Проблема описания многих квантовых тел

[evgeniy]

Проблема описания многих квантовых тел
с помощью парных траекторий
Существуют только приближенные методы описания движения квантовых тел. Предлагается формула на основе парного взаимодействия между телами, вычисляется собственная энергия и волновая функция, описывающая все взаимодействующие частицы при не релятивистских скоростях движения.
Я не знаю, правильно ли описание многих квантовых тел с помощью предлагаемой идеи о эквивалентном описании системы с помощью совпадения операторов, описывающих кинетическую энергию разными способами, но изложу все подробно.
Для определения волновой функции заряженных тел надо решить систему уравнений
$ (m_1+…+m_N)\frac{p_{1n}^{2}+ p_{2n}^{2}+ p_{3n}^{2}}{2m_n^2} G(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})+$
$ [ m_n \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_k} E_n+\sum_{k=1,k \ne n}^{N}\frac{e_n e_k} {r_{nk}}] G(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk}),n=1,…,N \eqno(1) $
При этом энергия состояния пропорциональна массе частицы $E_n=-\frac{m e^4}{2\hbar^2 n^2}$, откуда и возникает множитель перед энергией в уравнении (1), так как определяется вклад n тела во всю энергию системы при взаимодействии с остальными телами. Где имеем, что суммарная кинетическая энергия внутреннего движения при неподвижном центре тяжести этой системы частиц определяется по формуле (подсчитанная двумя способами кинетическая энергия частиц совпадает, из этого равенства определяется средняя скорость частицы, оператор которой определяет среднюю энергию частицы)
$ (m_1+…+m_N)(V_{1n}^2+ V_{2n}^2+ V_{3n}^2)=\sum_{k=1,k \ne n}^{N} m_{nk}(V_{1nk}^2+ V_{2nk}^2+ V_{3nk}^2) $
При этом равенство кинетических энергий можно записать в операторном виде
$ (m_1+…+m_N)\frac{p_{1n}^{2}+ p_{2n}^{2}+ p_{3n}^{2}}{2m_n^2} G(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})=$
$=\sum_{k=1, k \ne n}^{N} \frac{p_{1nk}^{2}+ p_{2nk}^{2}+ p_{3nk}^{2}}{2m_n^2} \Phi (r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk}) \eqno(2) $
Где введен оператор средней кинетической энергии системы частиц $=\sum_{k=1, k \ne n}^{N} \frac{p_{1nk}^{2}+ p_{2nk}^{2}+ p_{3nk}^{2}}{2m_n}$
Поскольку кинетические энергии двух систем совпадают, совпадает и волновые функции двух систем.
При этом радиус равен $r_{nk}=\sqrt{\sum_{l=1}^3 (x_n^l-x_k^l)^2}$. Величина $E_n$ определяемая энергия n частицы, величины $m_n,e_n$ масса и заряд n частицы. При этом для решения проблемы N частиц необходимо рассчитать парные волновые функции
$\Psi_{nk}(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})=\prod_{k=1,k \ne n} ^N \psi_{nk}(r_{nk}) Y_{l_{nk},m}(\vartheta_{nk},\varphi_{nk})$ волновые функции тел из уравнений
$\frac{p_{1nk}^{2}+ p_{2nk}^{2}+ p_{3nk}^{2}}{2m_n m_k/(m_n+m_k)} \Psi (r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})+$
$ [E_{nk}+\sum_{k=1,k \ne n}^{N}\frac{e_n e_k} {r_{nk}}] \Psi (r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})=0,n=1,…,N \eqno(3) $

Вычислим волновые функции системы парных частиц. Причем последнее уравнение сводится к уравнению
$\frac{1}{r_{nk}^2}\frac{\partial}{\partial r_{nk}}[r_{nk}^2\frac{\partial \psi_{nk}(r_{nk})}{\partial r_{nk}}]-\frac{l_{nk} (l_{nk}+1)}{r_{nk}^2} \psi_{nk}(r_{nk})+$
$+\frac{2 m_n m_k}{(m_n+m_k) hbar^2}(E_{nk}+\frac{e_n e_k}{r_{nk}})\psi_{nk}(r_{nk})=0,\eqno(4) $
Величина $l_{nk}$ орбитальный момент пары тел, определяемый по сферической функции $Y_{l_{nk},m}(\vartheta_{nk},\varphi_{nk})$, величина $E_{nk}$ определяемая энергия взаимодействия n и k тела, величины $m_n,e_n$ масса и заряд n тела.
При этом решения с непрерывной энергией (взаимодействие частиц одного знака), реализуют состояние с наименьшей энергией, равной нулевой энергией и это состояние не надо учитывать.
Приравнивая первые члены (1) и (3) с помощью (2), получим
$ [m_n \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_k} E_n+\sum_{k=1,k \ne n}^{N}\frac{e_n e_k} {r_{nk}}] \Psi(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk})=$
$=\sum_{k=1,k \ne n}^{N} [E_{nk}+ \frac{e_n e_k} {r_{nk}}] \Psi(r_{nk},\vartheta_{nk},\varphi_{nk}) $
Т.е. получается, что энергия каждой частицы, равна сумме парных энергий тел, с участием этой частицы.
Усредняя эту величину, получим значение энергии n частицы по формуле
$E_n=\sum_{k=1, k \ne n} E_{nk}\frac{1}{ m_n \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{m_k} }$
При этом парные состояния могут реализовываться с разными орбитальными квантовыми числами, за счет чего энергия состояния частицы, не равна энергии одной частицы, а образует смесь состояний.
Имеется качественное описание атома в зависимости от количества протонов у ЛЛ в квантовой механике том 3. Там сказано, что энергия внешних электронов в модели Томаса-Ферми не зависит от количества протонов Z, причем эмпирические данные указывают на увеличение размеров атома и уменьшение потенциала ионизации с увеличением Z, что можно согласовать с предлагаемой моделью.
При этом в случае Z электронов и Z протонов рассматривая парные взаимодействия надо учитывать спин обеих частиц. Допустим, что орбитальный момент системы и ее радиальное квантовое число для двух частиц одинаково. Если суммарный спин двух частиц равен нулю, то частицы имеют противоположный спин и это состояние реализуется. Если же частицы имеют одинаковый спин, в сумме равный единице, то эти два состояния не реализуются и волновая функция системы не содержит эти волновые функции и не нужно учитывать энергию взаимодействия этих двух частиц. Т.е. система из N электронов содержит только пару электронов с разным спином и одинаковым орбитальным и радиальным квантовым числом.

[pohius]

"Проблема описания многих квантовых тел" - формулировка очень расплывчата. Прежде чем писать формулы неплохо бы было описать суть проблемы. Судя по формулам вы решаете задачу в сферических координатах и $E_n$ наталкивает на мысль что это задача об атоме.

То есть задача как я понял такая. Есть атом с зарядом Z. Найти уровни энергии электронов. Данная задача в общем виде не разрешима. Но есть модели с некоторыми приближениями которые могут дать адекватный результат.

То есть у вас своя модель для решения этой задачи. Какие ограничения вы в ней используете? Находится ли атом во внешнем поле? Учитывается ли спин-орбитальное взаимодействие? Например при больших Z скорость электрона большая, и очень сильно играют роль релятивистские поправки. Для какого Z у вас модель?

Формулы это конечно хорошо, но вначале нужно объяснить а зачем это вообще нужно.

З.Ы. Понятие "траектории" в КМ лучше не применять.

[evgeniy]

Решается уравнение Шредингера для задачи, состоящей из произвольного количества частиц имеющих произвольный заряд. Относительные скорости предполагаются не релятивистскими. Внешнего поля нет, но учитывается влияние частиц друг на друга. Спин-орбитальное взаимодействие не учитывается, это величина на порядки малая. Учитывается принцип Паули о невозможности одинаковых состояний фермионов. В частности с точностью 1/137^2 можно применять решение задачи для описания атома с заряженными протонами и вращающимися вокруг них электронами. Используется понятие центра тяжести двух частиц, для вспомогательного описания их относительного движения. Как известно при релятивистских скоростях понятие центра тяжести теряет смысл, поэтому обобщение на релятивистские скорости проблематично.
Как мне кажется решение задачи может быть использовано для описания таблицы Менделеева в связи с точным определением энергии электронов, описывающих взаимодействие электронов и протонов при увеличении заряда атома (учет экранировки).
Задача навеяна решением задачи о движении планет солнечной системы, в которой при не релятивистских скоростях удалось точно вычислить траектории движения с использованием парных траекторий. Решение задачи о парном взаимодействии описывает взаимодействие всех частиц и может быть использовано для решении проблемы N тел. При релятивистских скоростях необходимо учитывать запаздывание, что не позволяет решить задачу. В случае уравнения Дирака помимо основных проблем, тоже необходимо учитывать запаздывание, хотя расстояния малы, но периоды тоже малы, т.е. потенциалы надо рассматривать в предыдущие моменты времени. Как это сделать без знания траектории неизвестно. Т.е. взаимное влияние частиц друг на друга не учтешь.

[pohius]

evgeniy в сообщении #649916 писал(а):

Задача навеяна решением задачи о движении планет солнечной системы, в которой при не релятивистских скоростях удалось точно вычислить траектории движения с использованием парных траекторий.

Вот это да. Так вы оказывается решили задачу N тел. А что ж вы молчите. С этого и надо было начинать. Это как минимум нобелевка по математике. Обращайтесь срочно в комитет.

[evgeniy]

Решение надо проверить, кроме того я послал статью в астрономический журнал, но ответа еще не получил. Кстати нобелевские премии по математике не присуждаются. Кроме того, если учитывать запаздывание, то относительная ошибка решения $10^{-4}$, отношение скорости планеты к скорости света, так что точность расчетов по формулам не высока. Т.е. расчет движения искусственного тела например к Марсу не велика, как добиваются большей точности я не представляю.

[pohius]

Да действительно, по математике не дают. А для проверки журналы не нужны, достаточно запостить в этот раздел, либо в раздел по математики. Заслуженные участники, я думаю, сразу укажут на ошибку, если она есть.

[evgeniy]

Поэтому я и изложил проблему описания квантовых частиц, описываемых уравнением Шредингера.

[pohius]

Вы сначала разберитесь с проблемой N тел.

[Munin]

(1) - не уравнение, поскольку в нём нет знака равенства.

[evgeniy]

pohius в сообщении #649961 писал(а):

(1) - не уравнение, поскольку в нём нет знака равенства.

Согласен, пропустил знак равенства уравнения Шредингера нулю.
Кажется мне, что нужно рассказать алгоритм решения проблемы N тел на предмет обнаружения в нем ошибок.

[evgeniy]

Решение проблемы описания многих тел
с помощью парных траекторий
Решение задачи многих тел является актуальной проблемой небесной механики и для точного расчета движения космических искусственных тел является не заменимой. Предлагаемая теория позволяет точно рассчитывать траекторию космического аппарата, что на сегодняшний день является актуальнейшей проблемой космонавтики.
Рассмотрим вспомогательную задачу взаимодействия пар тел с особой приведенной массой. Тогда относительное взаимодействие и движение каждой пары можно определить. При этом необходимо приведенную массу считать особым образом по формуле $m_n m_k/(m_1+…m_N)$ . Но как восстановить траекторию каждого тела? Для этого запишем силу, действующую на одно тело
$\frac{d^2 y_l^k}{d\tau^2}=-\gamma \sum_{n=1,n \ne k}^N\frac{m_n(y_l^k-y_l^n)}{[\sum_{s=1}^3 (y_s^k-y_l^n)^2]^{3/2}}\eqno(1)$
Решим вспомогательную задачу о парном взаимодействии тел с приведенной инертной массой $m_n m_k/(m_1+…m_N),$ в гравитационном поле с потенциалом $U=-\gamma \frac{m_n m_k}{[\sum_{s=1}^3 (z_l^k - z_l^n)^2]^{1/2}}$ с относительным расстоянием $z_s^k-z_l^n$ между центром гравитационного поля $z_s^n$ и телом $z_s^k$
$\frac{m_n m_k}{m_1+…m_N}\frac{d^2 z_l^{k} - z_l^n} {d\tau^2}=-\gamma \frac{m_n m_k (z_l^{k} - z_l^n)}{[\sum_{s=1}^3 (z_s^k-z_l^n)^2]^{3/2}}$

Cократим эту формулу на $m_k$ и просуммируем эту формулу по индексу n, исключая из суммы член с нулевым знаменателем, получим формулу
$\frac{m_n}{m_1+…m_N}\frac{d^2 z_l^k - z_l^n} {d\tau^2}=-\gamma \sum_{n=1,n \ne k}^N \frac{m_n (z_l^k - z_l^n)}{[\sum_{s=1}^3 (z_s^k-z_l^n)^2]^{3/2}}\eqno(2)$
Сделаем предположение, что справедливо
$y_l^k - y_l^n=z_l^k - z_l^n\eqno(3)$
Это предположение потом подтвердим вычислением. Тогда правые части (1) и (2) совпадают, приравняем левые части. Получим формулу, в который ввели член с одинаковым индексом
$\sum_{n=1}^N \frac{m_n}{m_1+…m_N}\frac{d^2 z_l^k - z_l^n}{ d\tau^2}=\frac{d^2 y_l^k}{d\tau^2}$
Где величина $z_l^k-z_l^n$ определится из вспомогательной задачи. Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим
$y_l^k(\tau)=\sum_{n=1}^N \frac{m_n}{m_1+…+m_n}[z_l^k(\tau)-z_l^n(\tau)+a\tau+b]$
расшифруем это выражение, записав это выражение относительно начальных значений функций
$y_l^k(\tau)-\frac{dy_l^k(0)}{d\tau}\tau-y_{0l}^k=\sum_{n=1}^N \frac{m_n}{m_1+…+m_n}[z_l^k(\tau)-z_l^n(\tau)-\frac{d z_l^k(0)}{d\tau}\tau-z_{0l}^k- \frac{d z_l^n(0)}{d\tau}\tau-z_{0l}^n]\eqno(4)$
где для удобства записи расписана линейная функция плюс постоянный член. При такой записи проинтегрированного уравнения начальные условия удовлетворяются. Причем определяются одинаковые начальные условия для переменных координат $y_l^k$ и $z_l^k$.
Составим разность между координатой $y_l^k(\tau)$ и координатой $y_l^m(\tau)$, получим формулу, причем начальные условия в эту разность не войдут при условии совпадения начальных условий для разных переменных $\frac{d y_l^k(0)}{d\tau}= \frac{d z_l^k(0)}{d\tau},y_l^k(0)=z_l^k(0) $получим формулу (5)
$y_l^k(\tau)-y_l^m(\tau)=\sum_{n=1}^N\frac{m_n}{m_1+…+m_N}[z_l^k(\tau)-z_l^m(\tau)]= z_l^k(\tau)-z_l^m(\tau)\eqno(5)$
Т.е. предположение об одинаковости разности переменных (3) подтвердилось и значит формула (4) правильно описывает траекторию тела.
Задача о движении двух тел в центрально симметричном поле сводится к задаче об относительном движении тела. При этом необходимо определить только относительное движение двух тел.
При этом необходимо определять плоскость, в которой происходит движение. Т.е. необходимо задавать момент системы в центрально симметричном поле и энергию тела. Кроме того, решение содержит две константы, итого решение зависит от 4 констант, причем движение в одной плоскости, т.е. начальные условия это две проекции скорости и две начальные координаты. Задача упрощается в случае ньютоновского поля тяготения, когда движение периодично и осуществляется либо по эллипсу, либо по гиперболе.
В самом деле, координаты эллипса описывают траекторию (см. ЛЛ Механика), лежащую в одной плоскости
$x_1=(a\cos\varphi-e) x_2=a\sqrt{1-e^2}\sin\varphi$
где e эксцентриситет эллипса, который считается по формуле $e=\sqrt{1+\frac{2EM}{m\alpha^2}},U=-\frac{\alpha}{r},\alpha=\gamma m_1 m_2,m=m_1 m_2/(m_1+…m_N)$
a большая полуось. Где величина E это полная энергия тела и величина M это момент инерции тела. При этом угол $ \varphi$ определяется из равенства
$\tau=\sqrt{\frac{ma^3}{\alpha}}(\varphi-e \sin\varphi)$
Аналогичное описание будет и при движении по гиперболе, только формулы изменятся
Отметим, что учет запаздывания воздействия приводит к поправке . Но при этом необходимо считать, что гравитационные воздействия распространяются со скоростью света, что следует из ОТО, но экспериментально не подтверждено, гравитационных волн никто не обнаруживал.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650320 писал(а):

Рассмотрим вспомогательную задачу взаимодействия пар тел с особой приведенной массой.

Давайте рассмотрим. Ограничимся пока 3 телами. Пусть они имеют массу $m_1$, $m_2$ и $m_3$. Какие пары тел вы рассматриваете, как будет выражаться приведенная масса, и какие будут координаты переведенной массы.

[evgeniy]

Имеются пары 1,2; 1,3; 2,3; первой паре соответствует задача для тела с приведенной массой $m_1 m_2/(m_1+m_2+m_3)$ в гравитационном поле с потенциалом $U=- \gamma m_1 m_2/r_{12}$, второй паре тело с приведенной массой $m_1 m_3/(m_1+m_2+m_3)$ с потенциалом $U=- \gamma m_1 m_3/r_{13}$. Эта вспомогательная задача решается, определяя относительное движение тела с приведенной массой в заданном гравитационном поле. Решение, формула для движения тела, определяется по формуле (4) из текста. Все это описано в посте, и формула для приведенной массы и формула для гравитационного поля.

[pohius]

evgeniy в сообщении #650363 писал(а):

первой паре соответствует задача для тела с приведенной массой

Не ясно что вы делаете. Объясните пожалуйста словами. Даны 3 массы. Далее вы разбиваете их на пары. А дальше что? Вычисляете движение центров масс пар или что?

[evgeniy]

Имеем тело массой 1,2 $m_1 m_2/(m_1+m_2+m_3)$ с относительным радиусом $r_{12}^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2$ в гравитационном поле $U(r_{12})=-\gamma m_1 m_2/r_{12}$. Задача об одном теле с заданной приведенной массой в данном гравитационном поле решается, см. ЛЛ Механика, вычисляется вектор $(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$. Вернее одна координата совпадающая, так как движение тела происходит в одной плоскости. Это решение вспомогательной задачи. По решению вспомогательной задачи строится решение основной задачи, вычисление траектории каждого тела.
Вам необходимо прочесть книжку о движении двух притягивающихся тел. Оно сводится к движению одного тела. Но свойства этого тела я изменил, изменил его массу, взяв решение задачи о движении тела с заданной массой в заданном гравитационном поле. Это можно сделать, так как в решение для относительного движения входит приведенная масса, относительное расстояние, энергия тела и момент импульса и потенциал гравитационного тела. Далее в решение о движении каждого тела входит только координаты относительного движения тел, вычисленные по предлагаемой методике.