Проблема описания многих квантовых тел

[zubik67]

evgeniy в сообщении #649787 писал(а):

Проблема описания многих квантовых тел с помощью парных траекторий. Существуют только приближенные методы описания движения квантовых тел. Предлагается формула на основе парного взаимодействия между телами, вычисляется собственная энергия и волновая функция, описывающая все взаимодействующие частицы при не релятивистских скоростях движения.

evgeniy в сообщении #650320 писал(а):

Решение задачи многих тел является актуальной проблемой небесной механики и для точного расчета движения космических искусственных тел является не заменимой. Предлагаемая теория позволяет точно рассчитывать траекторию космического аппарата, что на сегодняшний день является актуальнейшей проблемой космонавтики.

Теория верна для квантовых и макроскопических тел? Соотношение неопределенности для микрообъектов в Вашей теории как-то учитывается?

[pohius]

evgeniy в сообщении #650379 писал(а):

Имеем тело массой 1,2 $m_1 m_2/(m_1+m_2+m_3)$ с относительным радиусом $r_{12}^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$

Какие координаты тела 1,2? Что значит "тело с относительным радиусом"?

[evgeniy]

Формулы для двух теорий разные. Первая теория исходит из решения уравнения Шредингера и определяет собственную энергию состояния каждого тела системы. Т.е. определяется точное значение энергии и ее переход в другое состояние при неопределенном времени. Вторая формула другая, она описывает траекторию движения для макротел.
Определение относительного радиуса следует из его формулы.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650387 писал(а):

Определение относительного радиуса следует из его формулы.

Я не спрашивал определения относительного радиуса. Я не понимаю как точечное тело может обладать как каким-то относительным радиусом. Я так понял у нас точечные массы, чтобы рассматривать протяженное тело нужно вводить плотность. Ни о каких плотностях речи не было. По этому когда вы заменяете точечные массы 1 и 2 на точечную "приведенную массу" совершенно непонятно какие будут координаты этого тела.

[SergeyGubanov]

evgeniy в Ваших формулах ничего не понятно, так что давайте плясать от печки, вот есть система уравнений:

$$\mathbf{\ddot{r}}_1 = - \gamma \, m_2 \frac{\mathbf r_1 - \mathbf r_2}{|\mathbf r_1 - \mathbf r_2|^3}- \gamma \, m_3 \frac{\mathbf r_1 - \mathbf r_3}{|\mathbf r_1 - \mathbf r_3|^3}$$

$$\mathbf{\ddot{r}}_2 = - \gamma \, m_1 \frac{\mathbf r_2 - \mathbf r_1}{|\mathbf r_2 - \mathbf r_1|^3} - \gamma \, m_3 \frac{\mathbf r_2 - \mathbf r_3}{|\mathbf r_2 - \mathbf r_3|^3}$$

$$\mathbf{\ddot{r}}_3 = - \gamma \, m_1 \frac{\mathbf r_3 - \mathbf r_1}{|\mathbf r_3 - \mathbf r_1|^3}- \gamma \, m_2 \frac{\mathbf r_3 - \mathbf r_2}{|\mathbf r_3 - \mathbf r_2|^3}$$

что конкретно Вы предлагаете сделать?

[Someone]

Крайне сомнительная идея. Я пока не вникаю в вычисления. Как известно, система трёх тел может длительное время двигаться в ограниченной области, а потом распасться (одно из тел улетает "на бесконечность". Пример - пифагорейская задача трёх тел. Система двух тел распадается либо сразу, либо никогда. Мне кажется, что такое различие в поведении не позволяет свести задачу трёх тел к трём задачам двух тел.

[espe]

evgeniy
напишите найденный Вами ответ $\mathbf r_1(t)$, $\mathbf r_2(t)$, $\mathbf r_3(t)$ для задачи трёх тел и можно будет проверить является ли он решением системы уравнений http://dxdy.ru/post650398.html#p650398. Если да, то интересно будет узнать ход решения.

[evgeniy]

Решаем две задачи
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}=-\gamma m_2(\vec R_1-\vec R_2)/|\vec R_1-\vec R_2|^3 $
$\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=-\gamma m_3(\vec R_1-\vec R_3)/|\vec R_1-\vec R_3|^3 $
Суммируем эти два уравнения, lделаем предположение, что справедливо $\vec R_1-\vec R_k=\vec r_1-\vec r_k,k=1,2$, тогда получаем заменяя сумму правых просуммированных частей на $\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2}$. Эта сумма равна первой из написанных SergeyGubanov формулой.
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2} $
далее нужно доказать, что предположение $\vec R_1-\vec R_k=\vec r_1-\vec r_k,k=1,2$ справедливо.

рассматривается точечное тело с массой $m_1 m_2/(m_1+m_2+m_3)$ описываемое радиусом $\vec r_1-\vec r_2$ на которое действует гравитационное тело, имеющее координату $\vec r_2$ и в гравитационном поле, созданном этим телом вращается частица с координатой $\vec r_1$. При этом гравитационная масса не совпадает с инерциальной массой, но решение допускает такое не совпадение.

-- Вт ноя 27, 2012 16:16:15 --

Решение для трех тел
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2} $
$\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_2-\vec R_3}{d\tau^2}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_2-\vec R_1}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_2}{d\tau^2} $
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_3-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_3-\vec R_1}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_3}{d\tau^2} $
Где $\vec R_l -\vec R_k$ парные траектории.
Я не знаю на счет пифогорейской проблемы трех тел, является ли она гравитационной. Кроме того, решение приближенное, оно не учитывает запаздывание гравитационного поля при взаимодействии. Возможно накопившееся запаздывание и приводит к такому эффекту.
Кроме того, тела солнечной системы вращаются длительный срок и не одно не покинуло солнечную систему.

[pohius]

Как заметил ув. espe, давайте отложим обсуждение решения, пока вы не опубликуете собственно ответ. А то какой смысл проверять решение, если ответ не верен.

[Joker_vD]

Я краем уха слышал (могу наврать), но несколько лет назад были найдены начальные условия для задачи четырех тел, при которых а) существует и единственно явное аналитическое решение, которое б) непродолжимо на всю ось $t>0$. Иными словами, тела разлетаются на бесконечность за конечное время.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

Решение для трех тел
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2} $
$\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_2-\vec R_3}{d\tau^2}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_2-\vec R_1}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_2}{d\tau^2} $
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_3-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_3-\vec R_1}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec r_3}{d\tau^2} $

Странно. Я тут решения не вижу, я вижу систему из трех дифф. уравнений. Вы знаете что значит решить дифф. уравнение?

-- Вт ноя 27, 2012 15:36:04 --

espe в сообщении #650412 писал(а):

evgeniy
напишите найденный Вами ответ $\mathbf r_1(t)$, $\mathbf r_2(t)$, $\mathbf r_3(t)$

То есть вы должны записать 3 функции в явном виде.

[evgeniy]

Это дифференциальное уравнение интегрируется с точностью до линейной функции, соответствующей начальным условиям.
Т.е. проверить надо равенство
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=\frac{d^2 \vec R_1}{d\tau^2} $
При этом справедливо
$\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}=-(m_1+m_2+m_3)\gamma \frac{\vec r_1-\vec r_2}{|\vec r_1-\vec r_2|^3}$
$\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_3}{d\tau^2}=-(m_1+m_2+m_3)\gamma \frac{\vec r_1-\vec r_3}{|\vec r_1-\vec r_3|^3}$
значит решение удовлетворяет записанным уравнениям.
При этом доказано $R_l-R_k=r_l-r_k$

[pohius]

Замечательно, вот проинтегрируйте и выпишите ответ в явном виде.

[SergeyGubanov]

evgeniy в сообщении #650434 писал(а):

При этом доказано $R_l-R_k=r_l-r_k$

Где же это оно доказано? Это пока только постулировано.

Давайте попробуем доказать. Для краткости, обозначим $\mathbf r_1 - \mathbf r_2 = \mathbf Q_{12}$, $\mathbf r_1 - \mathbf r_3 = \mathbf Q_{13}$ и $\mathbf r_2 - \mathbf r_3 = \mathbf Q_{23}$, тогда

$$\mathbf{\ddot{r}}_1 = - \gamma \, m_2 \frac{\mathbf Q_{12}}{|\mathbf Q_{12}|^3}- \gamma \, m_3 \frac{\mathbf Q_{13}}{|\mathbf Q_{13}|^3}$$

$$\mathbf{\ddot{r}}_2 = + \gamma \, m_1 \frac{\mathbf Q_{12}}{|\mathbf Q_{12}|^3} - \gamma \, m_3 \frac{\mathbf Q_{23}}{|\mathbf Q_{23}|^3}$$

$$\mathbf{\ddot{r}}_3 = + \gamma \, m_1 \frac{\mathbf Q_{13}}{|\mathbf Q_{13}|^3} + \gamma \, m_2 \frac{\mathbf Q_{23}}{|\mathbf Q_{23}|^3}$$

Исключая $\mathbf r_n$, получаем:

$$\mathbf{\ddot{Q}}_{12} + \gamma (m_1 +m_2) \frac{\mathbf Q_{12}}{|\mathbf Q_{12}|^3} = \gamma m_3 \left( \frac{\mathbf Q_{23}}{|\mathbf Q_{23}|^3} - \frac{\mathbf Q_{13}}{|\mathbf Q_{13}|^3} \right)$$

$$\mathbf{\ddot{Q}}_{13} + \gamma (m_1 +m_3) \frac{\mathbf Q_{13}}{|\mathbf Q_{13}|^3} = - \gamma m_2 \left( \frac{\mathbf Q_{12}}{|\mathbf Q_{12}|^3} + \frac{\mathbf Q_{23}}{|\mathbf Q_{23}|^3} \right)$$

$$\mathbf{\ddot{Q}}_{23} + \gamma (m_2 +m_3) \frac{\mathbf Q_{23}}{|\mathbf Q_{23}|^3} = \gamma m_1 \left( \frac{\mathbf Q_{12}}{|\mathbf Q_{12}|^3} - \frac{\mathbf Q_{13}}{|\mathbf Q_{13}|^3} \right)$$

Переменные не разделились, значит Ваше исходное предположение как бы не верно...

[evgeniy]

Решение
$r_1=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_1)+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_2)+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_3)+a\tau+b$
$r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_1)+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_2)+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_3)+a\tau+b$
Вычитаем из первого равенства второе, получаем
$r_1-r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_2)+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_2)+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_2)=R_1-R_2$
Все обозначения векторные.
На самом деле все доказано в первом посте, я не понимаю почему он не понятен.