Проблема описания многих квантовых тел

[SergeyGubanov]

evgeniy в сообщении #650445 писал(а):

На самом деле все доказано в первом посте, я не понимаю почему он не понятен.

Ни там, ни здесь ничего не доказано. Вы придумали анзац. Далее Вам надо подставить его в исходную систему уравнений и показать, что переменные разделяются...

[evgeniy]

Сравните "придуманный" анзац с предыдущими формулами. Переменные разделяются потому что каждый член анзаца соответствует парным траекториям.
Так построен алгоритм, чтобы удовлетворять уравнению движения, члены получаются, чтобы правая часть уравнения совпадала с левой. И в довершение оказалось, что предположение о равенстве векторов двух систем подтверждается.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650445 писал(а):

Решение
$r_1=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_1)+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_2)+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(R_1-R_3)+a\tau+b$
$r_2=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_1)+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_2)+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(R_2-R_3)+a\tau+b$

А что $\mathbf r_1$ от времени линейно зависит? то есть траектория прямая? А куда подставлять начальные скорости, начальные координаты? А где $\mathbf r_3$? $R_1-R_1$ таки ноль так же как $R_2-R_2$, подобные мне самому надо привести? Что такое $R_1$, $R_2$ и $R_3$?

[SergeyGubanov]

evgeniy в сообщении #650450 писал(а):

Переменные разделяются потому что каждый член анзаца соответствует парным траекториям.

Переменные не разделяются, смотрите post650442.html#p650442

[Someone]

Joker_vD в сообщении #650426 писал(а):

Я краем уха слышал (могу наврать), но несколько лет назад были найдены начальные условия для задачи четырех тел, при которых а) существует и единственно явное аналитическое решение, которое б) непродолжимо на всю ось $t>0$. Иными словами, тела разлетаются на бесконечность за конечное время.

Да, я тоже что-то такое слышал. Но точно не помню, сколько там было тел.

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}=-\gamma m_2(\vec R_1-\vec R_2)/|\vec R_1-\vec R_2|^3$

Я не понял, что такое $\frac{d^2 \vec R_1-\vec R_2}{d\tau^2}$. Это $\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}$?

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

Я не знаю на счет пифогорейской проблемы трех тел, является ли она гравитационной.

??? Вы меня за идиота принимаете? Зачем бы я стал упоминать эту задачу, если бы она не имела отношения к обсуждаемому вопросу? Задача такая: три материальные точки расположены в вершинах прямоугольного треугольника со сторонами $3$, $4$, $5$; массы этих точек пропорциональны противолежащим сторонам; в начальный момент все три точки покоятся; требуется рассчитать движение точек, если они притягиваются по закону всемирного тяготения.
Я упомянул эту задачу, потому что она казалась мне достаточно широко известной, а вообще указанное мной поведение достаточно типично для систем многих тел.

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

Кроме того, решение приближенное, оно не учитывает запаздывание гравитационного поля при взаимодействии. Возможно накопившееся запаздывание и приводит к такому эффекту.

В ньютоновской теории нет никакого запаздывания.

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

Кроме того, тела солнечной системы вращаются длительный срок и не одно не покинуло солнечную систему.

А я и не говорил, что все системы так себя ведут. Что касается Солнечной системы, то из неё время от времени выбрасываются некоторые кометы, если они особо удачно проходят вблизи больших планет. Но Вы ведь претендуете на описание всех систем многих тел.

[Munin]

evgeniy в сообщении #650417 писал(а):

Кроме того, тела солнечной системы вращаются длительный срок и не одно не покинуло солнечную систему.

Этого мы, в общем, знать не можем, поскольку наблюдаем только текущее состояние. Может быть, Солнечную систему покидали целые планеты размера Земли или поболе.

[evgeniy]

Решение проблемы описания многих тел
с помощью парных траекторий
Чтобы не было недоразумений, что я что-то подгоняю, я описал алгоритм для трех тел с учетом проверки решения на подстановки в уравнение движения.
Опишем взаимодействие трех тел
$\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2}=-\gamma \frac{m_2 (\vec r_1 -\vec r_2)}{| \vec r_1 -\vec r_2|^3}-\gamma \frac{m_3 (\vec r_1 -\vec r_3)}{| \vec r_1 -\vec r_3|^3}\eqno(1) $
$\frac{d^2 \vec r_2}{d\tau^2}=-\gamma \frac{m_1 (\vec r_2 -\vec r_1)}{| \vec r_2 -\vec r_1|^3}-\gamma \frac{m_3 (\vec r_2 -\vec r_3)}{| \vec r_2 -\vec r_3|^3}$
$\frac{d^2 \vec r_3}{d\tau^2}=-\gamma \frac{m_1 (\vec r_3 -\vec r_1)}{| \vec r_3-\vec r_1^3|}-\gamma \frac{m_2(\vec r_3-\vec r_2)}{| \vec r_3-\vec r_2^3|}$
Решим вспомогательную задачу о парном взаимодействии тел с приведенной инертной массой
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{\tau^2}=-\gamma \frac{m_2 (\vec R_1 -\vec R_2)}{| \vec R_1 -\vec R_2|^3}\eqno(2) $
$\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_3)}{\tau^2}=-\gamma \frac{m_3 (\vec R_1 -\vec R_3)}{| \vec R_1 -\vec R_3|^3}\eqno(3) $
Просуммируем формулs (2) и (3) , сделаем предположение $\vec R_1-\vec R_k=\vec r_1-\vec r_k,k=2,3$ получим правую часть формулы (1). Запишем равенство левых частей формулы (1) и формул (2) и (3)
$\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2}=\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_3)}{d\tau^2}\eqno(4)$
Добавим к правой части (4) нулевой член
$\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2}=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_1)}{d\tau^2}+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_3)}{d\tau^2}$
Вычислим вторую производную от радиуса второго тела
$\frac{d^2 \vec r_2}{d\tau^2}=\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_2-\vec R_1)}{d\tau^2}+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_2-\vec R_2)}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_2-\vec R_3)}{d\tau^2}$
Вычтем из второй производной от радиуса первого тела производную второго тела, получим
$\frac{d^2 (\vec r_1-\vec r_2)}{d\tau^2} =\frac{m_1}{m_1+m_2+m_3} \frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}+\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{\tau^2}=\frac{d^2 (\vec R_1-\vec R_2)}{d\tau^2}\eqno(5)$
При одинаковых начальных условиях $\frac{d\vec r_k(0)}{d\tau}=\frac{d\vec R_k(0)}{d\tau},\vec r_k(0)=\vec R_k(0) $ интегрируя дифференциальное уравнение (5), получим равенство $\vec r_1-\vec r_2=\vec R_1-\vec R_2$
Т.е. предположение об одинаковости разности переменных с большим и малым обозначением радиуса подтвердилось.
Интегрируя дифференциальное уравнение (4), получим точное значение траектории тела, удовлетворяющее начальным условиям
$\vec r_1(\tau)=\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}(\vec R_1(\tau)-\vec R_2(\tau)- \frac{d\vec R_1(0)}{d\tau}\tau-\vec R_1(0)+\frac{d\vec R_2(0)}{d\tau}\tau+\vec R_2(0))+ $

$+ \frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}(\vec R_1(\tau)-\vec R_3(\tau)- \frac{d\vec R_1(0)}{d\tau}\tau-\vec R_1(0)+ \frac{d\vec R_3(0)}{d\tau}\tau+\vec R_3(0))+ \frac{d\vec r_1(0)}{d\tau}\tau+\vec r_1(0)\eqno(6) $
Докажем, что формула (6) дает правильное решение задачи, т.е. формула для определения траектории удовлетворяет дифференциальному уравнению движения. Для этого найдем вторую производную от формулы (6). Начальные условия сократятся и получим
$\frac{d^2 \vec r_1}{d\tau^2}=\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec r_1-\vec r_2)}{d\tau^2}+\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec r_1-\vec r_3)}{d\tau^2}\eqno(7) $
Воспользуемся формулами (2) и (3). Перепишем их с учетом равенства разности большого и малого обозначения радиуса
$\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec r_1-\vec r_2)}{\tau^2}=-\gamma \frac{m_2 (\vec r_1 -\vec r_2)}{| \vec r_1 -\vec r_2|^3}\eqno(2) $
$\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}\frac{d^2 (\vec r_1-\vec r_3)}{\tau^2}=-\gamma \frac{m_3 (\vec r_1 -\vec r_3)}{| \vec r_1 -\vec r_3|^3}\eqno(3) $
Подставляя разности $\vec r_1-\vec r_2,\vec r_1-\vec r_3$ из формул (2),(3) в формулу (7), получим уравнение движения (1). Т.е. формула для определения траектории движения тела удовлетворяет дифференциальному уравнению движения.
SergeyGubanov при доказательстве равенства постулируемого выражения Вы используете относительный радиус, поэтому равенства Вы не получили. Надо использовать абсолютные величины. Доказательство равенства постулируемой разности с большим и малым обозначением радиуса приведено выше.

[pohius]

А где ответ? Вас уже сколько раз просили дать ответ.

[evgeniy]

Someone
Ваши возражения серьезны, но хотелось бы уточнить каким образом считается задача о трех телах в прямоугольном треугольнике.
Если реализуется решение уравнений движения по закону тяготения Ньютона без учета запаздывания, то решение может стремиться к бесконечности, за счет численного счета, решения дифференциального уравнения может расходиться.
Если же расходимость решения (его удаление на бесконечность) следует из эксперимента, то закон тяготения Ньютона не справедлив из-за наличия запаздывания, силу действует из положения тела в предыдущий момент времени.
Выброс комет описывается решением задачи для парного взаимодействия кометы с другими телами. Решение получается по гиперболе. Но для планет решение по гиперболе имеет малый вес и реализуется через длительное время.
В общем порекомендуйте литературу я попробую разобраться с эффектом выброса тела с траектории.
Pohius
Решение приведено в тексте сообщения для одного тела $r_1(\tau)$ формула (6)

[pohius]

evgeniy в сообщении #650860 писал(а):

Решение приведено в тексте сообщения для одного тела $r_1(\tau)$ формула (6)

Формула (6) не является решением поскольку не определены функции $\vec R_1$, $\vec R_2$ и $\vec R_3$
Я вас уже сколько раз просил выписать ответ отдельно и явно.

[Joker_vD]

Не, ну как можно серьезно воспринимать человека, который не знает, что такое "решение дифференциального уравнения"?

[evgeniy]

Формула сложная, но для движения приведенной массы в одной плоскости вектор $\vec r_1-\vec r_2$ надо спроектировать этот вектор на плоскость и на плоскости $ (x_1,x_2)$ имеются формулы для движения по эллипсу или гиперболе
$x_1=a(\cos\varphi-e)$
$x_2=a\sqrt{1-e^2}\sin\varphi$
$\tau=\sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}}(\varphi-e\sin\varphi)$
В случае гиперболического движения имеем
$x_1=a(\cosh\varphi+e)$
$x_2=a\sqrt{e^2-1}\sinh\varphi$
$\tau=\sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}}(e\sinh\varphi-\varphi)$
Зная ориентацию плоскости в пространстве можно вычислить относительное движение $\vec r_1-\vec r_2$.
Эксцентриситет считается по формуле
$e=\sqrt{1+\frac{2EM^2}{m\alpha^2}},U=-\alpha/r$,
E величина энергии тела, M момент инерции тела, $m=m_1 m_2/(m_1+m_2+m_3)$ приведенная масса при взаимодействии тел 1,2 , $a$ большая полуось эллипса.
Большего я Вам не скажу, вычислять координаты $\vec r_1-\vec r_2$ я не буду, проецируйте плоскость вращения тел на декартово пространство и получите формулы для радиусов. Достаточно, что я описал алгоритм.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650876 писал(а):

Большего я Вам не скажу, вычислять координаты $\vec r_1-\vec r_2$ я не буду, проецируйте плоскость вращения тел на декартово пространство и получите формулы для радиусов. Достаточно, что я описал алгоритм.

Формулы сложные, по этому я должен решить вашу задачу. Ну да.

[evgeniy]

Принципиально задача решена. Доделать формулу не сложно. Просто это не входит в круг задач, которые я исследую и ничего нового для решения не даст.

[zubik67]

Для молекул энергию, межатомные расстояния посчитать можете, например для иона молекулярного водорода?