Кососимметричная матрица нечетного порядка

[Joker_vD]

alcoholist
Ну вот $\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right)$, в ней $a_{11}=-a_{11}=1,\,a_{12}=-a_{21}=0,\,\dots$

apriv
Т.е. $A\in L_n(k)$ — кососиметрическая матрица, если для $\forall\,x\in k^n$ выполняется $x^TAx=0$? Тогда что такое "кососимметричная билинейная форма"? Ее матрица, наверное, называется "знакопеременной"?

[apriv]

Еще раз. В характеристике не 2 понятия знакопеременной и кососимметричной формы совпадают. В характеристике 2 они не совпадают, и правильным обобщением этих совпадающих понятий является знакопеременность. Поэтому в характеристике 2 матрица знакопеременной формы называется кососимметричной. А матрица кососимметричной формы называется симметричной.

-- 26.11.2012, 18:43 --

Это если дело происходит над полем, конечно; просто терминология прижилась именно из-за векторных пространств.

[Joker_vD]

Я знаю, что такое знакопеременная/кососимметрическая билинейная форма: это когда $A(x,x)=0$ для любых $x$. Вы говорите, что в случае характеристики два эти два термина расщепляются, и у одного из них появляется иное, неэквивалентное определение. У какого термина и какое именно определение?

[Slip]

Я так понимаю, что знакопеременная - это когда $A(x,x)=0$, а кососимметрическая - это когда $A(x,y)=-A(y,x)$. Когда поле характеристики не 2, то это, очевидно, эквивалентные понятия, а в случае характеристики 2 - кососимметричность следует из знакопеременности, но не наоборот.

Кстати, если понимать кососимметричность в задаче ТС как знакопеременность, то задача не решена.

[apriv]

Slip в сообщении #650035 писал(а):

Кстати, если понимать кососимметричность в задаче ТС как знакопеременность, то задача не решена.

Да ладно, все уже придумали пример с матрицами $3\times 3$.

[Slip]

Какой же? я так понимаю, что кососимметрические матрицы $3\times3$ задаются треугольником над главной диагональю (под диагональю симметрично, на диагонали нули). т.е. их всего 8. при этом если единиц над диагональю меньше 2, то определитель 0, потому что есть нулевая строка. Итого остаются матрицы $\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$, $\left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$, $\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}\right)$ и $\left(\begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$. У них у всех определитель нулевой (у первой сумма строк нулевая, у остальных есть одинаковые строки). Или при характеристике 2 и определитель как-то специально определяется?

[apriv]

А, я не прав, конечно же. У невырожденной знакопеременной формы размерность всегда четна, независимо от характеристики.