В целых числах

[Keter]

$2x+1=t$, тогда $(4t)^2 > (8y^2+4y+3)^2,$

$$4t > 8y^2+4y+3, t \ge 2y^2+y+1,$$

$$t^2 \ge (2y^2+y+1)^2=4y^4+4y^3+5y^2+2y+1$$

$$4y^4+4y^3+4y^2+4y+1 \ge 4y^4+4y^3+5y^2+2y+1,$$

$$y(y-2) \le 0, \quad 0 \le y \le 2.$$

-- 29.11.2012, 22:56 --

ИСН, уже понял ошибку.

-- 29.11.2012, 23:01 --

Cash, исправил, случайно не напечатал.

-- 29.11.2012, 23:02 --

Как оценить $4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$ сверху?

[ИСН]

Cash в сообщении #643673 писал(а):

...подобрать такие целые коэффициенты $a, b, c$, что 2 неравенства
$(ax^2+bx+c)^2<4Q<(ax^2+bx+c+1)^2$
выполняются для всех целых $x$ за исключением...

[Cash]

Keter в сообщении #651730 писал(а):

$2x+1=t$, тогда $(4t)^2 > (4y^2+4y+3)^2,$

Это еще откуда взялось? Вы опять с коэффициентами запутались.

Цитата:

Как оценить $4y^4+4y^3+4x^2+4x+1$ сверху

Что еще за кентавр такой?

Зачем вы себе жизнь усложняете?
Просто в выражении $4y^4+4y^3+4y^2+4y+1$ спрячьте $4y^4$ и $4y^3$ под квадрат и посмотрите, что получилось.

[Keter]

ИСН, да, но если так, то

$$4y^4+4y^3+4y^2+4y+1 < (2y^2+y+2)^2=4y^4+4y^3+9y^2+4y+4$$

$$5y^2+1 > 0$$

Тогда где должно появиться решение $y=-1$ ?

[ИСН]

Вы хотите эту штуку зажать между двумя квадратами. Где они. А?

[Keter]

Cash в сообщении #651748 писал(а):

Вы опять с коэффициентами запутались.

Нет. На этот раз все правильно. Ааа.. Я уже исправил. Да я не запутался, просто когда набираю, опечаток много.

Cash в сообщении #651748 писал(а):

Что еще за кентавр такой?

Хахаха Тоже исправил.

Cash в сообщении #651748 писал(а):

Зачем вы себе жизнь усложняете?

Даже не знаю.

Cash в сообщении #651748 писал(а):

спрячьте

Покажите куда?

ИСН в сообщении #651751 писал(а):

Вы хотите эту штуку зажать между двумя квадратами. Где они. А?

Я бы сказал, где они. Да не к месту. Тогда как?

-- 29.11.2012, 23:33 --

ИСН в сообщении #651743 писал(а):

Cash в сообщении #643673 писал(а):

...подобрать такие целые коэффициенты $a, b, c$, что 2 неравенства
$(ax^2+bx+c)^2<4Q<(ax^2+bx+c+1)^2$
выполняются для всех целых $x$ за исключением...

ИСН, а где они здесь??

[ИСН]

Один слева, другой справа. Или о чём вопрос?

[Keter]

ИСН в сообщении #651751 писал(а):

Вы хотите эту штуку зажать между двумя квадратами. Где они. А?

О чем вопрос?

Добавил спустя 15 минут_______________________________________

Прошу прощения, сразу не понял Вас. Там $4Q$.

[Cash]

Вы почти без ошибок сравнили с $(2y^2+y+2)^2$
Возьмите теперь квадрат чуть поменьше

-- Пт ноя 30, 2012 00:45:56 --

Выражение нужно зажимать двумя квадратами.
Один почти всегда больше, другой почти всегда меньше.
Не так уж много кандидатов на роль подпорок осталось.

[Keter]

Cash в сообщении #651758 писал(а):

Возьмите теперь квадрат чуть поменьше

Насколько? Куда меньше?!

[ИСН]

Насколько: ненамного.
Куда меньше: вниз.

Cash в сообщении #651758 писал(а):

Выражение нужно зажимать двумя квадратами.
Один почти всегда больше, другой почти всегда меньше.

[Keter]

ИСН, ну так снизу у меня шлагбаум $(2y^2+y+1)^2$, тогда что же я должен сверху поставить вместо единицы?
$3/2$ - много, $3/4$ - мало. $5/4$ - ??

[ИСН]

Почему Вы утверждаете, что этот шлагбаум - снизу?

[Keter]

Keter в сообщении #651701 писал(а):

Сейчас попытаюсь оценить как нибудь

$$16(2x+1)^2=(\pm 8y^2 \pm 4y \pm 3)^2+ 40 y+7$$

Keter в сообщении #651730 писал(а):

$2x+1=t$, тогда $(4t)^2 > (8y^2+4y+3)^2,$

$$4t > 8y^2+4y+3, t \ge 2y^2+y+1,$$

$$t^2 \ge (2y^2+y+1)^2=4y^4+4y^3+5y^2+2y+1$$

$$4y^4+4y^3+4y^2+4y+1 \ge 4y^4+4y^3+5y^2+2y+1,$$

$$y(y-2) \le 0, \quad 0 \le y \le 2.$$

Поэтому.

-- 30.11.2012, 00:35 --

То есть получается, что моя оценка годится только для решения данного уравнения при $y \in \mathbb{N}_0$.

[Andrey A]

Keter в сообщении #651234 писал(а):

Найти все пары целых чисел, которые являются решением уравнения:

$$x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.$$

$$x(x+1)=y(y+1)(y^2+1)$$

Для последовательностей
p_1=1;p_2=2(a^3+a^2+a)+1;p_{n+1}=kp_n-p_{n-1}
q_1=1;q_2=2(a^2+a)+1;p_{n+1}=kp_n-p_{n-1}, где k=4a^2+2, целое a\neq 0
выполняется: $\frac{p_n^2-1}{q_n^2-1}=a^2+1$ Для $a=-2:\frac{(-11)^2-1}{5^2-1}=\frac{(-199)^2-1}{89^2-1}=\frac{(-3571)^2-1}{1597^2-1}=\frac{(-64079)^2-1}{28657^2-1}...=(-2)^2+1$
Если такое решение является полным, в чем я не уверен, то задача имеет только тривиальные решения, поскольку $\frac{x(x+1)}{y(y+1)}=\frac{(2x+1)^2-1}{(2y+1)^2-1}=y^2+1$ Знаменатель такой дроби меньше $q_2$.