Теорема о порядке: в случайном процессе порядок не нарастает

[epros]

pc20b писал(а):

Ответ на вопрос почему : потому что если события случайные, то порядок в них нарастать не может - так утверждает теорема о порядке.

Просветите, что это за теорема такая? Случайные процессы - это всего лишь такие процессы, возможные реализации которых описываются неким распределением вероятностей. Соответственно, случайные события - это события, описываемые некоторыми вероятностями. Что это за "порядок", который почему-то в них "нарастать не может"?

Я знаю закон неубывания энтропии замкнутой системы - называется "вторым началом термодинамики". Он имеет вероятностную формулировку и, соответственно, математический смысл. Это оно или нет?

pc20b писал(а):

Проблема в другом - в чем причина подчас наблюдаемого уменьшения беспорядка (мерой которого является, в частности, энтропия) в неизолированных подсистемах : закрытых (допускающих лишь обмен тепловыми потоками), открытых (допускающих ещё и обмен частицами). Может ли она быть связана со случайными процессами? Вот в чем вопрос.

Что значит "связана со случайными процессами"? Все процессы в той или иной мере случайны - соответственно тому, насколько мы не можем описать их точными значениями параметров и вынуждены прибегать к вероятностям.

Энтропия незамкнутой системы может при определённых условиях уменьшаться. Это ли не достаточная "причина" самоорганизации ("наблюдаемого уменьшения беспорядка")?

pc20b писал(а):

К примеру, mzmz привела пример уменьшения энтропии планеты при нагреве её солнцем. Что является причиной этого явления? - Механизм "энтропийного насоса", как это принято считать в литературе ("фотонной мельницы")? Чисто термодинамический. Или нет?

А чем Вам не нравится это объяснение? Механизм "откачки" энтропии с земной поверхности несомненно существует. Вопрос состоит только в том, при каких условиях она (откачка) не может быть скомпенсирована внутренней генерацией энтропии в системе, так что нарушение баланса приводит к явлениям самоорганизации.

pc20b писал(а):

Ещё пример. Откуда и как возникла клетка? Что, "выпотела из коацерватных капель", случайно? Ревела буря гром гремел во мраке молнии блистали и непрерывно дождь шуме-ел и ветры в дебрях бушевали ... Так было? Теорема о порядке говорит - нет, так быть не могло.

А эта теорема, случаем, не говорит о том, что возникновение снежинок невозможно? Был только водяной пар в воздухе и вдруг - бах - совершенно случайно вырастает множество таких весьма сложных структур, как снежинки.

[Шимпанзе]

Читайте труды Лауреата нобелевской премии И.Пригожина. За это и премию получил.


Шимпанзе

[pc20b]

epros
Разрешите начать с последнего :

Цитата:

А эта теорема, случаем, не говорит о том, что возникновение снежинок невозможно? Был только водяной пар в воздухе и вдруг - бах - совершенно случайно вырастает множество таких весьма сложных структур, как снежинки.

Случаем говорит. Что возникновение снежинок в случайном процессе невозможно. Бах - и никакого случая. Ну сами посудите, вот лишь некоторые их свойства.
1) С образуются при фазовом переходе пар - лед, который является строго регламентированным неслучайным процессом.
2) С являются фракталами - у них как кристаллическая решетка, так и глобальный монокристалл имеют гексагональную структуру.
3) При столкновении фронтов пара и холодного воздуха выполняется условие покрытия площади без образования пустот. Только треугольники, квадраты и шестиугольники способны на это, но система выбирает шестиугольники, т.к. только они могут покрыть максимальную площадь (экстремальная вариационная задача).
4) Существует конечное число типов С (10 - 20).
5) С выталкивают грязь.

И где Вы тут увидели случай? Возникновение сложных структур - налицо. Флуктуации - ничтожно малы. Разве что С имеют национальность - в каждой стране свои типы ...

[mzmz]

Шимпанзе,

Отдыхайте в здравницах Крыма. Пейте пиво, на вкус приятно и на цвет красиво. Храните деньги в сберегательных кассах. Летайте самолетами Аэрофлота.

Это что, научный аргумент?

[epros]

pc20b писал(а):

И где Вы тут увидели случай? Возникновение сложных структур - налицо. Флуктуации - ничтожно малы.

Вы перечислили некоторые закономерности (а как известно, случайный процесс не исключает наличия в нём закономерностей), но я не знаю теории, которая бы совершенно чётко предсказывала какие именно снежинки возникнут в конкретном случае. Насколько я знаю, практически каждая из них - уникальна, а большинство из них устроены весьма сложным образом.

Наша невозможность предсказать конкретный результат - это ли не "случайность"? Если нет, то что тогда Вы понимаете под "случайностью"?

[mzmz]

epros,

Цитата:

А чем Вам не нравится это объяснение? Механизм "откачки" энтропии с земной поверхности несомненно существует.

Нет, не существует.

ПРОИЗВОДСТВО И ЭКСПОРТ ЭНТРОПИИ В ЗАКРЫТОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЕ

Существует модель т.н. «энтропийного насоса», в которой утверждается, что для объяснения возможности уменьшения энтропии в какой-то части системы достаточно ее незамкнутости (синоним - неизолированности). Это может, по предположению, обеспечить отток тепла $Q$ из системы (необходимое условие существования механизма уменьшения энтропии $S$) : т.к. при температуре $T$ изменение энтропии $dS \geqslant dQ/T$ и нужно, чтобы в рассматриваемой подсистеме было $dS < 0$, то необходимо, чтобы и $dQ < 0$, т.е. из неё обязательно должен выходить поток тепла, унося отработанную «разупорядоченную» энергию. Если экспорт энтропии превышает её производство внутри открытой подсистемы, то энтропия её будет уменьшаться. Покажем, что, несмотря на правильность этого рассуждения, такой процесс идет по-другому и принципиально не может привести к уменьшению энтропии неизолированной подсистемы.

Рассмотрим поверхность Земли, на которую падает поток практически чернотельного солнечного излучения, и которая, нагреваясь, переизлучает его в космос.
При равенстве входящих и выходящих потоков тепловой энергии (условие стационарности) превышение экспорта энтропии (за счет ухода теплового потока в космос) над её производством падающим на планету потоком солнечного излучения, за счет чего энтропия $S$ должна уменьшаться в экосфере планеты, объясняется механизмом «фотонной мельницы» : поступает «высокоорганизованный» поток тепловой солнечной энергии $P$ при высокой температуре $T_s$, а уходит с поверхности планеты тот же поток при более низкой температуре $T_e$ – менее организованный. Это обеспечивает отрицательную скорость приращения энтропии :

$$\frac{dS}{dt}=P \left(1/T_s-1/T_e \right)$$

(1)

Если в (1) подставить величины входящих в неё параметров для Земли, то скорость уменьшения энтропии будет около :

$$v=dS/dt = -4 \cdot 10^{14}$$

Вт/К.

К сожалению, это неверно : в такой неизолированной системе как температура поверхности Земли, так и её энтропия будут расти до достижения системой термодинамического равновесия с окружающей средой при температуре, равной температуре падающего солнечного излучения $T_s$ (которая, естественно, меньше температуры на Солнце $T_{s0}= 5800$ К за счет расширения фотонного газа в вакуум : $T_s=T_{s0}(R_{s0}/R_s)^{1/2}$, где $R_{s0}$,$R_s$ – радиус Солнца и расстояние от Солнца до планеты соответственно). Покажем это.
Прежде всего, заметим, что выражение (1) содержит несколько неточностей. Во-первых, в нем температура Земли считается постоянной, что возможно при нагреве лишь в случае бесконечной теплоемкости. Но это несущественно. Во-вторых, и это главное, в нем термодинамическое равенство

$$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{T}\frac{dQ}{dt}$$

(2)

применено не к одной системе, а сначала к входящему потоку тепла при температуре $T_s$ (первый член), а затем к поверхности Земли (второй член). Некорректность (1) очевидна уже из того, что его интегрирование приводит к линейному уменьшению энтропии поглощающего солнечное тепло и излучаю-щего в вакуум приповерхностного слоя планеты :

$$S(t)=S_0+vt$$

,

согласно которому в стационарной системе с постоянной температурой $Т_e$ энтропия должна уменьшиться до нуля за конечное время $t=S_0/ \left| v \right|$, что противоречит третьему закону термодинамики : при $S = 0$ температура должна равняться нулю, $T = 0$.

Корректное решение задачи состоит в следующем. Дифференциальное соотношение (2), описывающее незамкнутую систему без трения, дополненное первым законом термодинамики для данной системы,

$$dQ=dU=c_VMdT$$

,

где $U$ – внутренняя энергия, $c_V$ – теплоемкость при постоянном объеме, $M$ – масса приповерхностного слоя грунта, $M=\rho \Pi h$ , где $\rho$ - плотность грунта, $\Pi$ – площадь поверхности планеты, $h$ – высота нагревающегося слоя, - а также связью мощности чернотельного излучения с температурой,
$\frac{dQ}{dt}=\Pi \sigma T^4$,
где $\sigma$ - постоянная Стефана-Больцмана, приводит к следующей системе урав-нений :

$$\frac{dS}{dt}=\frac{1}{T}c_VM\frac{dT}{dt}=\frac{1}{T}\left( 1-T^4 \right)$$

. (3)

В уравнениях (3) все величины обезразмерены : : время $t$ измеряется в единицах $\tau$ - характерного времени задачи; теплоемкость $c_V$ – в единицах $k/m$, где $k$ – постоянная Больцмана, $m$ – масса нуклона; температура $T$ – в единицах $T_s$; масса $M$ – в единицах $\rho \Pi h$; энтропия $S$ – в единицах $\Pi \sigma T_s^3 \tau$. Нормировочная константа $\tau$ связана с другими параметрами данной термодинамической системы и фундаментальными константами : $\tau=k \rho h/ m \sigma T_s^3$.

Из первого уравнения

$$\frac{dS}{dT}=\frac{c_VM}{T}$$

(4)

следует однозначная и очевидная связь приращения энтропии с температурой прогреваемого слоя планеты (будем считать теплоемкость постоянной, это не принципиально) :

$$\Delta S=S-S_0=c_VMln \frac{T}{T_0}$$

, (5)

где $$S_0$,$T_0$$ - начальные значения энтропии и температуры, откуда видно, что при повышении температуры энтропия будет расти логарифмически.
Интегрируя второе уравнение в (3) – дифференциальное уравнение для зависимости температуры от времени,

$$c_VM\frac{dT}{dt}=(1-T^4)$$

, (6)

получаем :

$$\alpha (t-t_0)=\frac{1}{2}(arctgT-arctgT_0)+\frac{1}{4}lnq_0\frac{1+T}{1-t}$$

, (7)

где $\alpha=1/c_VM$,$q_0=(1-T_0)/(1+T_0)$ .

Из (7) следует, что при $t \to \infty$ $T \to \infty$ (т.е. размерная температура увеличивается до равновесного значения, равного $T_s$). При этом, как следует из (5), энтропия также будет увеличиваться до термодинамического предела, равного $c_VMln1/T_0$.
Таким образом, неизолированность системы при наличии тепловых потоков через её границу, даже при их различной температуре, не может привести к уменьшению её энтропии и не препятствует достижению термодинамического равновесия с окружающей средой при максимуме энтропии.

[Шимпанзе]

mzmz писал(а):

Шимпанзе,

Это что, научный аргумент?

Это больше, чем научный аргумент - это научный метод! Начинать то надо с изучения вопроса. А иначе не уважение получается к себе и другим и в результате тема как обычно - коту под хвост.
Что ж мне прикажите пересказывать И.Пригожина, который именно за данную тематику получил нобелевку. И закрыл множество вопросов , которые здесь вдруг поставлены.

Шимпанзе

[Someone]

mzmz писал(а):

Если на Землю будет падать поток солнечной энергии, она будет нагреваться, пока ее температура не станет равной температуре падающего излучения. Только тогда излученная энергия станет равной поглощенной.

Ой, неправда! Равновесная температура Земли - минус 16 градусов по Цельсию (А.В.Бялко. Наша планета - Земля. Москва, "Наука", 1983. Глава IV, пункт 2.). Фактически средняя температура на поверхности Земли составляет плюс 15 градусов благодаря парниковому эффекту.

mzmz писал(а):

Тем, что мы, к счастью, живем на Земле, температура которой меньше температуры солнечного излучения, мы обязаны вовсе не тому, что Земля излучает энергию в окружающее пространство (хотя это, конечно, необходимо), а совсем другому фактору. Фактор этот - вращение, смена дня и ночи.

Вот уж нет. Вращение вызывает только суточные колебания температуры - за счёт колебаний поглощаемого солнечного излучения. В среднем же за большие промежутки времени температура сохраняется практически постоянной именно благодаря тому, что - опять же в среднем, за большие промежутки времени - количество излучённой энергии равно количеству поглощённой (с поправками, о которых я уже говорил).

mzmz писал(а):

Кстати, в течение дня, пока Солнышко светит, Земля нагревается, и еще как. А в течение ночи - остывает. Проверено экспериментально.

Поскольку систематически температура не повышается и не понижается, то баланс энергии должен соблюдаться. Не в каждый момент времени, конечно (мне жаль, что Вы так мои слова восприняли), а в среднем, за достаточно большой промежуток времени. И речь идёт, разумеется, о Земле в целом. Если говорить о конкретном географическом пункте, то большую роль играет ещё перенос энергии течениями воздуха и воды.

[pc20b]

epros
Разрешите прокомментировать ещё один Ваш, очевидно, в основном риторический вопрос.

Цитата:

Что значит "связана со случайными процессами"? Все процессы в той или иной мере случайны - соответственно тому, насколько мы не можем описать их точными значениями параметров и вынуждены прибегать к вероятностям.

Да, в определенной мере. Вопрос лишь в величине этой меры и в её качестве. Естественно, точно мы ничего не можем. Но в делении процессов на случайные и неслучайные (детерминированные) раздел проходит по другим критериям. В случайном процессе микросостояния и макросостояния описываются (неточно, кстати) разными наборами параметров, причем, не связанными функциональной зависимостью. В неслучайном процессе микросостояние одно и эквивалентно макросостоянию. Хотя параметры и флуктуируют, но их можно найти с требуемой точностью. Т.е. незнание, вероятностный характер параметров в детерминированном процессе не принципиальны.

Но дело не только в возможности или невозможности описать процесс с нужной точностью. И даже не только в возможности его многократной реализации с достаточной повторяемостью.

Принципиальный водораздел проходит, очевидно, по качеству этих процессов. Которое как раз и характеризуется беспорядком - уменьшается он или растет? Наглядный пример. Вот Вам топор, бревна. Попробуйте беспорядочными размахиваниями им построить дом за любое обозримое время. Ничего у Вас не выйдет. Только мусору (энтропии) прибавится. А теперь то же самое по плану, под руководством плотника. Сложность системы, порядок возрастут. Беспорядок уменьшится.

[mzmz]

Someone,

Немного выше только что выложено описание модели Земли, находящейся под воздействием солнечного излучения, а также излучающей энергию в окружающее пространство. Также можно добавить

ВРАЩЕНИЕ КАК РЕГУЛЯРНЫЙ СТАБИЛИЗИРУЮЩИЙ ФАКТОР

Тем не менее, мы наблюдаем планеты, находящиеся в стационарном упорядоченном состоянии, далеком от термодинамического равновесия, при температуре ниже температуры солнечного теплового излучения $T_s=1$. Следовательно, должен действовать неслучайный (регулярный) фактор, препятствующий увеличению температуры и энтропии. Таким фактором в данном случае является вращение, приводящее к периодической смене дня и ночи и к ограничению изменений $T$ и $S$ в определенном «коридоре». При этом на солнечной стороне планета принимает поток излучения и сама излучает, $T$ и $S$ растут, а на ночной стороне планета лишь излучает тепло, её $T$ и $S$ уменьшаются. После завершения переходного процесса устанавливаются стационарные средние значения $T_1$, $T_2$ температур на дневной и солнечной стороне. Энтропия также выходит на постоянное среднее значение, меньшее, чем в состоянии термодинамического равновесия.
Уравнение (3) с решением (4) справедливо на обеих сторонах, поэтому, и это очевидно заранее из того, что энтропия является функцией состояния, полное изменение $S$ за период при $t \to \infty$, будет равно нулю :

$$\Delta S=c_VM \left( ln\frac{T_1}{T_2}+ln\frac{T_2}{T_1} \right)=0$$

,

т.к. эти состояние повторяется периодически.
Уравнение (6) для температуры и его решение (7) справедливы на солнечной стороне. На ночной (теневой) стороне уравнение (6) упрощается :

$$c_VM\frac{dT}{dt}=-T^4$$

, (8)

как и его решение :

$$T=\left( 1/T_0^3+3\alpha (t-t_0)\right)^{-1/3}$$

. (9)


Если внутри системы происходят диссипативные необратимые процессы (трение), то, несмотря на её неизолированность, энтропия будет лишь возрастать.

[epros]

pc20b писал(а):

В случайном процессе микросостояния и макросостояния описываются (неточно, кстати) разными наборами параметров, причем, не связанными функциональной зависимостью. В неслучайном процессе микросостояние одно и эквивалентно макросостоянию. Хотя параметры и флуктуируют, но их можно найти с требуемой точностью. Т.е. незнание, вероятностный характер параметров в детерминированном процессе не принципиальны.

Вы что-то не то понимаете под "макросостоянием" и "микросостоянием". Если микросостояние эквивалентно макросостоянию, то это и означает абсолютную детерминированность процесса. Если параметры процесса описаны (предсказаны) с абсолютной точностью, то они не могут "флуктуировать", потому что флуктуация - это отклонение измеренного значения параметра от теоретически предсказанного.

pc20b писал(а):

Принципиальный водораздел проходит, очевидно, по качеству этих процессов. Которое как раз и характеризуется беспорядком - уменьшается он или растет? Наглядный пример. Вот Вам топор, бревна. Попробуйте беспорядочными размахиваниями им построить дом за любое обозримое время. Ничего у Вас не выйдет. Только мусору (энтропии) прибавится. А теперь то же самое по плану, под руководством плотника. Сложность системы, порядок возрастут. Беспорядок уменьшится.

Качественно можно говорить о чём угодно. Например, я оцениваю состояние комнаты моей дочери как "страшный беспорядок", что совершенно не совпадает с её собственной оценкой. Конкретный смысл у утверждения появляется только тогда, когда математически строго формализовано о чём именно идёт речь. В частности - как именно мы будем измерять "степень беспорядка" и что с этим параметром должно происходить в силу уравнений динамики системы.

[mzmz]

Для иллюстрации сказанного можно привести следующие рисунки.


Рис.1. Зависимость температуры планеты от времени в случае без вращения (1) и с вращением (2). Температура измеряется в единицах $T_s$, время – в десятках суток.



Рис.2. Зависимость изменения энтропии планеты от времени в случае без вращения (1) и с вращением (2). Изменение энтропии измеряется в единицах максимально возможного ее изменения при отсутствии вращения, время – в десятках суток.

На рис.1 приведены зависимости температуры от времени для планеты в случае, когда нет вращения, и когда оно имеется. При отсутствии вращения температура стремится к единице, т.е. к температуре солнечного излучения. Таким образом, если отсутствует вращение, система приходит в состояние термодинамического равновесия с излучением.
При наличии вращения устанавливается стационарное состояние, далекое от равновесия с солнечным излучением. Температура в этом состоянии в течение суток совершает небольшие колебания вокруг значения, меньшего единицы. Таким образом, вращение обеспечивает прерывание процесса нагрева и дополнительное охлаждение планеты, что и приводит к уходу неизолированной системы от равновесного состояния с излучением.
Соответственно энтропия планеты при отсутствии вращения (рис.2) стремится к максимуму, соответствующему термодинамическому равновесию с излучением. При наличии же вращения энтропия стремится к меньшему стационарному значению.

Таким образом, именно вращение является регуляризирующим фактором, сдерживающим стремление энтропии и температуры к максимальным, равновесным значениям. ***

*** Возможно, именно из-за слабого действия фактора вращения, к примеру, на Меркурии отсутствует жизнь, т.к. у него период смены дня и ночи велик, из-за чего стационарные состояния его ночной и дневной сторон близки к равновесным термодинамическим при максимуме энтропии.

[Someone]

mzmz писал(а):

при температуре, равной температуре падающего солнечного излучения $T_s$ (которая, естественно, меньше температуры на Солнце $T_{s0}= 5800$ К за счет расширения фотонного газа в вакуум : $T_s=T_{s0}(R_{s0}/R_s)^{1/2}$, где $R_{s0}$,$R_s$ – радиус Солнца и расстояние от Солнца до планеты соответственно).

О, боже! Слов нет. Что, фотонный газ, расширяясь в вакуум, совершает работу и теряет энергию? А вообще, идеальный газ, расширяющийся в вакуум, работу совершает? Вы в курсе, что температура излучения связана с его спектром, и что спектр солнечного излучения не изменяется, пока оно (излучение) добирается до Земли? Естественно, микроскопическим гравитационным красным смещением пренебрегаем.

[pc20b]

Someone

Цитата:

О, боже! Слов нет. Что, фотонный газ, расширяясь в вакуум,

Может, мы что-то не понимаем, но поток энергии от солнышка :

$$P=c\varepsilon \Sigma = \sigma T^44\pi R^2=const$$

.

Отсюда температура чернотельного излучения на расстоянии $R$от него :

$$T(R)=(\frac {P}{4\pi \sigma R^2})^{1/4}$$

.

[Someone]

pc20b писал(а):

Отсюда температура чернотельного излучения на расстоянии $R$от него ...

А что такое температура излучения? И ещё раз повторюсь: спектр излучения абсолютно чёрного тела однозначно определяется температурой тела, и по спектру эту температуру можно однозначно восстановить (реально спектр солнечного излучения в коротковолновой части заметно отличается от спектра абсолютно чёрного тела: http://crydee.sai.msu.ru/ak4/Chapt_7_108.htm). Этот спектр не меняется при распространении излучения, поэтому и температура излучения не меняется. Кстати, в детстве я наблюдал в планетарии опыт, в котором стальная пластина в направленном на неё потоке солнечного излучения плавилась и горела - как при электросварке.

Ваша формула выглядит так, будто бы поток излучения, идущий от Солнца, на каждой сфере $R=Const$ полностью поглощается и заново излучается. Это очень странное представление, поскольку в окружающем нас космическом пространстве нет ничего, что могло бы поглощать и переизлучать эту энергию.

Равновесная температура планеты определяется вовсе не температурой падающего излучения, а балансом поглощённой и излучённой энергии. Если планета достаточно быстро вращается и имеет достаточно плотную атмосферу, то излучение падает на сечение $\pi r^2$, а излучается с поверхности $4\pi r^2$. И здесь большую роль играет альбедо планеты (её отражательная способность). Например, альбедо Земли - 28%, а Луны - 7%. Выше я писал, что равновесная температура Земли составляет $-16^oC$ - это при альбедо 28%. А при альбедо 40% равновесная температура составляла бы $-28^oC$. В Ваших же формулах никакого альбедо нет.