Законы механики

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #654800 писал(а):

неголономную связь $G_{mn}\dot{x}_n=0$ с невырожденным $G$?

это НЕГОЛОНОМНАЯ связь? может пора уже учебник открыть? я ведь давал ссылку на Блоха Марсдена и Со

fizeg в сообщении #654800 писал(а):

Ну и рассмотрите к чему стремится $H$ в пределе $m\to 0$ при $p_y=0$ и $p_y\neq 0$... Что получается в гамильтоновом формализме, если $m=0$ с самого начала, надеюсь, вы знаете.

нет не знаю, ссылки на литературу, где такие переходы описаны плз

fizeg в сообщении #654800 писал(а):

Я уже сказал, что не собираюсь выдумывать, потому что какой пример я не приведу, вы можете сузить ваше определение "классической динамики" достаточно, чтобы сказать, что она к ней не относится, в то время как другого вы не собираетесь обсуждать

не из классической выдумайте

[fizeg]

Oleg Zubelevich в сообщении #654838 писал(а):

это НЕГОЛОНОМНАЯ связь?

Ну да, эта голономная. Тут и Блох не нужен, чтобы понять. Но в случае необратимой, вообще говоря, нет. Что вас удивляет в этом случае, если учесть, что нас интересует $x$?

Oleg Zubelevich в сообщении #654838 писал(а):

нет не знаю, ссылки на литературу, где такие переходы описаны плз

Ну, переходы такие я сходу вам не приведу. Они как вы можете понять из того, что я вам говорил, довольно патологичны, а в квантах еще патологичней. Вообще я затеял переход ради того, чтобы как-то перейти от лагранжиана материальных точек к случаю $m=0$. Вот про него вы можете почитать в куче мест, если наберете "калибровочные теории" (gauge theory), "гамильтоновы системы со связями" (Hamiltonian systems with constraints) и другие связанные с ними вещи, вроде связи первого и второго класса, скобка Дирака итп.

Oleg Zubelevich в сообщении #654838 писал(а):

не из классической выдумайте

Пожалуйста. Первое же, что мне приходит в голову - электродинамика (а с ней и любой Янг-Миллс, включая стандартную модель)
$S=\int d^4x F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\quad F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$
По повторяющимся индексам суммирование, $\mu=0,1,2,3$, метрический тензор $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}\{+1,-1,-1,-1\},\quad A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu$, $\partial_0=\partial_t$. Поскольку склонность делать даже элементарные выкладки за вами не замечена, скажу что получается
$S=-2\int d^4x ((\partial_i A^0)^2+(\partial_iA^0)\partial_0A^i)+S_1[A^k]$
где латинские индексы пробегают по пространственным компонентам $i=1,2,3$. Как видите, производные по времени $A^0$ отсутствуют.

Ну ладно, здесь есть производные по пространственным компонентам, еще и квадратичный член... Но такого добра навалом, поэтому чтобы вас не смущать, возьмем пример попроще - вот такую вот (2+1)-мерную теорию (Черн-Саймонс)
$S=\int d^3x A^a\epsilon_{abc}F^{bc}=6\int d^3x A^0F^{12}+S_1[A_1,A_2]+{\rm surface term},$
Где $F_{ab}=\partial_aA_b-\partial_bA_a+A_aA_b-A_bA_a$
По повторяющимся индексам суммирование $a=0,1,2$, полностью антисимметричный тензор $\epsilon_{012}=1$. Ясно, что $A^0$ действует как множитель Лагранжа для голономной связи $F^{12}=\partial^1A^2-\partial^2A^1+A^1A^2-A^2A^1=0$

Естественно, если подключать другую материю, связь будет усложняться. Если добавить новые поля $\varphi_k$, которые взаимодействуют с $A^a$ так
$\mathcal{L}_{int}=G_k(\varphi_m) A^a\partial_a\varphi_k$
Мы получаем связь $6F^{12}+G_k\dot{\varphi}_k=0$, которая, подозреваю, может быть и неголономной. Я не знаю, есть ли модели, где можно получить так неголономную связь (да и никогда не задумывался о голономности/неголономности), но и не знаю из какого принципа можно было бы нечто подобное запретить. Вообще любопытно, как (не)голономность связи такой отражается на структуре связей в гамильтоновом формализме (и отражается ли)

[fizeg]

Хотя на самом деле радость сингулярных лагранжианов, гамильтоновых систем со связями и калибровочных преобразований начинается уже когда вы решите описывать релятивистскую частицу в терминах собственного времени
$L=m\sqrt{u^\mu u_\mu},\quad u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}$

Так на первый взгляд все хорошо... пока вы не замечаете, что $\operatorname{Det}\frac{\partial^2L}{\partial u^\mu\partial u^\nu}=0$