Одно красивое свойство простых чисел [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть $\varepsilon$ - произвольное положительное постоянное. Доказать, что в ряде натуральных чисел сущеcтвует бесконечно много пар $p_n,$ $p_{n+1}$ простых чисел с условием

$$p_{n+1}<p_n(1+\varepsilon)$$

Подскажите пожалуйста с чего начать. Предположил, что таких пар конечное число и пытался что-то вывести отсюда, но безуспешно.

[Slip]

Если таких пар конечное число, то можно оценить снизу n-ое простое число. А после этого посмотреть на ряд из чисел, обратных простым.

[ИСН]

Да когда окажется, что простые числа имеют экспоненциальный рост, то в принципе можно уже никуда не смотреть.

[lek]

Whitaker в сообщении #649637 писал(а):

Подскажите пожалуйста с чего начать.

Это утверждение можно легко доказать комбинируя неравенство Чебышева

$$ a\frac{x}{\ln x}<\pi(x)<b\frac{x}{\ln x} $$

с асимптотической формулой (следствием теоремы Адамара-Валле-Пуссена)

$$ \pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}. $$

Из последнего следует, что постоянные $a$ и $b$ могут быть при достаточно больших $x$ взяты сколь угодно близкими к 1. Положите $x=p_{n}$ и докажите, что для любого достаточно большого $p_{n}$, существует по крайней мере одно простое число, лежащее между $p_{n}$ и $p_{n}(1+\varepsilon)$.

[Whitaker]

lek
к сожалению я еще не знаю этих оценок и вряд ли смогу решить через ее.
Slip
Пусть таких пар конечное число:

$$\begin{cases} p_2<p_1(1+\varepsilon) \\ p_3<p_2(1+\varepsilon) \\ p_4<p_3(1+\varepsilon) \\ \cdots \\ p_{N-1}<p_{N-2}(1+\varepsilon) \\ p_{N}<p_{N-1}(1+\varepsilon) \end{cases}$$

Отсюда получаем, что $p_N<p_1(1+\varepsilon)^{N-1}$

[ИСН]

Зачем Вы сели на скамейку вниз головой? Какая от этого польза?

[Whitaker]

ИСН
извиняюсь, но я Вас не понял. Оценку я вроде верную получил

[Whitaker]

ИСН
извиняюсь, но я Вас не понял. Оценку я вроде верную получил

[ИСН]

Для чего Вы получили эту (если бы даже и верную) оценку? Чего хотите достичь?

[Whitaker]

ИСН
Я бы хотел получить оценку для $n$ - го простого числа и подставить это в ряд из обратных простых и получить отсюда что-нибудь противоречивое.

[ИСН]

Из скольких членов состоит ряд? А для скольких членов Вы получили оценку (если бы даже и верную)?

-- Пн, 2012-11-26, 01:28 --

Да, и что за ряд-то? Что про него известно? Какое утверждение о нём могло бы являться противоречием, к которому мы хотим придти?

[Whitaker]

Да вообще есть оценки: $p_2<p_1(1+\varepsilon)$, $p_3<p_1(1+\varepsilon)^2$, $p_4<p_1(1+\varepsilon)^3$, $\dots$, $p_N<p_1(1+\varepsilon)^{N-1}$
Есть такая асимптотическая формула $\sum \limits_{p\leqslant x}\dfrac{1}{p}=C+\ln_2x+O\left(\dfrac{1}{\ln x}\right)$

[ИСН]

Не вижу ответов на первый, второй и пятый вопросы.

[Whitaker]

Это ряд расходится при $x\to \infty$.
Противоречие получится наверное из того, что такой ряд сходится.

[ИСН]

Ага!
А что и с какой стороны нам можно было бы оценить, чтобы показать, что он якобы сходится?
(Первые два вопроса тоже важны.)