергии электромагнитного поля в объеме $V$ равно полному потоку энергии поля через две концентрические сферы радиусов $R_s$ и $R$. Т.к. в данном случае система стационарна, энергия. запасенная в данном объеме не меняется, т.е. частная производная по времени равна нулю, то отсюда следует, что полный поток энергии через ограничивающую данный объем поверхность будет равен нулю.

А отсюда, учитывая ориентацию внешней нормали к поверхности, получаем, что сумма потоков энергии через поверхность солнца, $P_s$, и через произвольную поверхность радиуса $R$, $P(R)$, равна нулю :

$$-P_s+P(R)=0$$

.

И уже отсюда получаем доказываемое условие постоянства потока энергии излучения :

$$P_s=\sigma T_{s0}^44\pi R_s^2=\sigma T^4(R)4\pi R^2=const$$

,

из которого следует соотношение между температурами солнечного излучения на его поверхности и на поверхности планеты, отстоящей от него на расстоянии $R$ :

$$T_s=T_{s0}(\frac {R_s}{R})^{1/2}$$

.#

К примеру, на поверхность нашей планеты Терры падает солнечное излучение при температуре около 420К. А на Плутоне она равно примерно 60К. Поэтому Плутон и не прогревается почти - колебания его дневной и ночной температур незначительны.

***

Цитата:

Кстати, в детстве я наблюдал в планетарии опыт, в котором стальная пластина в направленном на неё потоке солнечного излучения плавилась и горела - как при электросварке.

И не только Вы, мы тоже это видели. Но дело-то в том, что свет на пластинке фокусировался на ней, пройдя через линзы телескопа - рефрактора. В этом случае на поверхности пластинки получалось изображение солнца, а оно, действительно, имеет температуру, почти равную температуре на его поверхности, т.е. где-то около 5800К.

Что касается Ваших уточнений по поводу нечернотельности солнечного спектра и отражения части потока от атмосферы (альбедо), то они в данной задаче не принципиальны, носят характер несущественных поправок.

[mzmz]

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛИ

Данная модель, исследующая стабилизирующую роль вращения, не учитывает влияния атмосферы. В солнечной системе есть три планеты, атмосфера которых достаточно разрежена : Меркурий, Марс, Плутон. Для них можно сравнить имеющиеся экспериментальные данные с результатами расчетов температур $T_{1,2}$ на дневной и ночной сторонах (таблица 1, размерные значения. $T_s$ - рассчитанная размерная температура солнечного излучения для данной планеты).

http://gravi.nm.ru/termodin/tabl.JPG?

Конечная температура Меркурия на солнечной стороне равна температуре солнечного излучения. Это связано с тем, что сутки Меркурия достаточно длинные, он успевает прийти в состояние теплового равновесия с излучением. С другой стороны, в течение ночного времени он успевает заметно охладиться : перепад температур на солнечной и теневой сторонах составляет 480 К.
Сутки Марса относительно короткие. Поэтому перепад температур будет не столь значителен. Действительно, соотношение (получающееся из приведенного ранее уравнения $T=(1/T_0^3+3\alpha (t-t_0))^{-1/3}$), связывающее дневную и ночную безразмерные температуры с безразмерной частотой вращения планеты $\omega=2\pi$

$$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{T_2^3}-\frac{1}{T_1^3}\right)=\alpha\frac{\pi}{\omega}$$

,

$$\alpha=1/c_VM$$

, $M$ - масса прогреваемого слоя планеты, $c_V$ - теплоемкость грунта планеты при постоянном объеме, показывает, что чем меньше период обращения, т.е. чем больше $\omega$, тем меньше разность размерных температур $T_1$ и $T_2$. Также, поскольку член в скобках, выраженный в размерных температурах, пропорционален третьей степени температуры солнечного излучения, разность температур заметно снижается при уменьшении последней.
В связи с этим перепад температур на дневной и ночной стороне для Марса весьма мал, и составляет 10 К.
Длительность суток у Плутона в несколько раз выше, чем у Марса, но температура солнечного излучения значительно меньше, что связано с большой удаленностью Плутона от Солнца. Из-за этого его температура фактически не изменяется в течение суток.
В целом, как видно из таблицы 1, значения температур на солнечной и теневой стороне рассматриваемых планет достаточно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными. Некоторое расхождение объясняется отсутствием детальной информации о теплоемкости и плотности прогреваемого грунта данных планет.

Для проверки качества модели была поставлена более детальная двумерная задача на уравнение теплопроводности :

$$a^2T_{xx}=T_t$$

$$0\geqslant x\geqslant +\infty,t>0$$

(18)

$$\lambda T_x|_{x=0}=\left\{ \begin{array}{l} \left(1-T^4\right),(n-1)\geqslant t \geqslant n/2\\ -T^4,n/2\geqslant t\geqslant n \end{array}\right$$

(19)

Здесь $T$ - безразмерная температура, пронормированная на температуру падающего солнечного излучения $T_s$.

$$a=\sqrt{\frac{\lambda}{c_V}}$$

, $\lambda$ – безразмерный коэффициент теплопроводности материала планеты в единицах $\sigma h T_s^3$, $x$ – пространственная координата в единицах $h$, равная нулю на поверхности и направленная вглубь планеты по ее радиусу; $n=1, 2, 3, …$ – номер периода обращения планеты (после начала счета), время измеряется в единицах $\tau$ – периода обращения планеты. Уравнения (18)-(19) были решены численно.
Начальным условием для данной задачи служит температура $T_0$, одинаковая для всех $x$.
В течение времени $t =1/2$ граничные условия складываются из солнечного излучения и собственного излучения планеты (верхняя строка в (19)). Распределение температуры по координате в момент времени $1/2$ служит начальным условием для следующего этапа. Он длится также $1/2$, граничные условия включают в себя только излучение планеты (нижняя строка в (19)). Полученное распределение температуры при $t=1$ служит начальным условием для следующего этапа длительностью $1/2$ с граничными условиями, включающими излучение Солнца и т.д.
После достаточного количества периодов обращения наступает стационарное состояние, когда конечное распределение температуры после нагрева планеты на солнечной стороне и ее остывания на теневой не изменяется с ростом номера периода обращения. Данные распределения для Марса показаны на рис.3 в абсолютных единицах.
Из рис.3 видно, что температуры на поверхности Марса в наиболее нагретом и наиболее охлажденном состоянии составляют 310 К и 190 К соответственно, что неплохо соответствует имеющимся экспериментальным данным.

http://gravi.nm.ru/termodin/mars.JPG?
Рис.3. Распределение температуры по глубине поверхностного слоя грунта Марса в наиболее нагретом (1) и наиболее остывшем (2) состоянии.

При расчете теплоемкость материала планеты задавалась равной 1000 Дж/(кг$\cdot$К), что соответствует теплоемкости сухого песка (в грунте Марса преобладает кремний), теплопроводность 1 Вт/(м$\cdot$К). Толщина слоя, изменяющая свою температуру в термодинамическом процессе, составляет примерно 1 м, как это видно из рис.3. Это значение хорошо соответствует известному экспериментальному – 0,5 м.

[pc20b]

Ответы на вопросы (накопившиеся)

epros

Цитата:

А чем Вам не нравится это объяснение? Механизм "откачки" энтропии с земной поверхности несомненно существует. Вопрос состоит только в том, при каких условиях она (откачка) не может быть скомпенсирована внутренней генерацией энтропии в системе, так что нарушение баланса приводит к явлениям самоорганизации.

Если Вы посмотрели наши результаты, то, наверно, поняли, что "энтропийный насос" при наличии лишь термодинамических процессов (поглощения излучения, нагрева и переизлучения в космос) не работает, т.е. экспорт энтропии в принципе не может превысить её импорт и производство внутри закрытой системы (далее мы постараемся показать, что этот вывод универсален и справедлив и для открытых подсистем). Это результат точного решения дифференциальных уравнений.

Причина, стабилизирующая систему вдали от состояния термодинамического равновесия, при меньших значениях температуры и энтропии, может носить только неслучайный, регулярный характер. В данном случае - это вращение планет, т.е. периодический процесс прерывания входящего потока тепла.

Шимпанзе

Цитата:

Читайте труды Лауреата нобелевской премии И.Пригожина. За это и премию получил.

Хоть мы и деревенские, но библиотека типа Ленинки в нашем сельсовете есть. Неужели Вы думаете, что мы не изучили работы Пригожина.

В данном случае мы пытаемся пока ответить на вопрос о причине неуменьшения энтропии в открытой системе, на который он отвечал в достаточно общей форме. Пригожин вводит внешние связи, препятствующие достижению термодинамического равновесия, но ограничивает их действие лишь минимизацией скорости нарастания энтропии, утверждая, что энтропия системы в целом, тем не менее, возрастает.

Наш результат более конкретен : мы утверждаем, что, во-первых, в случайных процессах даже в открытых подсистемах энтропия неувеличиваться не может, во-вторых, причиной неувеличения энтропии (т.е. её либо постоянности при значении, меньшем, чем в состоянии равновесия, либо уменьшения) в этих подсистемах может быть только действие регулярных факторов, т.е. неслучайных процессов. К ним относятся, например, вращение, химические реакции и т.п. Кроме того, вроде бы получается, что при этом требование возрастания энтропии в системе в целом (за счет её увеличения в т.н. "сопряженных процессах") может оказаться необязательным.

(продолжение следует)

Добавлено спустя 21 минуту 7 секунд:

Someone

Цитата:

Вращение вызывает только суточные колебания температуры - за счёт колебаний поглощаемого солнечного излучения. В среднем же за большие промежутки времени температура сохраняется практически постоянной именно благодаря тому, что - опять же в среднем, за большие промежутки времени - количество излучённой энергии равно количеству поглощённой

Нет, не только. Температура и энтропия сохраняются постоянными (всеми процессами "производства энтропии" внутри системы, т.е. трения, пренебрежем) при равенстве потоков поглощенной и излучённой энергии как в случае отсутствия вращения (в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой), так и в случае наличия вращения.

Принципиальная разница в том, что именно благодаря вращению закрытая система (обменивающаяся со средой лишь потоками тепла) может находиться в стационарном состоянии, далеком от равновесного, которому отвечают максимальные значения температуры и энтропии. В системе, к которой происходит регулярный процесс прерывания потоков тепла через границу, и температура, и энтропия принимают меньшие значения.

[epros]

pc20b писал(а):

Если Вы посмотрели наши результаты, то, наверно, поняли, что "энтропийный насос" при наличии лишь термодинамических процессов (поглощения излучения, нагрева и переизлучения в космос) не работает, т.е. экспорт энтропии в принципе не может превысить её импорт и производство внутри закрытой системы (далее мы постараемся показать, что этот вывод универсален и справедлив и для открытых подсистем). Это результат точного решения дифференциальных уравнений.

Ваши "результаты" основаны на элементарных ошибках. Не хочу дублировать Someone, пытаясь объяснить Вам, в чём они состоят.

pc20b писал(а):

Причина, стабилизирующая систему вдали от состояния термодинамического равновесия, при меньших значениях температуры и энтропии, может носить только неслучайный, регулярный характер. В данном случае - это вращение планет, т.е. периодический процесс прерывания входящего потока тепла.

Суточное вращение имеет значение для баланса потоков энтропии, и это важно для поддержания жизнедеятельности на поверхности Земли, но вовсе не в том смысле, о котором Вы пишете.

[Someone]

pc20b писал(а):

... из которого следует соотношение между температурами солнечного излучения на его поверхности и на поверхности планеты, отстоящей от него на расстоянии $R$ :

$$T_s=T_{s0}(\frac {R_s}{R})^{1/2}$$

.

Эта формула относится к процессу теплового излучения, а не к процессу распространения электромагнитных волн. Если бы дело обстояло так, как Вы пишете, цвет Солнца изменялся бы по мере удаления от него. Более того, он изменялся бы и в том случае, если бы часть излучения поглощалась серым фильтром. На самом деле, мы в Вашем мире вообще ничего не могли бы видеть.

Вы явно путаете плотность энергии с температурой.

pc20b писал(а):

Цитата:

Кстати, в детстве я наблюдал в планетарии опыт, в котором стальная пластина в направленном на неё потоке солнечного излучения плавилась и горела - как при электросварке.

И не только Вы, мы тоже это видели. Но дело-то в том, что свет на пластинке фокусировался на ней, пройдя через линзы телескопа - рефрактора.

И какого размера у Вас был телескоп? В моём случае это было зеркало диаметром метра полтора, если не ошибаюсь (уж очень давно это было). Нижняя часть зеркала, куда падали капли расплавленного железа (процентоа 15 - 20 его поверхности), была закрыта металлическим щитом.

pc20b писал(а):

Что касается Ваших уточнений по поводу нечернотельности солнечного спектра и отражения части потока от атмосферы (альбедо), то они в данной задаче не принципиальны, носят характер несущественных поправок.

Если бы Ваша формула была верна, то мы не могли бы определить настоящий спектр Солнца. Потому, что Ваша формула - это формула, описывающая процесс излучения, и её применимость требует, чтобы электромагнитные волны, распространяющиеся от Солнца, полностью поглощались и излучались заново.

Вообще, Вы уже достаточно позабавили математическую общественность своими рассуждениями о замене координат и о склейке несклеиваемых решений. Теперь забавляете физическую общественность глупостями насчёт температуры излучения и теплового равновесия. Если это Вам так нравится - это Ваши проблемы.

[pc20b]

epros

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
В случайном процессе микросостояния и макросостояния описываются (неточно, кстати) разными наборами параметров, причем, не связанными функциональной зависимостью. В неслучайном процессе микросостояние одно и эквивалентно макросостоянию.

Вы что-то не то понимаете под "макросостоянием" и "микросостоянием". Если микросостояние эквивалентно макросостоянию, то это и означает абсолютную детерминированность процесса.

Интересно, Вы повторили сказанное выше, заменив "неслучайный процесс" на "абсолютную детерминированность процесса", и говорите "не то".

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Если Вы посмотрели наши результаты, то, наверно, поняли, что "энтропийный насос" при наличии лишь термодинамических процессов (поглощения излучения, нагрева и переизлучения в космос) не работает, т.е. экспорт энтропии в принципе не может превысить её импорт и производство внутри закрытой системы (далее мы постараемся показать, что этот вывод универсален и справедлив и для открытых подсистем). Это результат точного решения дифференциальных уравнений.

Ваши "результаты" основаны на элементарных ошибках. Не хочу дублировать Someone, пытаясь объяснить Вам, в чём они состоят.

Это, несомненно, Ваше право (и лево). Хотелось бы лишь отметить, что дублировать, как Вы говорите, Someone'а непросто, т.к. он единственный, кто решился пообсуждать новые результаты, поэтому ему, извините, разрешается всё.

Цитата:

pc20b писал(а):

Цитата:

Причина, стабилизирующая систему вдали от состояния термодинамического равновесия, при меньших значениях температуры и энтропии, может носить только неслучайный, регулярный характер. В данном случае - это вращение планет, т.е. периодический процесс прерывания входящего потока тепла.

Суточное вращение имеет значение для баланса потоков энтропии, и это важно для поддержания жизнедеятельности на поверхности Земли, но вовсе не в том смысле, о котором Вы пишете.

Суточное вращение, да, фундаментально "для поддержания жизнедеятельности на поверхности Земли", потому что если бы его не было, согласно точному решению уравнений термодинамики, эта система перешла бы в состояние термодинамического равновесия со средой, температура её сравнялась бы с температурой солнечного излучения (около 420К на поверхности Земли), а энтропия достигла бы своего максимального термодинамического предела. В таких условиях, да, никакая жизнедеятельность невозможна. Именно это мы экспериментально наблюдаем, к примеру, на Меркурии, на Плутоне.

И это как раз тот смысл, "о котором мы пишем". Более того, эта простая модель, как нетрудно увидеть из приведенной информации, хорошо согласуется с экспериментальными данными.

[epros]

pc20b писал(а):

epros

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
В случайном процессе микросостояния и макросостояния описываются (неточно, кстати) разными наборами параметров, причем, не связанными функциональной зависимостью. В неслучайном процессе микросостояние одно и эквивалентно макросостоянию.

Вы что-то не то понимаете под "макросостоянием" и "микросостоянием". Если микросостояние эквивалентно макросостоянию, то это и означает абсолютную детерминированность процесса.

Интересно, Вы повторили сказанное выше, заменив "неслучайный процесс" на "абсолютную детерминированность процесса", и говорите "не то".

К Вашему последнему предложению в цитате у меня претензий нет. Моё замечание касалось первого Вашего предложения: похоже, что Вы не поняли, что макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний.

pc20b писал(а):

... новые результаты ...

Если новый результат - это то, что температура солнечного излучения, падающего на Землю, не 6000К, а в 20 раз ниже, то дальнейшие выводы из этого я обсуждать не вижу смысла.

Someone писал про плавку железа за счёт фокусировки солнечного излучения. Попробуйте проделать то же самое, сфокусировав излучение от костра, температура которого не превышает 1000 градусов...

pc20b писал(а):

...энтропия достигла бы своего максимального термодинамического предела. В таких условиях, да, никакая жизнедеятельность невозможна.

Неправильно. Система всё равно остаётся незамкнутой и существует возможность использовать большую часть солнечной энергии для любого рода деятельности. Другое дело, что биологические системы основную часть этого ресурса использовать не умеют, так что он теряется на банальный теплообмен. Биосистемы действительно живут в основном за счёт тех крох, которые им даёт возможность выравнивания дневных и ночных температур.

[pc20b]

epros

Цитата:

К Вашему последнему предложению в цитате у меня претензий нет. Моё замечание касалось первого Вашего предложения: похоже, что Вы не поняли, что макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний.

Да, и сейчас не понятно, что "макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний". Такое высказывание требует обязательного дополнения. Тут Вы, действительно, дублируете нашего главного оппонента, когда он высказывал похожее предложение, что, грубо говоря, "геометрия - это множество преобразований координат", забывая добавить - "допустимых" (невырожденных, с не равным нулю якобианом и т.п.). В Вашем предложении можно было бы добавить, скажем, " это объединение множеств всех микросостояний, в которое каждое входит со своим весом, равным ...". Либо переделать высказывание : статистический ансамбль - это множество микросостояний, отвечающих данному макросостоянию".

Цитата:

Другое дело, что биологические системы основную часть этого ресурса использовать не умеют

А дальше речь пойдет, как нетрудно догадаться, именно о биологических системах - по какой причине порядок в них растет? Что, опять "ревела буря гром гремел"?

Цитата:

Someone писал про плавку железа за счёт фокусировки солнечного излучения. Попробуйте проделать то же самое, сфокусировав излучение от костра, температура которого не превышает 1000 градусов...

Это можно.
Someone писал ещё и следующее :

Цитата:

И какого размера у Вас был телескоп? В моём случае это было зеркало диаметром метра полтора, если не ошибаюсь (уж очень давно это было). Нижняя часть зеркала, куда падали капли расплавленного железа (процентов 15 - 20 его поверхности), была закрыта металлическим щитом.

Можно попытаться ответить на оба вопроса сразу.

Какая температура в фокусе зеркала

Пусть есть линза с фокусным расстоянием $F$. Тогда радиус $R_f$ пятна - изображения источника излучения - будет равен :

(1)

$$R_f=F\frac {R_0}{R_s}$$

,

где $R_0$ - радиус источника, $R_s$ - расстояние от линзы до источника. Исходя из условия постоянства потока энергии излучения $P_L$, падающего на линзу радиуса $R_L$, имеющего температуру $T_s$, и потока в фокальном пятне изображения источника радиуса $R_f$ с температурой $T_f$,

$$P_L=\sigma T_0^4\pi R_L^2=\sigma T_f^4\pi R_f^2$$

,

получаем :

(2)

$$\frac {T_f}{T_s}=(\frac {R_L}{R_f})^{1/2}$$

.

Исходя из равенства потока энергии $P_0$ на источнике излучения радиуса $R_0$, имеющего температуру на поверхности $T_0$, и потока энергии того же источника через сферу радиуса $R_s$, равного расстоянию от источника до линзы,

$$P_0=\sigma T_0^4\pi R_0^2=\sigma T_s^4\pi R_s^2$$

,

получаем :

(3)

$$\frac {T_s}{T_0}=(\frac {R_0}{R_s})^{1/2}$$

.

Из (1)-(3) получаем искомую связь температуры в фокусе линзы с температурой источника излучения :

$$\frac {T_f}{T_0}=(\frac {R_L}{F})^{1/2}$$

.

Любопытный результат. Отношение этих температур никак не зависит от соотношения между размером источника и расстоянием до источника, оно определяется отношением чисто локальных параметров - радиального размера линзы (зеркала) и её (его) фокусного расстояния.

Отсюда интересный, очевидно, для Someone'a результат : т.к. размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния, то температура в фокусе всегда будет порядка температуры источника излучения, в данном случае - Солнца.***

*** Поэтому пластинка и плавилась.

Добавлено спустя 33 минуты 31 секунду:

epros

Цитата:

Если новый результат - это то, что температура солнечного излучения, падающего на Землю, не 6000К, а в 20 раз ниже, то дальнейшие выводы из этого я обсуждать не вижу смысла.

Да, резюме прямо скажем. Извините, а вообще-то причем тут проблема - равна или не равна температура потока тепла от Солнца на Земле температуре на Солнце или нет?
Ведь задача-то начинается дальше, и она не в этом : может ли беспорядок уменьшаться в случайных процессах в любых системах : закрытых, открытых, - в любых процессах : равновесных, неравновесных, на термодинамической стадии, на кинетической стадии и т.д.

Наш ответ - нет. И есть вроде бы и ответ на вопрос - а когда может. Только, когда действуют регуляризирующие факторы неслучайной природы : вращение, реакция фотосинтеза и т.п.

Мы вообще, будучи воспитанными по правилам маркиза Куинсберри, всё обезразмерили, положили все константы (даже $\pi$) единице. В том числе, и температуру падающего на нашу голубую планету потока солнечного тепла : $T_s=1$. Так что аргумент, извините, слабый ...

[epros]

pc20b писал(а):

Да, и сейчас не понятно, что "макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний". Такое высказывание требует обязательного дополнения. Тут Вы, действительно, дублируете нашего главного оппонента, когда он высказывал похожее предложение, что, грубо говоря, "геометрия - это множество преобразований координат", забывая добавить - "допустимых" (невырожденных, с не равным нулю якобианом и т.п.). В Вашем предложении можно было бы добавить, скажем, " это объединение множеств всех микросостояний, в которое каждое входит со своим весом, равным ...". Либо переделать высказывание : статистический ансамбль - это множество микросостояний, отвечающих данному макросостоянию".

К чему это всё? Что Вы, соб-сно, хотели сказать?

pc20b писал(а):

epros писал(а):

Другое дело, что биологические системы основную часть этого ресурса использовать не умеют

А дальше речь пойдет, как нетрудно догадаться, именно о биологических системах - по какой причине порядок в них растет? Что, опять "ревела буря гром гремел"?

А он растёт? Насколько я знаю, такая биологическая система, как амазонская сельва, например, уже сотни лет пребывает в состоянии в среднем примерно одного и того же "порядка". Но в некоторых случаях кое-где действительно растёт. По весне, например.

pc20b писал(а):

Любопытный результат. Отношение этих температур никак не зависит от соотношения между размером источника и расстоянием до источника, оно определяется отношением чисто локальных параметров - радиального размера линзы (зеркала) и её (его) фокусного расстояния.

Отсюда интересный, очевидно, для Someone'a результат : т.к. размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния, то температура в фокусе всегда будет порядка температуры источника излучения, в данном случае - Солнца.***

Ну так возьмите линзу с этим отношением в несколько раз лучше и попробуйте расплавить железку от света костра. Думаете, получится?

pc20b писал(а):

Извините, а вообще-то причем тут проблема - равна или не равна температура потока тепла от Солнца на Земле температуре на Солнце или нет?

Возможность выбрасывать энтропии из системы больше, чем вносится, определяется именно этим.

pc20b писал(а):

Ведь задача-то начинается дальше, и она не в этом : может ли беспорядок уменьшаться в случайных процессах в любых системах : закрытых, открытых, - в любых процессах : равновесных, неравновесных, на термодинамической стадии, на кинетической стадии и т.д.

Лучше сначала сформулируйте толком, как Вы собираетесь измерять степень беспорядка? Если энтропией, то условия, при которых она может уменьшаться в незамкнутой системе, известны.

[Someone]

pc20b писал(а):

Отсюда интересный, очевидно, для Someone'a результат : т.к. размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния, то температура в фокусе всегда будет порядка температуры источника излучения, в данном случае - Солнца.

Я знаю гораздо более интересный результат на этот счёт. Вам на него намекает epros, когда предлагает расплавить стальную пластину, концентрируя на ней свет от костра. А я могу предложить Вам способ обойти это ограничение ("размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния"). Вы говорите об одиночной линзе, а оптики умеют строить всякие хитрые оптические системы с совершенно странным расположением главных и фокальных плоскостей. Можно рассмотреть, скажем, такую систему: сначала собирающая линза большого диаметра фокусирует пучок света; далее рассеивающая линза превращает его в параллельный, но малого диаметра; наконец, маленькая короткофокусная линза фокусирует этот узкий пучок на очень маленькую площадку.

pc20b писал(а):

epros

Цитата:

Если новый результат - это то, что температура солнечного излучения, падающего на Землю, не 6000К, а в 20 раз ниже, то дальнейшие выводы из этого я обсуждать не вижу смысла.

Да, резюме прямо скажем. Извините, а вообще-то причем тут проблема - равна или не равна температура потока тепла от Солнца на Земле температуре на Солнце или нет?

По-моему, я Вам подробно объяснял, при чём. Ещё раз: спектр излучения абсолютно чёрного тела однозначно восстанавливается по его температуре. Если температура солнечного излучения около Земли в 20 раз меньше температуры поверхности Солнца, то спектр этого излучения будет совершенно не похож на то, что мы наблюдаем в действительности. Поэтому можете смело выбросить свою теорию в топку.

P.S. Мне кажется, Вы лукавили, когда говорили, что видели опыт с плавлением железа солнечными лучами. Полутораметровые телескопы-рефракторы, как я понимаю, большая редкость, и они совершенно не приспособлены для подобных экспериментов. Да и никто не даст такой телескоп для плавления железа. С зеркалом этот опыт проделать гораздо проще.

[pc20b]

epros

Цитата:

К чему это всё? Что Вы, соб-сно, хотели сказать?

К тому, что Ваше высказывание

Цитата:

похоже, что Вы не поняли, что макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний.

является, очевидно, неудачным.

Цитата:

А он растёт? Насколько я знаю, такая биологическая система, как амазонская сельва, например, уже сотни лет пребывает в состоянии в среднем примерно одного и того же "порядка". Но в некоторых случаях кое-где действительно растёт. По весне, например.
Уже то, что амазонская сельва сотни лет пребывает в одном и том же состоянии, факт нетривиальный. Он означает, что данной биосистеме удается поддерживать "порядок" на одном и том же уровне в условиях хаотизирующих воздействий (отмирание и деградация биомассы, разрушающего воздействия окружающей среды, возможного дефицита исходных химических компонентов, влияния радиационного фона и т.д.).

Согласно теореме о порядке, такое состояние биосистемы возможно только при наличии регуляризирующих (упорядочивающих) неслучайных факторов. Один из их источников - генкод растений. Который от нашего формально ничем не отличается. Откуда и как он появился?

Цитата:

Цитата:

Отсюда интересный, очевидно, для Someone'a результат : т.к. размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния, то температура в фокусе всегда будет порядка температуры источника излучения, в данном случае - Солнца.***

Ну так возьмите линзу с этим отношением в несколько раз лучше и попробуйте расплавить железку от света костра. Думаете, получится?

Температура в фокусе не может быть больше температуры источника излучения.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Извините, а вообще-то причем тут проблема - равна или не равна температура потока тепла от Солнца на Земле температуре на Солнце или нет?

Возможность выбрасывать энтропии из системы больше, чем вносится, определяется именно этим.

Только что в данной теме было математически доказано, что это невозможно : "энтропийный насос" - ошибка. Она связана с некорректной постановкой задачи. При наличии лишь тепловых потоков через границу закрытой системы её температура и энтропия могут только монотонно нарастать до своих максимальных значений в асимптотическом состоянии термодинамического равновесия (см. графики).

Математика предельно простая, основанная лишь на законе сохранения энергии (первое начало). Почему бы не убедиться, что это так.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Ведь задача-то начинается дальше, и она не в этом : может ли беспорядок уменьшаться в случайных процессах в любых системах : закрытых, открытых, - в любых процессах : равновесных, неравновесных, на термодинамической стадии, на кинетической стадии и т.д.

Лучше сначала сформулируйте толком, как Вы собираетесь измерять степень беспорядка? Если энтропией, то условия, при которых она может уменьшаться в незамкнутой системе, известны.

Беспорядок на термодинамической стадии измеряется энтропией. В более общем случае, на кинетической стадии случайного процесса, когда ещё локально в физически бесконечно малом объеме не установились корреляционные связи между "частицами", характеристикой беспорядка является функционал :

$$S=-\int f lnf d\Omega$$

,

где $f(x)$ - плотность вероятности - функция распределения в многомерном фазовом пространстве, в котором полностью упорядоченная система изображается точкой; $x$ - координаты этого пространства, множество которых совпадает с множеством параметров, характеризующих все объекты системы; $d\Omega$ - элемент объема этого пространства. На термодинамической стадии процесса этот функционал совпадает с энтропией (по Гиббсу, Эйнштейну).

Добавлено спустя 58 минут 57 секунд:

Someone

Цитата:

Цитата:

Отсюда интересный, очевидно, для Someone'a результат : т.к. размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния, то температура в фокусе всегда будет порядка температуры источника излучения, в данном случае - Солнца.

Я знаю гораздо более интересный результат на этот счёт. Вам на него намекает epros, когда предлагает расплавить стальную пластину, концентрируя на ней свет от костра. А я могу предложить Вам способ обойти это ограничение ("размер линзы всегда порядка её фокусного расстояния"). Вы говорите об одиночной линзе, а оптики умеют строить всякие хитрые оптические ...

Не хотелось бы отвлекаться на такие задачки, но интуитивно чувствуется, что скорее всего, как ни усложняй систему линз, большую температуру в пятне, чем температура источника, не получишь.

Важно в этом Вашем примере лишь то, что факт плавления пластинки в планетарии не противоречит тому, что температура теплового потока солнечного излучения, падающего на Землю, может быть меньше температуры на поверхности Солнца.***

Цитата:

Если температура солнечного излучения около Земли в 20 раз меньше температуры поверхности Солнца, то спектр этого излучения будет совершенно не похож на то, что мы наблюдаем в действительности. Поэтому можете смело выбросить свою теорию в топку.

1) Согласно нашей формуле, полученной из уравнений Максвелла,

$$T_s=T_{s0}(\frac {R_s}{R})^{1/2}$$

,

температура на солнечной стороне Меркурия, находящейся, ввиду большой длительности его суток, в равновесном состоянии с падающим на его поверхность солнечным излучением и поэтому обязанной быть равной температуре этого теплового потока, должна равняться $630K$.
2) Экспериментальное значение температуры солнечной стороны Меркурия - $500-700K$.
3) Согласно Вашему представлению о постоянстве температуры теплового потока от Солнца на любом расстоянии от него, температура на солнечной стороне Меркурия должна быть равна $5800K$. Это противоречит экспериментальным данным. Значит, что-то не так. С планковской температурой надо разбираться.

Более того, температура на поверхности любой планеты, находящейся в состоянии термодинамического равновесия со средой (когда действие регулярного фактора - вращения - мало), скажем, Плутона, тоже должна быть по-Вашему равной $5800K$. А она равна на самом деле $50K$. Расчет же по вышеприведенной формуле дает $60K$.

*** Помнится лишь факт, что под рефрактором в планетарии при кратковременном наведении его на солнце что-то дымило и плавилось. Было ли это железо, сказать трудно. Скорее всего что-то другое.

[epros]

pc20b писал(а):

К тому, что Ваше высказывание

epros писал(а):

похоже, что Вы не поняли, что макросостояние - это ни что иное, как множество возможных микросостояний.

является, очевидно, неудачным.

Ну допустим, а дальше-то что?

Мы начали с того, что Вы попытались мне объяснить, что случайный процесс отличается от неслучайного вовсе не вероятностным характером параметров:

pc20b писал(а):

epros писал(а):

Все процессы в той или иной мере случайны - соответственно тому, насколько мы не можем описать их точными значениями параметров и вынуждены прибегать к вероятностям

...в делении процессов на случайные и неслучайные (детерминированные) раздел проходит по другим критериям

А я попытался Вам объяснить, что необходимость введения "макросостояний" как раз тогда и возникает, когда конкретные состояния (="микросостояния") известны не точно, а только с некоторой вероятностью.

Мера того беспорядка, о котором Вы твердите, это вероятностная мера - та самая энтропия. Для детерминированных процессов она равна нулю и никуда не растёт и не уменьшается. Поэтому очень странно говорить о том, что различие между случайностью и неслучайностью процессов заключаются не в вероятностном характере их описания, а в каком-то ином "качестве беспорядка".

pc20b писал(а):

Согласно теореме о порядке, такое состояние биосистемы возможно только при наличии регуляризирующих (упорядочивающих) неслучайных факторов.

Вы какие-то загадочные слова произносите, а что за ними стоит - непонятно. Что это за "теорема о порядке"? Что это за "регуляризирующие (упорядочивающие) неслучайные факторы"? Только не частные примеры, пожалуйста, а определения дайте.

Стационарное состояние амазонской сельвы объясняется достаточно очевидным образом: эта биосистема находится в состоянии баланса потоков энтропии. Расти дальше нельзя потому, что некуда сбрасывать избыток энтропии, производимой лишней биомассой. А уменьшения не происходит потому, что при уменьшении биомассы генерация энтропии в системе уменьшилась бы, в результате чего создалась бы возможность увеличения порядка в системе (роста биомассы) до момента восстановления баланса.

pc20b писал(а):

Температура в фокусе не может быть больше температуры источника излучения.

Это замечательно, что Вы к этому пришли. Остался один шаг до признания того, что это и есть температура самого излучения. Если такая операция как "фокусировка" не может повысить температуру излучения, значит она и была равна 6000 градусов.

Согласитесь, что если взять линзу размером ровно с Землю и сфокусировать весь солнечный свет, который до этого равномерно падал на поверхность Земли, в какой-нибудь одной области её поверхности, то баланс потоков энергии от этого не изменится: Земля в целом будет получать и излучать тот же поток энергии. Данную область можно было бы нагреть до 6000 градусов, но если существует тепловая машина, которая работает за счёт разности температур разных участков Земли, то работа этой машины будет выравнивать разности температур разных участков. Если эта машина использует разность температур "по максимуму", то в результате её работы Земля окажется нагретой равномерно - т.е. примерно как и сейчас, со средней температурой около 300 К. Так вот, работа, которую может совершать эта тепловая машина - это и есть тот ресурс, который могут использовать все организмы или устройства на поверхности Земли. Его величина полностью определяется разностью потоков исходящей и входящей энтропии.

pc20b писал(а):

Только что в данной теме было математически доказано, что это невозможно : "энтропийный насос" - ошибка. Она связана с некорректной постановкой задачи. При наличии лишь тепловых потоков через границу закрытой системы её температура и энтропия могут только монотонно нарастать до своих максимальных значений в асимптотическом состоянии термодинамического равновесия (см. графики).

Нет. Не доказано. Если входящий поток энергии $E$, то он же в среднем равен исходящему. При этом входящий поток энтропии $\frac{E}{6000K}$, а исходящий поток энтропии не превышает $\frac{E}{300K}$. Разность - это та энтропия, которую могут генерировать наземные процессы, в том числе - жизнедеятельность организмов и деятельность технических устройств, совершающих "полезную" (для нас) работу.

Другое дело, как я уже сказал, что большую часть этой разности биосфера использовать не умеет и она теряется уже в момент поглощения солнечного света поверхностью Земли (или растениями).

pc20b писал(а):

Беспорядок на термодинамической стадии измеряется энтропией. В более общем случае, на кинетической стадии случайного процесса, когда ещё локально в физически бесконечно малом объеме не установились корреляционные связи между "частицами", характеристикой беспорядка является функционал :

$$S=-\int f lnf d\Omega$$

,

где $f(x)$ - плотность вероятности - функция распределения в многомерном фазовом пространстве, в котором полностью упорядоченная система изображается точкой; $x$ - координаты этого пространства, множество которых совпадает с множеством параметров, характеризующих все объекты системы; $d\Omega$ - элемент объема этого пространства. На термодинамической стадии процесса этот функционал совпадает с энтропией (по Гиббсу, Эйнштейну).

Я не понял, почему на "кинетической стадии" эта величина не является энтропией?

[pc20b]

epros

Цитата:

epros писал(а):
Все процессы в той или иной мере случайны - соответственно тому, насколько мы не можем описать их точными значениями параметров и вынуждены прибегать к вероятностям

Это высказывание похоже на такое : "Всё от Бога". Кто же спорит, что всё флуктуирует. Даже детерминированная как скала генеральная линия. Так в чем же дело?

Одно дело, когда эти случайные процессы доминируют, практически полностью определяют поведение (эволюцию) системы. Скажем, нагрев голой и невращающейся Земли излучением Солнца и его переизлучением в космос. Это - чистой воды термодинамика случайных процессов в закрытой системе. Энтропия и температура в такой системе, как легко показать, будут лишь монотонно нарастать до своих максимальных значений в состоянии термодинамического равновесия и именно в нем будут их сохранять при равенстве потоков входящего и выходящего излучения. Возможность существования отрицательной скорости изменения энтропии ("энтропийного насоса") - это дикое недоразумение (связанное, возможно, с нежеланием решать дифференциальные уравнения).


А другое дело, когда мы учитываем, что, во-первых, Земля вращается, во-вторых, что на ней существует биосфера, потребляющая, скажем, значительную часть теплового потока от Солнца. Эти два процесса : периодическое прерывание потока входящего излучения и реакция фотосинтеза + дыхание, - являются строго детерминированными, неслучайными. Мы их называем регулярными факторами. Их действие приводит к качественному изменению поведения системы : теперь, несмотря по-прежнему на наличие случайных процессов (нагрева, излучения), поведение системы будет другим и определяться этими факторами :

становится возможным, во-первых, стационарное состояние, далекое от термодинамического равновесия, при котором средние значения температуры и энтропии меньше их равновесных значений при максимуме беспорядка, во-вторых, возможно и монотонное уменьшение как температуры и энтропии, что выльется в усложнение форм и функций объектов в данной системе.

(продолжение следует)

.

[epros]

pc20b писал(а):

Это высказывание похоже на такое : "Всё от Бога". Кто же спорит, что всё флуктуирует. Даже детерминированная как скала генеральная линия. Так в чем же дело?

Попробую ещё раз объяснить. Случайным является такой процесс, реализации которого описываются вероятностями. Детерминированный процесс - это частный случай, в котором одна из реализаций имеет единичную вероятность, а остальные - нулевые.

Количественная мера "случайности" известна - это та самая энтропия. Для детерминированного процесса она равна нулю. Что касается флуктуаций, то они выражают отклонение наблюдаемого значения параметра от теоретически предсказанного. Если флуктуирует параметр "детерминированного" процесса, это означает, что описание процесса как детерминированного неадекватно. Так часто происходит, когда вероятностное описание параметров случайного процесса заменяют "средними значениями". Естественно, что величина, которая согласно её более правильному описанию является случайной, будет отклоняться от своего среднего значения.

pc20b писал(а):

Скажем, нагрев голой и невращающейся Земли излучением Солнца и его переизлучением в космос. Это - чистой воды термодинамика случайных процессов в закрытой системе. Энтропия и температура в такой системе, как легко показать, будут лишь монотонно нарастать до своих максимальных значений в состоянии термодинамического равновесия и именно в нем будут их сохранять при равенстве потоков входящего и выходящего излучения.

"Равновесное" (а точнее - стационарное) состояние будет достигнуто при температуре около 300K. В этом состоянии входящий и исходящий потоки энергии равны, а исходящий поток энтропии в 20 раз превосходит входящий. О чём это говорит? О том, что 19/20 всего исходящего потока энтропии генерируется в системе - на поверхности Земли. Некоторая часть от этого - результат жизнедеятельности.

pc20b писал(а):

Возможность существования отрицательной скорости изменения энтропии ("энтропийного насоса") - это дикое недоразумение (связанное, возможно, с нежеланием решать дифференциальные уравнения).

Уменьшение энтропии в системе может возникнуть, если в ней отсутствуют механизмы генерации достаточного потока энтропии (биомасса пока не наросла).

pc20b писал(а):

..приводит к качественному изменению поведения системы

Вращение Земли ничего принципиально не меняет. Если на неподвижной Земле тепловая машина может выполнять работу за счёт передачи тепла с дневной стороны на ночную, то на вращающейся Земле она может выполнять работу за счёт накапливания тепла днём и излучения его ночью. Другое дело, что биосфера не очень хорошо умеет передавать тепло на десятки тысяч километров вдоль поверхности Земли, зато достаточно хорошо умеет накапливать его днём и отдавать ночью.

[pc20b]

epros
Чтобы покончить с насосом раз и навсегда, давайте подробно рассмотрим эту ситуацию. Вот Вы пишите :

Цитата:

Если входящий поток энергии $E$, то он же в среднем равен исходящему. При этом входящий поток энтропии $\frac{E}{6000K}$, а исходящий поток энтропии не превышает $\frac{E}{300K}$. Разность - это та энтропия, которую могут генерировать наземные процессы, в том числе - жизнедеятельность организмов и деятельность технических устройств, совершающих "полезную" (для нас) работу.

Что Вы здесь сказали? Обозначим входящий поток энергии (мощность) $P_s$, температуру его $T_s$, исходящий поток энергии $P$ (который, как Вы говорите, в среднем равен входящему потоку) , его температуру $T$, а поток энтропии (скорость её изменения) как $\frac {dS}{dt}$. Тогда Ваше утверждение будет выглядеть так :

(*)

$$\frac {dS}{dt}=P(\frac {1}{T_s}-\frac {1}{T})\leqslant 0$$

.

Т.к. все параметры здесь известны (для Земли, например) и постоянны, то скорость "экспорта" энтропии получается (при $T_s=5800K$) где-то

$$\frac {dS}{dt}=-4 10^{14}\frac {Watt}{K}$$

,

причем, цифра не очень, кстати, изменится, если подставить $T_s$ и пониже ... В чем странность этого выражения (*)? Во-первых, если его проинтегрировать, то получим, что за конечное (и небольшое) время таким образом можно энтропию нагревающегося слоя планеты вообще "откачать" до нуля при конечной его температуре, что, естественно, абсурдно.

Во-вторых, правая часть его записана просто некорректно : первый член применен к входящему излучению (использованы его мощность $P_s$ и температура $T_s$), а второй - к самой поверхности, через границу которой идет поток энергии $P$ при температуре $T$. А этого делать нельзя, т.к. в формуле связи дифференциала энтропии с приращением тепла,

(1)

$$dS=\frac {dQ}{T}$$

,

в которой температура $T$ является интегрирующим множителем, все величины должны быть отнесены к одному объекту, в данном случае - к поверхности планеты.

Наконец, в-третьих, несуразность выражения (*) очевидна сразу, если вспомнить, что энтропия - функция состояния. А состояние системы в данном случае определяется одним её параметром - температурой. В формуле же (*) температура поверхностного слоя постоянна, а энтропия - меняется,

$$dS/dt\leqslant 0$$

. Это явное противоречие.

Как выглядит правильное выражение для скорости изменения энтропии? Поток тепловой энергии $Q$ через границу системы равен разности входящего и выходящего потоков :

(2)

$$\frac{dQ}{dt}=P_s-P$$

,

откуда, используя (1), получаем, в противоположность (*), правильное соотношение :

(**)

$$\frac {dS}{dt}=\frac {1}{T}(P_s-P)\geqslant 0$$

.

Уже из него невооруженным глазом видно, что энтропия всегда будет монотонно возрастать, т.к. всегда

$$P\leqslant P_s$$

.

Если к (1) и (2) добавить первое начало термодинамики,

(3)

$$dQ=dU=c_vMdT$$

,

где $c_v$ - теплоемкость при постоянном объеме,

$$M=\Sigma \rho h$$

- масса прогревающегося приповерхностного слоя площадью $\Sigma$, глубиной $h$ и плотностью $\rho$, то получаем исходную систему уравнений, описывающую термодинамику данной закрытой системы :

(4)

$$ dS=c_vM\frac {dT}{T}$$

,
(5)

$$ c_vM\frac {dT}{dt}=\Sigma \sigma (T_s^4-T^4)$$

,

где для простоты положено, что входящее и выходящее излучение носит чернотельный характер.
Интегрирование уравнения (4) приводит к тому, что энтропия, как ей и положено в системе без трения, логарифмически нарастает с ростом температуры,

$$S-S_0=c_vMln\frac {T}{T_0}$$

,

а интегрирование (5) дает монотонно возрастающую зависимость температуры планеты от времени :

$$t-t_0=\frac {c_vM}{2}(arctg T-arctg T_0)+\frac {1}{4}lnq_0\frac {T_s+T}{T_s-T}$$

,

где

$$q_0=\frac {T_s-T_0}{T_s+T_0}$$

.

Из этого точного решения видно, что при $t\to \infty$ температура стремится к равновесному значению, равному температуре среды, в данном случае, температуре входящего теплового потока от Солнца :

$$T\to T_s$$

. При этом энтропия также стремится к своему термодинамическому максимуму

$$S_{\infty}$$

, равному

$$S_{\infty}-S_0=c_vMln\frac {T_s}{T_0}$$

.

Индексом ноль снабжены начальные значения параметров.

Таким образом, качественный вывод такой : не термодинамический "насос" обеспечивает "энтропийную яму", которую "засыпают энтропией" организмы при своей жизнедеятельности, а наоборот, жизнедеятельность организмов и другие неслучайные процессы ведут к уменьшению энтропии, т.е. беспорядка в системе. И к росту порядка.