Как определить "не принадлежит"?

[Побережный Александр]

Joker_vD в сообщении #654608 писал(а):

$A=\{1,2,3\}$ — это коробка, в которой лежат искусно вырезанные из дерева единица, двойка, и тройка.

Уважаемый Joker_vD, реальными являются "искусно вырезанные из дерева" единица, двойка и тройка. А все коробки, которые нагромождаем - это виртуальные образы нашего интеллекта. По нашему желанию мы можем каждую фигурку положить в мысленную коробочку, а может по две положить, ну и по три конечно. Количество коробочек можно на фантазировать сколько угодно. Реальных объекта только три. В моем случае А - это реальные фигурки "два" и "три". В множестве К я их сосчитал поштучно, а в булеане сосчитал парой. Разве эти фигурки изменились от способа счета?

[Xaositect]

1, 2 и 3 - это все-таки, не "искусно вырезаные из дерева" полновесные единица, двойка и тройка, а такие же образы нашего интеллекта.

(Оффтоп)

Часто их представляют как такие же коробки внутри коробок, причем если распаковать их все, то там ничего нет

Но мы здесь не о философии, а о формальном понятии подмножества. Ссылку на определение Вы привели, и можете сами проверить, выполняется оно или нет.
Вы, кстати, так и не привели правильного булеана ни для $\{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}$, как я просил, ни для своего $\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$.

[Someone]

(Deggial)

Deggial в сообщении #654611 писал(а):

А как мыслить классы, не являющиеся множествами?

В теории множеств Неймана - Бернайса - Гёделя основными объектами являются классы, а множество определяется как такой класс, который является элементом какого-нибудь класса. Поэтому на уровне коробок можете мыслить класс, не являющийся множеством, как такую коробку, которую нельзя положить ни в каую коробку.

Я совершенно не ожидал, что Побережный Александр настолько невежествен в теории множеств и логике, которые он стремится "исправить". Он даже логики русского языка не чувствует. Всякое желание что-либо ему объяснять пропало.

[Побережный Александр]

Уважаемый Someone, я и не считаю себя профессионалом в теории множеств и мат.логике. Но у меня возникли противоречия в понимании материала и я пытаюсь их разрешить. То что вам очевидно, мне совсем не очевидно. Поэтому я и обращаюсь к специалистам. Например, для меня было откровение о трактовании частицы "не", которое я понял именно с вашей помощью. Очень вам за это благодарен.
Кстати, спасибо всем участникам дискуссии!
Xaositect, прошу прощения, что не всегда сразу отвечаю. Сейчас попробую построить упомянутый булеан.
$K=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$, $A=\{\{1\},\{2\}\}$, $2^K=\{\{\varnothing\},\{1\},\{2\},\{3\},\{\{1\},\{2\}\},\{\{1\},\{3\}\},\{\{2\},\{3\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\}$
Булеан для $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ на мой взгляд будет $\varnothing$
Вопрос то может и философский, но если я перед собой вижу реально вырезанные из дерева двойку и тройку, то какое множество я должен рассмотреть $K=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$, или его булеан? Здесь нет упомянутых коробок. Я их создам сам из каких-то дополнительных рассуждений.

[Xaositect]

Побережный Александр в сообщении #654892 писал(а):

Xaositect, прошу прощения, что не всегда сразу отвечаю. Сейчас попробую построить упомянутый булеан.
$K=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$, $A=\{\{1\},\{2\}\}$, $2^K=\{\{\varnothing\},\{1\},\{2\},\{3\},\{\{1\},\{2\}\},\{\{1\},\{3\}\},\{\{2\},\{3\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\}$.
Булеан для $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ на мой взгляд будет $\varnothing$

Неверно. Давайте сначала разберем вопросы попроще.
0. Сколько элементов содержит множество $\{\varnothing\}$? Перечислите их.
1. Верно ли, что $\varnothing = \{\varnothing\}$? Почему?
2. Докажите по определению, что $\varnothing$ является подмножеством любого множества.
3. Докажите по определению, что непустое множество не может быть подмножеством пустого.
4. Найдите булеан пустого множества.

[Побережный Александр]

0. Пустое множество вообще не содержит элементов.
1. Насколько я понимаю, пустое множество вводят аксиоматически и оно не является элементом в пустом множестве. Но оно является элементом в любом другом множестве.
2. То что пустое множество является подмножеством любого множества тоже вводится акиомой.
3. Если множество не пустое, значит существует хотя бы один элемент, не совпадающий с пустым множеством. Следовательно, непустое множество не может быть подмножеством пустого множества.
4. Булеан пустого множества и есть пустое множество.

Я пытался отвечать сообразуясь свое логике. Конечно я могу ошибаться. С удовольствием выслушаю замечания.

[olenellus]

0 — верно.
1 — частично спорно (аксиоматическое введение пустого множества), частично неверно (элемент в любом другом множестве).
2 — а это уже как раз доказывается.
3 — множество $\{\varnothing\}$ непусто, однако все его элементы совпадают с пустым множеством. А Вы опять путаете элемент и подмножество.
4 — просто неверно.

[Xaositect]

Цитата:

Я пытался отвечать сообразуясь свое логике.

Давайте сначала будем основываться на классической логике, а только потом разбираться, что Вам в ней не нравится.

Побережный Александр в сообщении #654930 писал(а):

Я пытался отвечать сообразуясь свое логике. Конечно я могу ошибаться. С удовольствием выслушаю замечания.

Все плохо. Во-первых, Вы не понимаете разницы между $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$ (первое - это пустое множество, а второе - это множество, содержащее пустое множество и больше ничего). Во-вторых, вы, несмотря на то, что привели ссылку на определение подмножества, этого определения не знаете, а говорите про какую-то аксиому.

-- Чт дек 06, 2012 13:44:37 --

Xaositect в сообщении #654907 писал(а):

0. Сколько элементов содержит множество $\{\varnothing\}$? Перечислите их.

Побережный Александр в сообщении #654907 писал(а):

0. Пустое множество вообще не содержит элементов.

olenellus в сообщении #654934 писал(а):

0 — верно.

Утверждение Побережного Александра, конечно, верно, но вопрос был не об этом.

[Побережный Александр]

Я правильно понял, что классическая логика утверждает: "множество, содержащее пустое множество и больше ничего - это непустое множество"?
Но это же и есть пустое множество!!! Из каких рассуждений получилось непустое множество?

[olenellus]

Классическая логика утверждает, что пустое множество, это такое множетсво $A$, что

$$\forall x(\neg(x\in A))$$

Утверждение о том, что множество $A$ не пусто получается отрицанием предыдущего утверждения:

$$\exists x(x\in A)$$

[Xaositect]

Итак, ликбез по элементарной теории множеств.

Класс - это некоторая штука, которой могут принадлежать или не принадлежать другие штуки. Множество - это частный случай класса, но разница между этими понятиями нас сейчас волновать не должна. Также нас не будет волновать конкретная аксиоматика.

То есть, если у нас есть множество $A$, то для любого объекта $x$ либо верно, что $x\in A$, либо неверно, что $x\in A$. Во втором случае будем писать $x\notin A$. $x\in A$ читается как "$x$ принадлежит $A$", "$x$ является элементом $A$", "$x$ входит в $A$".
Множества определяются только своими элементами, то есть, если есть два множества $A$ и $B$, и любой $x$ либо одновременно входит в них, либо одновременно не входит, то эти множества равны. И наоборот - если найдется элемент $x$, который эти два множества различает (в одно входит, а в другое нет), то множества различны. Это определение равенства множеств. Формально: $A = B \leftrightarrow \forall x (x\in A \leftrightarrow x\in B)$. (В аксиоматических теориях импликацию влево называют аксиомой экстенсиональности)

Если в множестве только конечное число элементов, то его можно задать перечислением этих элементов. Запись $A = \{a_1,\dots,a_k\}$ означает, что $x\in A$ тогда и только тогда, когда $x$ есть одно из $a_i$. То есть $a_1\in A$, $a_2\in A$ ... $a_k\in A$, а все остальные объекты не принадлежат $A$. Формально: $x\in \{a_1, a_2,\dots,a_k\}\leftrightarrow x = a_1\vee x= a_2\vee \dots \vee x = a_k$. Мы будем считать, что конечные множества существуют. В аксиоматических теориях это, как правило, доказывается.

Частный случай конечного множества - множество пустое $\varnothing = \{\}$. Пустое множество, по определению - это множество, не содержащее элементов. То есть для любого $x$ верно $x\notin \varnothing$. Нетрудно доказать (пользуясь определением равенства), что пустое множество единственно.

Элементами множеств могут быть множества. Например, если $A$ - множество, то существует конечное множество $B = \{A\}$, для которого справедливо $A\in B$, но $x\notin B$, если $x\neq A$. Например, имея пустое множество, можно сформировать множество $\{\varnothing\}$.

Утверждение. $\varnothing\neq \{\varnothing\}$.
Доказательство. Существует элемент $x$, а именно, $\varnothing$, который не принадлежит левому множеству, но принадлежит правому.

Теперь у нас есть уже по крайней мере два различных множества, $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$. Мы можем сформировать новые множества $\{\{\varnothing\}\}$ и $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$.

Задача. Докажите, что все множества $\varnothing$, $\{\varnothing\}$, $\{\{\varnothing\}\}$ и $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ различны.

Теперь о подмножествах. Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если любой элемент $x$ множества $A$ является также и элементом $B$. Формально: $A\subset B \leftrightarrow \forall x(x\in A \to x\in B)$. Например, множество $\{\{\varnothing\}\}$ является подмножеством множества $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$, так как в первом множестве ровно один элемент $\{\varnothing\}$, и он является также и элементом второго множества. Формально, это следет из определения конечного множества: $x \in \{\{\varnothing\}\}\Rightarrow x = \{\varnothing\}$, $x = \{\varnothing\}\Rightarrow x = \varnothing \vee x = \{\varnothing\}\Rightarrow x\in \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$.

Пустое множество является подмножеством любого множества, так как в нем нет элементов, а определение подмножества накладывает ограничения только на элементы. Формально это утверждение следует из принципа ex falso quodlibet (из лжи следует все, что угодно).

Никакое непустое множество подмножеством пустого быть не может, так как в непустом множестве элементы есть, а в пустом нет. То есть $\varnothing$ является единственным подмножеством $\varnothing$.

Множество всех подмножеств (булеан) множества $A$ обозначается $2^A$. Формально: $x\in 2^A\leftrightarrow x\subset A$. В предыдущем пункте мы доказали, что $2^{\varnothing} = \{\varnothing\}$.

Подмножества множества $A$ долны содержать только элементы множества $A$. Простейшими такими множествами (кроме пустого), являются одноэлементые. Нетрудно доказать, что $\{x\}\subset A\leftrightarrow x\in A$.

Теперь давайте рассмотрим множество $A = \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}$ и внимательно выпишем все его элементы и подмножества.
$\{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}$ - это конечное множество с двумя элементами $a_1 = \varnothing$ и $a_2 = \{\{\varnothing\}\}$.
Подмножества множества $A$ формируются из этих элементов. Во-первых, это пустое множество, во-вторых, это одноэлементые подмножества $\{a_1\}$ и $\{a_2\}$, и в-третьих, это само множество $\{a_1, a_2\} = A$. Таким образом, $2^{\{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\{\varnothing\}\}\}, \{\varnothing, \{\{\varnothing\}\}\}\}$.

Упражнение. Докажите, что конечное множество с $n$ элементами имеет ровно $2^n$ подмножеств.

[Sonic86]

Побережный Александр в сообщении #654947 писал(а):

Я правильно понял, что классическая логика утверждает: "множество, содержащее пустое множество и больше ничего - это непустое множество"?
Но это же и есть пустое множество!!! Из каких рассуждений получилось непустое множество?

А что, реально, Joker_vD предложил фактически эмпирический способ проверки Вы возьмите 3 коробки, первую положите отдельно, а 2-ю засуньте в 3-ю. А теперь задайтесь вопросом: пуста ли 3-я коробка? Если будете сомневаться - засуньте руку в нее и проверьте - пустая она или нет

[ИСН]

ИСН в сообщении #614945 писал(а):

Людям с компьютерным складом ума может помочь следующее банальное наблюдение: длина пустой строки - ноль. Но длина строки "0" - не ноль.

[Побережный Александр]

Подскажите, правильно ли я понял.
$\varnothing$ - символ, обозначающий отсутствие элементов.
$\{\varnothing\}$ - символ, обозначающий множество, содержащее элементы никак не входящее в заданное. И поэтому $\varnothing\neq\{\varnothing\}$.
И именно $\{\varnothing\}$ входит в произвольное множество в качестве элемента.

[venco]

О! Может вам поможет понять то, что символ $\varnothing$ - это общепринятое обозначение для множества $\{\}$.
Попробуйте везде вместо $\varnothing$ подставлять $\{\}$, может, поможет?

-- Чт дек 06, 2012 09:29:19 --

(Оффтоп)

А вообще, мне всё больше кажется, что ТС - тролль. Ну не могу представить себе такую непонятливость.