Законы механики

[fizeg]

Oleg Zubelevich

Oleg Zubelevich в сообщении #653456 писал(а):

По вариационному счислению мне нравится читать Гельфанд Фомин Вариационное счисление.

Тогда странно, что вы не узнали множители Лагранжа в том же виде, как они появляются и у них.

Oleg Zubelevich в сообщении #653456 писал(а):

Для связей существенно зависящих от скоростей вариационные принципы просто не работают.

Точнее так. Для описания достаточно обыденных механических систем вообще говоря они не работают. Если такая связь вылезет в существенно ином контексте нужно быть осторожным и подумать, может оказаться, что верной окажется "вакономика". Тем более, что вполне естественно такое может получаться, когда "честные" степени свободы теряют производные по времени и начинают играть роль множителей Лагранжа.

Oleg Zubelevich в сообщении #653456 писал(а):

связь выбросили силу добавили, стандартно

Тогда если вы понимаете, что сила реакции это просто внедренная во второй закон штука, которая должна удерживать систему на связи, вы должны понять и почему то, что я написал и есть сила реакции.

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653923 писал(а):

Тогда странно, что вы не узнали множители Лагранжа в том же виде, как они появляются и у них.

а мне странно, что вы не понимаете, что в уравнениях Лагранжа со множителями $\lambda=\lambda(x,\dot x)$

fizeg в сообщении #653923 писал(а):

Если такая связь вылезет в существенно ином контексте нужно быть осторожным и подумать, может оказаться, что верной окажется "вакономика". Тем более, что вполне естественно такое может получаться, когда "честные" степени свободы теряют производные по времени и начинают играть роль множителей Лагранжа.

в "существенно ином контексте" может вылезти все что угодно

fizeg в сообщении #653923 писал(а):

Тогда если вы понимаете, что сила реакции это просто внедренная во второй закон штука, которая должна удерживать систему на связи, вы должны понять и почему то, что я написал и есть сила реакции.

в контектсе уравнений Ньютона такие формулы следуют из гипотезы идеальности связей, в вашем формализме реакция связей вводится просто по определению

[fizeg]

Oleg Zubelevich в сообщении #653967 писал(а):

в "существенно ином контексте" может вылезти все что угодно

Так получилось, что я успел прочитать старую версию вашего поста и ответ менять не собираюсь. Вы писали, что обсуждаете в контесте классической динамики. А где вы видите ее границы? Она обязательно должна говорить о маятниках или твердых кулебяках, катающихся по наклонной плоскости? Всевозможные упругие среды, классические теории поля к ней относятся? Или вдруг обнаружим мы, что темная материя состоит из какой-нибудь стабильных полевых конфигураций, которые можно будет в хорошем приближении описывать как твердые классические кулебяки, катающиеся по наклонной плоскости. Станут они тогда принадлежать к области классической динамики? Много не нужно, хотя бы такую прекрасную динамическую систему как $L=\frac{\dot{x}^2}{2}+y\dot{x}$

"Существенно иной контекст" наступает уже в классической теории поля. Я допускаю вероятность (для неголоморфной связи даже наверное большую) получить нечто подобное уже в какой-нибудь упругой среде. Это еще в рамках классической динамики?

Oleg Zubelevich в сообщении #653967 писал(а):

в контектсе уравнений Ньютона такие формулы следуют из гипотезы идеальности связей, в вашем формализме реакция связей вводится просто по определению

А сила реакции в контексте уравнений Ньютона вводится при этом не по определению

Слушайте, меня это утомило. Меня бы наверное даже не раздражало бы это все, если бы вы например написали "это чепуха, наложение связи в вариационном принципе выглядит так", написали бы в своих обозначениях и мы бы быстро нашли бы общий язык. Так вы даже как будто не можете устно считаемую вариацию углядеть. Какая ваша цель вообще, чтобы я плача написал, какой вы замечательный, а я тупой? Не будет этого по очевидной причине, увы вежливость и правила не позволяют написать какой Если хотите все-таки продолжать шуметь о несуществующих проблемах дальше (у меня желания мало), давайте хотя бы попросим модераторов отделить всю эту цепочку, дабы не засорять тему lunya.

[fizeg]

А вообще чего далеко ходить, везде где можно устроить взаимодействие такого типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$
в пределе $m\rightarrow 0$ получаем, что координаты $y$ работают как множители Лагранжа. На $x$ накладываются неголономные связи, но невариационные уравнения будут неверны, в то время как в вариационных будет хороший предел.

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653998 писал(а):

Вы писали, что обсуждаете в контесте классической динамики. А где вы видите ее границы?

Классическая динамика это наука о системах твердых тел и материальных точек и я ничего другого не обсуждаю

fizeg в сообщении #653998 писал(а):

Всевозможные упругие среды

это называется теория упругости

fizeg в сообщении #653998 писал(а):

ак $L=\frac{\dot{x}^2}{2}+y\dot{x}$

вы это к чему? если это лагранжиан в переменных $(x,y)$ то таких лагранжианов в классической динамике не бывает

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

А вообще чего далеко ходить, везде где можно устроить взаимодействие такого типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$
в пределе $m\rightarrow 0$ получаем, что координаты $y$ работают как множители Лагранжа. На $x$ накладываются неголономные связи, но невариационные уравнения будут неверны, в то время как в вариационных будет хороший предел.

если вы это можете проиллюстрировать примером из классической динамики, то пожалуйста.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #654139 писал(а):

Классическая динамика это наука о системах твердых тел и материальных точек

Математическая Энциклопедия, статья "Динамика" (т. 2 кол. 139 (132)):

Цитата:

ДИНАМИКА — раздел механики, в к-ром изучается движение материальных тел, происходящее под действием приложенных к ним сил, вызывающих или изменяющих это движение,— так называемых ускоряющих сил.
...
Д., основывающаяся на принципах Г. Галилея и И. Ньютона, наз. классической или ньютоновской Д., в отличие от направлений, исходящих из иных принципов (квантовая механика, релятивистская Д. и др.).
...
В Д. системы материальных точек рассматриваются движения таких тел, к-рые находятся во взаимосвязи друг с другом. Д. системы включает в себя Д. твердого тела, Д. систем с переменной массой, Д. упругого и пластически деформируемого тела, Д. жидкости и газа и др.

[fizeg]

Oleg Zubelevich в сообщении #654139 писал(а):

Классическая динамика это наука о системах твердых тел и материальных точек

А. То-то у Арнольда было про распространение волновых фронтов и уравнение Кортевега-де Фриза, а у Блоха про решетку Тоды... А я-то привык называть классической динамикой поведение любой системы в классическом пределе. А иногда включать и другие области, где применяется ее аппарат.

Oleg Zubelevich в сообщении #654139 писал(а):

я ничего другого не обсуждаю

Отлично. Тогда на этом точку и поставим.

-- 04.12.2012, 20:38 --

(Оффтоп)

Да что за день, то голоморфные связи, то у Блоха решетка Блоха

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

А вообще чего далеко ходить, везде где можно устроить взаимодействие такого типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$
в пределе $m\rightarrow 0$ получаем, что координаты $y$ работают как множители Лагранжа. На $x$ накладываются неголономные связи, но невариационные уравнения будут неверны, в то время как в вариационных будет хороший предел.

так что примера к этому не будет?

[fizeg]

Спасибо, но я не живу в мире, состоящем из твердых шариков и шарниров, из которых в любой момент и то и другое может исчезнуть. Мне не хочется выслушивать какие взаимодействия вы не станете признавать за допустимые в "классической динамике". В любом случае это система из двух материальных точек, так что под ваше определение она подходит

[Oleg Zubelevich]

Ну так опишите эту систему. Значит две материальные точки. Подробнее.

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

в пределе $m\rightarrow 0$ получаем, что координаты $y$ работают как множители Лагранжа. На $x$ накладываются неголономные связи, но невариационные уравнения будут неверны, в то время как в вариационных будет хороший предел.

какие невариационные уравнения, откуда они взялись? Что значит "хороший предел"? Поставьте задачу, сформулируйте утвернждение про предельный переход

[fizeg]

Подробнее, я дал вам их взаимодействие.
"Невариационные" в смысле уравнения Лагранжа-д`Аламбера для системы из одного только $x$ и неголономными связями.

Возьмите уж рассмотрите сами подробно. Распишите вариационные уравнения. Рассмотрите пределы $m\rightarrow 0$ в разных смыслах. Подумайте, чем оказываются плохи решения, которые вы удерживаете вне связи. Еще полезно рассмотреть гамильтонов формализм, он говорит о радикальной разнице между системами с ненулевыми и нулевыми $m$ (разная размерность фазового пространства, характерная ситуация для подобных предельных переходов), но подумайте над тем, чем же так оказывается хороша поверхность, подчиняющаяся связям. Это не такие заумные вещи, чтобы не посвящать им минут 5 своего времени, если этот вопрос вам интересен.

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #654566 писал(а):

"Невариационные" в смысле уравнения Лагранжа-д`Аламбера для системы из одного только $x$ и неголономными связями.

и эти уравненя не совпадают с уравнениями Лагранжа? Допустим, и в каком смысле уравнения Лагранжа "верны", а эти уравнения "неверны"? как вы пишите

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

На $x$ накладываются неголономные связи, но невариационные уравнения будут неверны,

fizeg в сообщении #654566 писал(а):

Еще полезно рассмотреть гамильтонов формализм, он говорит о радикальной разнице между системами с ненулевыми и нулевыми $m$

это вообще непонятно, лагранжиану

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$

соответствует гамильтониан содержащий $1/m$ и как понимать $m\to 0$?


И самое главное

fizeg в сообщении #654041 писал(а):

А вообще чего далеко ходить, везде где можно устроить взаимодействие такого типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$
в пределе $m\rightarrow 0$ получаем, что координаты $y$ работают как множители Лагранжа. На $x$ накладываются неголономные связи

При $m=0$ , eсли матрица $G^{mn}(\vec{x})$ невырождена, то уравнения Лагранжа приобретают вид $\dot{x}\equiv 0,\quad \dot{y}\equiv 0$ А если матрица $G^{mn}(\vec{x})$ вырождена, то нет единственности решения. И какую физику это все описывает?

[fizeg]

Oleg Zubelevich в сообщении #654681 писал(а):

и эти уравненя не совпадают с уравнениями Лагранжа?

Не, не совпадают. По крайней мере не с теми, что я нашел у Блоха.

Oleg Zubelevich в сообщении #654681 писал(а):

это вообще непонятно, лагранжиану
fizeg в сообщении #654041 писал(а):
типа
$L=\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\frac{m\dot{\vec{y}}^2}{2}-y_m G^{mn}(\vec{x})\dot{x}_n$

соответствует гамильтониан содержащий $1/m$ и как понимать $m\to 0$?

Это и соответствует тому, что за пределами поверхности связи энергия стремится к бесконечности. Конечно, если бы вы подошли к делу добротнее, вы бы поняли, что конечной энергии можно добиться и за пределами этой поверхности, но такие решения соответствовали бы
очень плохим решениям (вроде колебаний бесконечной частоты с бесконечной амплитудой). Т.е. если вы пренебрегаете массой второй частицы и можете считать, что они не уходят очень далеко, вы получаете такую связь для возможного движения, подчиняющегося этим условиям.

Oleg Zubelevich в сообщении #654681 писал(а):

При $m=0$ , eсли матрица $G^{mn}(\vec{x})$ невырождена, то уравнения Лагранжа приобретают вид $\dot{x}\equiv 0,\quad \dot{y}\equiv 0$ А если матрица $G^{mn}(\vec{x})$ вырождена, то нет единственности решения. И какую физику это все описывает?

А при обычном наложении неголономных связей такого нет?

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #654701 писал(а):

Это и соответствует тому, что за пределами поверхности связи энергия стремится к бесконечности

не понял. Вот гамильтониан $H=\frac{1}{2m}p_y^2+...$ переходите к пределу $m\to 0$ и что?
Четче пожалуйста.

fizeg в сообщении #654701 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #654681 писал(а):
При $m=0$ , eсли матрица $G^{mn}(\vec{x})$ невырождена, то уравнения Лагранжа приобретают вид $\dot{x}\equiv 0,\quad \dot{y}\equiv 0$ А если матрица $G^{mn}(\vec{x})$ вырождена, то нет единственности решения. И какую физику это все описывает?

А при обычном наложении неголономных связей такого нет?

а вы думали, что неголономные системы описываются уравнениями $\dot x=\dot y=0$?

и примером из физики снабдить всетаки не забудьте

-- Ср дек 05, 2012 23:06:50 --

fizeg в сообщении #654701 писал(а):

Конечно, если бы вы подошли к делу добротнее

нервишки сдают?

[fizeg]

Oleg Zubelevich

Oleg Zubelevich в сообщении #654776 писал(а):

не понял. Вот гамильтониан $H=\frac{1}{2m}p_y^2+...$ переходите к пределу $m\to 0$ и что?

Ну и рассмотрите к чему стремится $H$ в пределе $m\to 0$ при $p_y=0$ и $p_y\neq 0$... Что получается в гамильтоновом формализме, если $m=0$ с самого начала, надеюсь, вы знаете.

Oleg Zubelevich в сообщении #654776 писал(а):

а вы думали, что неголономные системы описываются уравнениями $\dot x=\dot y=0$?

И что же, интересно, вы получите, если наложите без всяких $y$ на $x$ неголономную связь $G_{mn}\dot{x}_n=0$ с невырожденным $G$?

Oleg Zubelevich в сообщении #654776 писал(а):

и примером из физики снабдить всетаки не забудьте

Я уже сказал, что не собираюсь выдумывать, потому что какой пример я не приведу, вы можете сузить ваше определение "классической динамики" достаточно, чтобы сказать, что она к ней не относится, в то время как другого вы не собираетесь обсуждать

Oleg Zubelevich в сообщении #654776 писал(а):

нервишки сдают?

Не. Просто смысла в этом диалоге все меньше и меньше... Да чего уж там, вообще нет уже давно. Знаете что, переселяйтесь в дискуссионный отдел и там живите. Там вы возможно будете в чем-то полезны.