Законы механики

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Вот это вот что вы написали Вы хотя бы знаете, что такое множитель Лагранжа?

-- 02.12.2012, 19:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #653099 писал(а):

У вас $\lambda$ это что? число функция?

Очевидно нет. просвещайтесь

[lunya]

fizeg, спасибо.

fizeg в сообщении #653073 писал(а):

В общем так, хотя остается (особенно для довольно гадкой Галилеевой симметрии) весьма большая свобода в том, какая может быть динамика.

Можно узнать буквально в двух словах, каким механизмом ограничиваетя эта свобода, чтобы получить ту самую динамику? Заданием связей между координатами?

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653102 писал(а):

Oleg Zubelevich
Вот это вот что вы написали Вы хотя бы знаете, что такое множитель Лагранжа?

я знаю, а вы не знаете. Судя по ссылке , которую вы привели , вы думаете, что $\lambda=const$, но то, что это не так очевидно из вашей же формулы:

fizeg в сообщении #653090 писал(а):

$\vec{N}=\lambda\vec{x}$

поскольку $|\vec{N}|=|\lambda|R$. Думаете $|\vec{N}|=const$?
очередной студент?

[fizeg]

lunya
Чаще всего все ограничивается экспериментальным путем или из соображений как это может получиться из какой-нибудь более серьезной

Исторически всегда стремились написать лагранжиан попроще (это часто можно оправдать, если вы предполагаете, что идет разложение по какому-нибудь параметру). Часто были ограничения на количество производных по времени (чтобы можно было перейти к гамильтонову формализму)

В квантовой теории (точнее в КТП) у вас появляются дополнительные ограничения, связанные с тем, как ведут себя радиационные поправки (перенормируемость). Если вы добавите "плохие" члены, то для осмысленности вам придется добавить ВСЕ члены разрешенные симметриями. Естественно с бесконечным количеством свободных параметров.

-- 02.12.2012, 20:14 --

Oleg Zubelevich в сообщении #653107 писал(а):

я знаю, а вы не знаете

Surprise me. Что такое множитель Лагранжа?

Oleg Zubelevich в сообщении #653107 писал(а):

Судя по ссылке , которую вы привели , вы думаете, что $\lambda=const$

Не я так считаю, а вы считаете, что я так считаю

Ох

[Oleg Zubelevich]

Вообще это надо в анналы форума, человек пишет

fizeg в сообщении #653090 писал(а):

Точка, подвешенная к началу координат идеальным стержнем длиной $R$
$L=m\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\lambda(\vec{x}^2-R^2)-U(\vec{x})$
Где $\lambda$ лагранжев множитель для связи $\vec{x}^2=R^2$

и для объяснения дает ссылку на минимизацию функции в $\mathbb{R}^n$: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 0%B6%D0%B0

Давно такого цирка не видел Он оказывается функцию Лагранжа минимизирует. Не функционал действия, а функцию $L$! Новый вариационный принцип изобрел. Альты отдыхают.

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Мдя, википедия меня разочаровала, я как-то был уверен, что там написано. Впрочем то, что вы понятия не имеете про множители Лагранжа в вариационном исчислении (а значит понятия не имеете про системы со связями и значит калибровочные теории), "это печально"

-- 02.12.2012, 20:33 --

Ну не знаю, почитайте что ли здесь http://en.wikibooks.org/wiki/Classical_ ... onstrained

[Oleg Zubelevich]

о, уже прогрес, ссылка стала адекватней. вы поняли, что $\lambda$ зависит от $t$. На самом деле $\lambda$ зависит еще от того, какое решение было выбрано.
Теперь возвращаемся сюда:

fizeg в сообщении #653090 писал(а):

Точка, подвешенная к началу координат идеальным стержнем длиной $R$
$L=m\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\lambda(\vec{x}^2-R^2)-U(\vec{x})$
Где $\lambda$ лагранжев множитель для связи $\vec{x}^2=R^2$
Обращаясь с подобной штукой как с потенциалом вы получите силу $\vec{N}=\lambda\vec{x}$

Вопрос: это откуда взялось? у вас есть только вариационный принцип. Откуда, например, взялась формула для вычисления реакции связи (последняя)?

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Вариация по лямбде, ёлки-палки. Дайте угадаю. Вы знаете какое-нибудь определение для очень-очень общего случая и шагу ступить от него не можете... ох

-- 02.12.2012, 21:03 --

И при этом получается, что вы с менторским тоном не способны осознать простой примерчик, который второкурсникам могут рассказывать

-- 02.12.2012, 21:06 --

Oleg Zubelevich в сообщении #653143 писал(а):

Откуда, например, взялась формула для вычисления реакции связи (последняя)?

это кусок вариации по $x$ из члена со связью

[Oleg Zubelevich]

Ну вы на вопрос-то ответьте, не надо обо мне.

fizeg в сообщении #653144 писал(а):

это кусок вариации по $x$ из члена со связью

а почему? из каких законов следует, что надо так считать реакцию связи? (Потом будут более серьезные вопросы)

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Ну уж нет. Вы тогда мне уж сперва объясните каким образом сила реакции возникает во втором законе Ньютона (потом будут более серьезные вопросы)

-- 02.12.2012, 21:36 --

Поскольку, на самом деле я поступил не очень красиво, отвечу на эти вопросы.

В реальности наш математический маятник это приближение некоторых реальных объектов. Мы идеализируем его в школьном подходе удерживающей силой натяжения, а здесь я идеализирую некоторое взаимодействие, держащее точку на этом расстоянии введением связи. Для связи главное, что она равна 0 на нужной поверхности. Если посчитать градиент такой функции он окажется ортогонален этой поверхности.

Силу "связи" я ввожу в точности как вводится любая обобщенная сила - вариацией по координате соотвующего куска лагранжиана. Она оказывается пропорциональной градиенту функции в точности на столько, чтобы удержать наше тело на поверхности. Т.е. это некоторая сила сонаправленная силе натяжения и в точности ей равная.

[Munin]

Про ФТТ я всего лишь имел в виду, что в ней кинетическая энергия частицы $E(\mathbf{p}),$ входящая в лагранжиан и гамильтониан, перестаёт быть простой квадратичной функцией $\tfrac{\mathbf{p}^2}{2m},$ а становится некоторой сложной, и часто только экспериментально измеряемой функцией, называемой закон дисперсии или дисперсионное соотношение (в ФЭЧ есть другое понятие под названием "дисперсионные соотношения"). К тому же, $\mathbf{p}$ - уже не импульс, а квазиимпульс. 2-й закон Ньютона сохраняется в виде $\dot{\mathbf{p}}=-\nabla U$ (плюс непотенциальные силы, если есть), но скорость вычисляется как $\tfrac{\partial E}{\partial\mathbf{p}}$ (групповая скорость волнового пакета), и поэтому вытекает из 2-го закона Ньютона не напрямую. Масса (эффективная) получается как $\Bigl(\tfrac{\partial^2E}{\partial\mathbf{p}^2}\Bigr)^{-1},$ зависит от текущего значения $\mathbf{p}$ (обычно на дне какой-то долины), и в общем случае анизотропна.

Принципа относительности и закона сохранения массы нет. Есть законы сохранения квазиимпульса (с учётом того, что он может меняться на вектор обратной решётки), и энергии. Получать законы механики (уравнения Лагранжа или Гамильтона) из формализма Лагранжа или Гамильтона намного проще, чем из законов Ньютона (которые a priori непонятно, как модифицировать).

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653152 писал(а):

Силу "связи" я ввожу в точности как вводится любая обобщенная сила - вариацией по координате соотвующего куска лагранжиана

дело в том, что лагранжиан со множителем Лагранжа это не лагранжиан, который стоит в вариационном принципе, потому, что , как я уже сказал, множитель Лагранжа зависит от решения. Этот лагранжиан -- какая-то искуственная штука. Его надо подставлять в вариационную задачу, считая ФОРМАЛЬНО, что $\lambda$ это функция лишь от $t$, получить дифференциальные уравнения Лагранжа к ним добавить уравнение связи. И из всех этих уравнений искать решение $x(t)$ и $\lambda(t)$, в этот момент выясняется, что для разных решений $x(t)$ будет разное $\lambda(t)$. Это совсем другая конструкция. И почему вдруг в такой конструкции производным от этого лагранжиана должны соответствовать какие-то силы?

[fizeg]

Oleg Zubelevich в сообщении #653276 писал(а):

дело в том, что лагранжиан со множителем Лагранжа это не лагранжиан, который стоит в вариационном принципе, потому, что , как я уже сказал, множитель Лагранжа зависит от решения

Изложите пожалуйста подробно свои соображения о множителе Лагранжа в вариационных задачах и как он там действует, либо дайте хорошую ссылку.

Oleg Zubelevich в сообщении #653276 писал(а):

Его надо подставлять в вариационную задачу, считая ФОРМАЛЬНО, что $\lambda$ это функция лишь от $t$, получить дифференциальные уравнения Лагранжа к ним добавить уравнение связи. И из всех этих уравнений искать решение $x(t)$ и $\lambda(t)$, в этот момент выясняется, что для разных решений $x(t)$ будет разное $\lambda(t)$.

Возьмите например лагранжиан
$L=\frac{m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)}{2}-\alpha (xyz)^\beta$
Возьмем координату $y$. Вы должны подставить его в вариационную задачу, считая формально, что $y$ это функция лишь от $t$, получить дифференциальные уравнения Лагранжа. Из всех этих уравнений искать решение $x(t),y(t),z(t)$. В этот момент выясняется, что для разных решений $x(t),z(t)$ будет разное $y(t)$. И???

Oleg Zubelevich в сообщении #653276 писал(а):

И почему вдруг в такой конструкции производным от этого лагранжиана должны соответствовать какие-то силы?

Сила это просто кусок, который отличает уравнение свободной системы от системы с взаимодействием.

-- 03.12.2012, 01:04 --

А все-таки, что такое сила реакции во втором законе Ньютона?

-- 03.12.2012, 01:34 --

Самое далекое от того, о чем говорю я, что я нашел
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_m ... ach_spaces

Пространство функций $U$. Связи $g$ - функционалы переводящие в пространство $Y$. Лагранжев множитель по определению этой статьи википедии переводит из $Y$ в $\mathbb{R}$

Т.е. получаем довольно в общем виде $\lambda[g[q]]$ все равно на явную зависимость не тянет

В моем случае
$\lambda^{Wiki}[g^{Wiki}[q]]=\int dt \lambda(t) g_t[q]$
Сильно подозреваю, что для любой связи, которая представима в виде $g_t[q]=g(q(t),\dot{q(t)})$ можно записать лагранжев множитель в таком виде

-- 03.12.2012, 01:47 --

И немного квантовомеханической перспективы. Дельта-функцию в функциональном интеграле мы можем представить в виде
$\delta[G]=\int D\lambda e^{i\int dt\lambda(t) G(t)}$
Что в классическом пределе эквивалентно введению такого члена в действие и введению новой независимой переменной $\lambda$, по которой тоже надо варьировать

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653296 писал(а):

Изложите пожалуйста подробно свои соображения о множителе Лагранжа в вариационных задачах и как он там действует, либо дайте хорошую ссылку

Множители Лагранжа в любых задачах появляются из одного и тогоже фундаментального факта.
см topic53395.html
По вариационному счислению мне нравится читать Гельфанд Фомин Вариационное счисление.

Конструкцию со множителями Лагранжа, которую вы привели, я понял. Просто непривычно немного. Вообще всетаки под вариационным принципом в механике понимают то, с чего начинается ЛЛ-1. Там про связи и множители Лагранжа ничего нет. Если вариационный принцип толковать несколько расширительно, как вы это делаете, то да уравнения Ньютона и реакции связей всетаки можно получить, введя кое-какие дополнительные определения. При условии, конечно, чт о связи голономны. Для связей существенно зависящих от скоростей вариационные принципы просто не работают. См. Nonholonomic Mechanics and Control (Anthony Bloch, P. Crouch, J. Baillieul, J. Marsden)

fizeg в сообщении #653296 писал(а):

А все-таки, что такое сила реакции во втором законе Ньютона?

связь выбросили силу добавили, стандартно

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #653456 писал(а):

Вообще всетаки под вариационным принципом в механике понимают то, с чего начинается ЛЛ-1.

"Вообще всётаки" нет. Есть мешок вариационных принципов, в т. ч. со связями, можете посмотреть в Математической Энциклопедии, Физической Энциклопедии (в Энциклопедии Математической Физики, помнится, написано то же, что и в Математической), наверное, в Маркееве. Даже Арнольд, которого вы, вроде бы, уважаете, настолько всё не упрощает. ЛЛ-1 - это всё-таки quick and dirty введение в предмет, причём на связи тогда Ландау внимания не обратил, поскольку писалось всё это до тех времён, когда роль связей в теории поля была вполне осознана (60-е, торжественное шествие калибровочных моделей). Видимо, это основной недостаток связки ЛЛ-1+ЛЛ-2 для подготовки современных теорфизиков.