Тело в воде

[dovlato]

Тело, погруженное в воду, находится в равновесии.
Когда это равновесие устойчивое?
Чем определяется собственная частота его малых колебаний при полном погружении?

[Xey]

Вода немного сжимается, с глубиной плотность растет.
Тело зависает на некоторой глубине.
Скорее тут апериодическое движение .

[dovlato]

Это уже, пожалуй, сверхтонкий эффект. Я имел в виду изменения ориентации тела, его повороты.

[ewert]

dovlato в сообщении #650415 писал(а):

Это уже, пожалуй, сверхтонкий эффект. Я имел в виду изменения ориентации тела, его повороты.

Ну тогда какой смысл обсуждать это в столь абстрактной постановке?... Ясно, что частота определяется смещением центра масс в сравнении с размерами, а всё остальное требует уточнения.

[nikvic]

ewert в сообщении #650420 писал(а):

dovlato в сообщении #650415 писал(а):

Это уже, пожалуй, сверхтонкий эффект. Я имел в виду изменения ориентации тела, его повороты.

Ну тогда какой смысл обсуждать это в столь абстрактной постановке?... Ясно, что частота определяется смещением центра масс в сравнении с размерами, а всё остальное требует уточнения.

Добавьте смещение ЦМ "вытесненной воды" и "присоединённой массы"

Я представил себе туристическую подлодку с пассажирами. Увидали слева акулу - кинулись на левый борт, а потом вернулись в свои кресла.
И тут их стало укачивать

[dovlato]

Всего остального не надо. Один-два параметра.

[Munin]

Есть целая теория остойчивости судов, основанная на том, что центр давления (или плавучести, не помню, как он называется) должен находиться выше центра тяжести. С подводными лодками, в принципе, то же самое.

Если такого условия не выполняется, придётся гасить колебания динамическими усилиями.

[Comanchero]

dovlato в сообщении #650357 писал(а):

Чем определяется собственная частота его малых колебаний

Тем, что сила пропорциональна смещению от положения равновесия.

[Oleg Zubelevich]

натуральная лагранжева система, положения равновесия и их устойчивость определяются потенциальной энергией тела

[nikvic]

Munin в сообщении #650464 писал(а):

Есть целая теория остойчивости судов, основанная на том, что центр давления (или плавучести, не помню, как он называется) должен находиться выше центра тяжести. С подводными лодками, в принципе, то же самое.

С подводными лодками всё гораздо проще: "центр давления" неподвижен относительно корпуса.
С надводными есть аж два метацентра - в соответствии с двумя "моментами инерции ватерлинии".

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #650357 писал(а):

Тело, погруженное в воду, находится в равновесии.
Когда это равновесие устойчивое?
Чем определяется собственная частота его малых колебаний при полном погружении?

давайте лучше возьмем кирпич и погрузим его полностью в несжимаемую идеальную однородную жидкость. Или вообще пусть задача плоская -- все в вертикальной плоскости и это не кирпич , а прямоугольник. Зная распределение давления в сосуде по высоте легко вычислить силу, которая действует на этот прямоугольник со стороны жидкости. Прямоугольник задается высотой своего центра масс и углом поворота. От этих параметров будет зависеть потенциальная энергия. Дальши ищем экстремумы потенциальной энергии. Минимумы -- устойчивые положения равновесия, все остальные экстремумы -- неустойчивые.

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #650530 писал(а):

Или вообще пусть задача плоская -- все в вертикальной плоскости и это не кирпич , а прямоугольник. Зная распределение давления в сосуде по высоте легко вычислить силу, которая действует на этот прямоугольник со стороны жидкости. Прямоугольник задается высотой своего центра масс и углом поворота. От этих параметров будет зависеть потенциальная энергия. Дальши ищем экстремумы потенциальной энергии. Минимумы -- устойчивые положения равновесия, все остальные экстремумы -- неустойчивые.

Давйте сразу повесим кирпич на гвоздь, пробитый через центр давления

[dovlato]

Я хочу рассказать ход моих рассуждений.. не знаю, насколько они покажутся убедительными. Действительно, как и предлагал nikvic в своей задаче, для начала мысленно заменим тело на такой же формы объём воды. Она, очевидно, будет в состоянии безразличного равновесия. То есть сумма всех реальных поверхностных гидростатических сил равна по величине весу этой воды. Это раз. И второе, уже не бесспорное - судя по тому, что при любой ориентации этого объёма воды она будет оставаться в равновесии - эта результирующая, видимо, должна быть приложена к его центру масс (иначе ему было бы не всё равно, как быть ориентированным).
Если это так, то дальше уже проще. Во-первых, ясно, что в состоянии равновесия центры масс тела и воды должны быть на одной вертикали. Причём устойчивость будет только если центр тела не выше центра воды.
А если ниже на некоторую величину $h$ - то тогда возможны угловые колебания.
С собственной частотой около $\omega_0=\sqrt (gh/\rho^2).$ Здесь $\rho$ - радиус инерции тела. То-есть для объёмного тела будут ..как это в механике называют? - короче, 2 типа основных собственных колебаний.

[venco]

dovlato в сообщении #650582 писал(а):

Причём устойчивость будет только если центр тела не выше центра воды.

Ошибка. При повороте меняется форма "воды", и учёт этого приведёт к тому, что метацентр не совпадает с центром "воды".

[Comanchero]

Собственная частота $\omega_0 = \sqrt{\frac{\rho g S}{m}}$, $S$ - горизонтальное сечение судна по ватерлинии.