Если функция интегрируема, она ограничена. А как же -ln x?

[Ktina]

$$\int_{0}^{1} -\ln x dx=1$$

Как этот факт уживается с теоремой о том, что если функция интегрируема, она ограничена?

[nnosipov]

У Вас интеграл-то несобственный, а в теореме про обычный интеграл Римана идёт речь.

[gris]

Я тоже где-то читал, что если функция непрерывна, то она ограничена.

[Mathusic]

gris в сообщении #652385 писал(а):

Я тоже где-то читал, что если функция непрерывна, то она ограничена.

Неверно вы читали! $\frac{1}x$ - далеко не ограничена!

(Оффтоп)

На компакте, разве что.

А вообще, конечно, класс интегрируемых по Риману шире, чем непрерывных же.

[INGELRII]

gris в сообщении #652385 писал(а):

если функция непрерывна, то она ограничена

На отрезке (компакте)! Я как-то сомневаюсь, что логарифм определен в нуле.

[nnosipov]

gris в сообщении #652385 писал(а):

Я тоже где-то читал, что если функция непрерывна, то она ограничена.

Эх, сессия скоро (почему-то вспомнилось). Опять у студентов правду выпытывать нужно будет. Какая функция? Где непрерывна? Почему это вдруг ограничена? И причём здесь вообще непрерывность?

[gris]

Ну так в обоих случаях пропущены слова "на отрезке" .

[nnosipov]

Вот за это "на отрезке" на экзамене такая битва будет ... Прям хоть не ходи.

[Mathusic]

(Оффтоп)

gris в сообщении #652395 писал(а):

Ну так в обоих случаях пропущены слова "на отрезке" .

... -- Говорил студент на 3-ей пересдаче

[Ktina]

gris в сообщении #652395 писал(а):

Ну так в обоих случаях пропущены слова "на отрезке" .

В том примере, что я привела, вроде, интегрируема на отрезке и не ограничена на отрезке.

[Mathusic]

Ktina в сообщении #652402 писал(а):

интегрируема на отрезке и не ограничена на отрезке

nnosipov в сообщении #652382 писал(а):

интеграл-то несобственный

(Оффтоп)

А интеграл-то ненастсобственный! :-)

-- Сб дек 01, 2012 13:38:24 --

Ktina в сообщении #652402 писал(а):

интегрируема на отрезке

Нет. Крайние точки обязаны входить в область определения.

Ktina в сообщении #652402 писал(а):

и не ограничена на отрезке

Вообще говоря, тоже -- нет, так как функция в нуле не определена вообще. Вот "неограничена на полуотрезке" -- это лучше будет.

[Ktina]

Mathusic в сообщении #652403 писал(а):

(Оффтоп)

А интеграл-то ненастсобственный!

(Оффтоп)

Интересно то, что на иврите несобственный интеграл именно так и называется: לא אמיתי, то бишь "не настоящий".

Всё ясно. Несобственных интегралов эта теорема не касается. Спасибо.

[nikvic]

Ktina в сообщении #652402 писал(а):

gris в сообщении #652395 писал(а):

Ну так в обоих случаях пропущены слова "на отрезке" .

В том примере, что я привела, вроде, интегрируема на отрезке и не ограничена на отрезке.

Эта функция не интегрируема (и даже не определена в нуле) по Риману на указанном отрезке - интегральные суммы не ограничены.

Термин "интегрируема" может иметь более широкий смысл, чем "интегрируема по Риману". В курсе математики "не для математиков" к интегралам по Риману добавляются "несобственные", а уж для математикоффф -

[bot]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #652405 писал(а):

Интересно то, что на иврите несобственный интеграл именно так и называется: לא אמיתי, то бишь "не настоящий".

На английском improper - ненадлежащий, неподходящий, в общем, говоря по русски, Федот, да не тот.

[TOTAL]

(Оффтоп)

Трудно, что ли, указывать каждый раз, что у обсуждаемого отрезка есть такие-то концы. А то напридумывали отдельных названий для открытых и замкнутых, зачем память перегружать?