Найти верхний и нижний предел (при n-> бесконечность)

[Osmium]

Найти $\varliminf\ X_n $ и $\varlimsup\ X_n$, при $n\to \infty$

$X_n = \cos^n\frac{2\pi n}{3}$
Я так понял, что нужно рассмотреть 6 случаев:
$1)~ n=6k$
$2)~ n=6k+1$
$3)~ n=6k+2$
.........
$6)~ n=6k+5$
Первый случай я рассмотрел и получилось, что предел этой подпоследовательности равен 1. (по логике вещей - это и есть верхний предел)
А как дальше действовать, не понимаю, помогите пожалуйста.

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

-- Ср 28.11.12 18:15:12 --

Немного доисправил формулы и вернул.

[ИСН]

Зачем, откуда 6 случаев? Почему не 7, не 20? Почему именно такие?

[Osmium]

ИСН в сообщении #650999 писал(а):

Зачем, откуда 6 случаев? Почему не 7, не 20? Почему именно такие?

Я так рассуждал: степень у косинуса четная либо нечетная (2 случая), и аргумент у косинуса должен делиться на 3 (3 случая), итого 3*2 = 6 случаев. Или я что-то не так говорю?

[ИСН]

Если в условии написано то, что там сейчас написано, то аргумент у косинуса всегда тупо один и тот же.
Я, кстати, в этом начал сомневаться. Точно ли так?

[Toucan]

ИСН в сообщении #651004 писал(а):

Если в условии написано то, что там сейчас написано, то аргумент у косинуса всегда тупо один и тот же.

Там лишний слеш в числителе был. Убрал.

[Osmium]

ИСН
Спасибо Toucan, да должно быть вот так:

$X_n = \cos^n\frac{2\pi n}{3}$

[ИСН]

Ага, убедили, теперь рассмотрите все остальные пределы.

[Osmium]

ИСН
В этом то вся проблема, во втором случае получается:
\cos^{6k+1}(4\pi n +\frac{2\pi}{3})$, т.е. $4\pi k$ можно отбросить, в итоге имеем
\cos^{6k+1}(\frac{2\pi}{3})$. Вот здесь я застопорился, степень может быть четной или нечетной, что делать?

[ИСН]

Мне это вообще не кажется важным, но во-первых, замените же этих мягких французских булок косинус на число, а во-вторых, ну, даже не знаю...
...я, кажется, спрашивал уже, почему 6 пределов? whatever...
...найдите, например, первые несколько чисел вида 6k+1...

[Osmium]

Хорошо, а можно выслушать вашу идею решения этой задачи?

[Maslov]

Osmium в сообщении #651016 писал(а):

степень может быть четной или нечетной

Это как? Вы можете назвать четное число вида $6k+1$?

[Osmium]

Maslov
Ой, ошибочка. Но суть дела не меняет. Не могу понять, что мне дальше делать

[Maslov]

Подставьте численное значение косинуса и посмотрите, что получится.

-- Ср ноя 28, 2012 19:40:39 --

И заодно подумайте, какие предельные точки имеет последовательность $x_n = a^ n$ при $~-1 < a < 1$.

[Osmium]

Maslov
Существует бесконечно много предельных точек? Или я ошибаюсь?