Кососимметричная матрица нечетного порядка

[dmitriy11]

Существует ли такая кососимметричная матрица нечетного порядка с коэффициентами из поля $\mathbb{F}_2$, что ее определитель не равен нулю?
Среди матриц 3-го и 5-го порядка методом перебора я такой не нашел. Можно ли найти такую матрицу и как?

[Slip]

А как искали? По-моему, она есть и среди матриц порядка 3.

[Joker_vD]

Существуют ли вообще кососимметрические матрицы над полем характеристики 2? И чем они отличаются от симметрических матриц?

[bot]

Slip в сообщении #649860 писал(а):

По-моему, она есть и среди матриц порядка 3

И даже среди матриц порядка 1.

[Slip]

bot в сообщении #649873 писал(а):

И даже среди матриц порядка 1.

ну матрицы порядка 1 это немного извращение;)

[Joker_vD]

Так, я что-то запутался. Вот эта матрица, она кососимметрическая?

$$\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

А такая?

$$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

А такая?

$$\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 1&0&0 \\ 1&0&1 \end{array}\right)$$

[Slip]

Joker_vD
Да, они все кососимметрические. И симметрические тоже. потому что поле характеристики 2, т.е. всегда -A=A.

[dmitriy11]

ага, понял. я перебирал только матрицы, у которых нули на главной диагонали.

[alcoholist]

dmitriy11 в сообщении #649900 писал(а):

нули на главной диагонали

это правильно: у кососимметрической и должны быть нули, по определению

[Slip]

alcoholist
А откуда такое определение? Я всю жизнь думал, что кососимметрическая матрица - это которая в сумме с транспонированной дает 0. Тут какая-то специфика с полем характеристики 2?

[alcoholist]

Slip в сообщении #649987 писал(а):

Я всю жизнь думал, что кососимметрическая матрица - это которая в сумме с транспонированной дает 0.

нет, это та, для которой $A_{i,j}=-A_{j,i}$ при всех индексах

[Slip]

alcoholist
а в чем разница? $A_{i,j}+A_{j,i}$ - это элемент на $(i,j)$-ом месте в матрице $A+A^T$. и почему тогда на диагонали обязательно нули?

[Joker_vD]

alcoholist
$1=-1$, или я что-то упускаю?

[apriv]

Кососимметрическая матрица — это матрица альтернированной (знакопеременной) билинейной формы. Над полем характеристики не 2 это то же, что и кососимметричная билинейная форма, а над полем характеристики 2 дает правильную теорию.

[alcoholist]

да, разумеется, $1=-1$