Почему у фотона только два спиновых состояния?

[Bobinwl]

1. Munin, а что вы подразумеваете под бустом? Первый раз встретив это, я пропустил, а сейчас вижу, что термин принципиальный.

2.

Munin писал(а):

Например, не только $(0,0,1,0)$ будет подходящим вариантом, но и $(x,x,1,0)$ тоже.

Но ведь решая ур-е $k_\mu a_\mu=0$, мы ищем набор таких $a_\mu$, которые ортогональны друг другу, а $(0,0,1,0)$ и $(x,x,1,0)$ не ортогональны.

3. Почему из решений ур-я по условию калибровки Лоренца $k_\mu a_\mu=0$ выбрасывается решение $a_\mu = k_\mu$? Вот такой вот интересный вектор получили, который равен вектору распространения волны. Что с ним не так?

[Munin]

Bobinwl в сообщении #638188 писал(а):

Т.е. очевидно, что векторы $E, H$ должны быть перпендикуляры направлению распространения волны, а два возможных независимых друг от друга состояния $E, H$ перпендикулярны друг другу.

Мне всё это отнюдь не "очевидно", а надо думать. Дело в том, что в четырёхмерном пространстве-времени вообще никаких векторов $E,H$ нет, а есть одна форма (тензор) поля $F_{\mu\nu}.$ Чтобы себе её представить, я представляю себе площадку, натянутую на векторы, в фурье-образах, $k_\mu$ и $a_\nu$ (поскольку $f_{\mu\nu}=ik_{[\mu}a_{\nu]}$), "болтающуюся" как векторное произведение: то есть, должна сохраняться плоскость, натянутая на пару векторов, её ориентация, и площадь площадки, натянутой на эту пару, а конкретные направления и длины векторов могут быть и другими.

Теперь, видно, что для свободной электромагнитной волны в вакууме, тензор поля $f_{\mu\nu}$ есть площадка, натянутая на световой и пространственноподобный векторы. Вот и вся поперечность. Разумеется, если мы будем искать отдельные электрические и магнитные компоненты, записывая

$$f_{\mu\nu}=(f_{0i},-\varepsilon_{ijk}f_{jk})=(e_{i},h_{i})=\begin{pmatrix}\mathord{\hphantom{-}}0&\mathord{\hphantom{-}}e_x&\mathord{\hphantom{-}}e_y&\mathord{\hphantom{-}}e_z\\-e_x&\mathord{\hphantom{-}}0&-h_z&\mathord{\hphantom{-}}h_y\\-e_y&\mathord{\hphantom{-}}h_z&\mathord{\hphantom{-}}0&-h_x\\-e_z&-h_y&\mathord{\hphantom{-}}h_x&\mathord{\hphantom{-}}0\end{pmatrix},$$

то получатся $e_{i}$ и $h_{i}$ перпендикулярные направлению волны, перпендикулярные друг другу, и заодно равные друг другу по модулю. Но почему? Это надо думать, я навскидку не могу перейти к такому выводу...

-- 31.10.2012 18:19:57 --

Bobinwl в сообщении #638284 писал(а):

1. Munin, а что вы подразумеваете под бустом? Первый раз встретив это, я пропустил, а сейчас вижу, что термин принципиальный.

Ну, пропускать такое нехорошо. Буст - это преобразование Лоренца, не являющееся чистым пространственным вращением. Ещё говорят "чистый буст" - это преобразование Лоренца, сохраняющее пространственные направления осей координат вдоль и поперёк скорости. То, что я сказал, верно и для буста вообще, и для чистого буста, хотя я имел в виду в голове чистый буст.

Bobinwl в сообщении #638284 писал(а):

Но ведь решая ур-е $k_\mu a_\mu=0$, мы ищем набор таких $a_\mu$, которые ортогональны друг другу, а $(0,0,1,0)$ и $(x,x,1,0)$ не ортогональны.

Я имел в виду, $(x,x,1,0)$ вместо $(0,0,1,0),$ а не одновременно с ним. То есть, полный базис может состоять из векторов $(1,1,0,0),(x_1,x_1,1,0),(x_2,x_2,0,1),$ и все они будут друг другу ортогональны и нормированы.

Bobinwl в сообщении #638284 писал(а):

Почему из решений ур-я по условию калибровки Лоренца $k_\mu a_\mu=0$ выбрасывается решение $a_\mu = k_\mu$? Вот такой вот интересный вектор получили, который равен вектору распространения волны. Что с ним не так?

"Не так" с ним ровно то, что он и имеет вид чистой калибровки, $a_\mu=k_\mu\alpha,$ и вычисленные из него электрические и магнитные поля будут равны нулю, то есть физически ему ничегошеньки не соответствует.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #638188 писал(а):

Попытаю еще раз счастья:
1. Как левая и правая линейная поляризация электромагнитной волны связаны с двумя возможными спиновыми состояниями фотона $+/- 1$? Т.е. на основании чего делается вывод, что это связанные вещи? Тем более спину соответствует понятие момента импульса, а выведенные два независимых состояния вектора $a_\mu$ не имеют никаких признаков "закрученности".

[ Я так понимаю, "левая и правая линейная поляризация" - опечатка, читаю "левая и правая круговая поляризация". ]

Я про эту связь знаю две вещи:
1. Это одни и те же представления "малой группы Лоренца", которую упомянул type2b.

2. Если записывать канонический тензор энергии-импульса электромагнитного поля (а не симметризованный), то у него есть антисимметрическая часть, которую можно рассматривать как "спин" классического поля - часть момента импульса, отвечающая не "орбитальному" движению энергии в поле, а связанная с тензорным рангом поля. Для скалярных полей эта часть равна нулю, для тензорных пропорциональна рангу поля. С другой стороны, принято воспринимать её "не всерьёз", а тензоры энергии-импульса и момента импульса поправлять, добиваясь симметричности ТЭИ. Это эквивалентное преобразование в смысле наблюдаемых величин, и заодно даёт калибровочную инвариантность выражения для ТЭИ, а в результате "нефизическое мнение" (не выражающееся в наблюдаемых величинах) о том, где локализован момент импульса, оказывается другим, и весь момент сводится к "орбитальному". В ЛЛ-2 этому не уделено внимания, подробнее можно посмотреть в Медведеве "Начала теоретической физики".

[Bobinwl]

Munin в сообщении #638338 писал(а):

[ Я так понимаю, "левая и правая линейная поляризация" - опечатка, читаю "левая и правая круговая поляризация". ]

Нет, я это сознательно написал. Ортогональные векторы $a_\mu$ не имеют признаков закрученности (в упор их не вижу), значит описывают линейную поляризацию. С чего это вдруг плоскости $E, H, A$ должны поворачиваться вокруг вектора $k$?

[Munin]

Линейная поляризация, конечно, составляет полноценный базис, но она не бывает правой или левой :-) Она бывает, например, вертикальной и горизонтальной. А правая и левая круговая получается из состояний линейной поляризации сложением со сдвигом одного из слагаемых по фазе. То есть не "с чего бы им поворачиваться", а "они могут поворачиваться, если захотят (или если мы захотим)".

[Bobinwl]

Да теперь я вижу свою опечатку и она в том, что вместо "вертикальная / горизонтальная" написал "правая / левая". И теперь ясно, откуда "закрученность" электромагнитной волны может появиться. Но вопрос по нулевому спину фотона все равно остался: почему вертикальную или горизонтальную линейную поляризацию (или их произвольную комбинацию с одинаковым $k_0$) нельзя считать состоянием фотона с нулевым спином?

[Munin]

Bobinwl в сообщении #638757 писал(а):

Но вопрос по нулевому спину фотона все равно остался: почему вертикальную или горизонтальную линейную поляризацию (или их произвольную комбинацию с одинаковым $k_0$) нельзя считать состоянием фотона с нулевым спином?

Среднее значение спинового момента импульса у такого фотона, конечно, нулевое. Но спектр такого фотона состоит из суперпозиции правого и левого спиновых состояний, с равной по модулю амплитудой. А у этих состояний, собственных для оператора момента импульса, спины, конечно же, + и -1. Здесь надо привыкнуть к квантовой системе понятий, чтобы больше обращать внимание на спектр, и меньше на средние величины.

[Bobinwl]

Munin в сообщении #638801 писал(а):

Среднее значение спинового момента импульса у такого фотона, конечно, нулевое. Но спектр такого фотона состоит из суперпозиции правого и левого спиновых состояний, с равной по модулю амплитудой. А у этих состояний, собственных для оператора момента импульса, спины, конечно же, $+ и -1$. Здесь надо привыкнуть к квантовой системе понятий, чтобы больше обращать внимание на спектр, и меньше на средние величины.

Ваш ответ мне понятен с точки зрения квантового описания "нулевого спина" как суммы двух состояний спина фотона $+1 / -1$. Но почему вы решили, что линейная поляризация (вертикальная или горизонтальная) это именно суперпозиция этих базовых состояний а не нулевое состояние спина фотона, вот это мне осталось неясно. Т.е. привыкнуть я могу, это не сложно, но хотелось бы понять

[Physman]

Bobinwl в сообщении #639713 писал(а):

Но почему вы решили, что линейная поляризация (вертикальная или горизонтальная) это именно суперпозиция этих базовых состояний а не нулевое состояние спина фотона, вот это мне осталось неясно

Линейная поляризация - это суперпозиция правой и левой циркулярных поляризаций. Это следует как из теории (если аккуратно выписать вектор поляризации для каждого случая, становится понятно), да и из эксперимента тоже. Можно смешать и получить.

[Bobinwl]

Physman в сообщении #641354 писал(а):

Линейная поляризация - это суперпозиция правой и левой циркулярных поляризаций. Это следует как из теории (если аккуратно выписать вектор поляризации для каждого случая, становится понятно)

Думаю, понял, о чем вы. Общее решение для векторного потенциала (простой случай без интеграла Фурье) $A_\mu=a_\mu ^{(1)} e^{ik x} + a_\mu ^{(2)} e^{ik x}$, где $ a_\mu \^{(\alpha)}$ пара комплексных векторов, ортогональных друг другу и вектору $k$. При ненулевой мнимой составляющей этих векторов получаем циркулярную поляризацию (перестановка перпендикулярных вектору $k$ 2-х составляющих меняет направление циркулярной поляризации). Отсюда получается вывод, что действительные вектора $a_\mu$ это только частный случай общего комплексных. Т.е. из базиса на "действительных" векторах невозможно описать все многообразие комплексных решений, а наоборот можно - это как раз будет сумма двух ортогональных мнимых векторов (левой / правой поляризации).
Если я прав, то большое спасибо за разбор полетов моих мыслей. Если нет, то готов дальше просвещаться.

[Munin]

Пока вы только обнаружили некоторое векторное пространство поляризаций. Но в нём ещё надо выбрать базис. Для этого используются операторы пространственного вращения, потому что момент импульса - это величина, сохраняющаяся за счёт симметрии по отношению к вращению. У оператора пространственного вращения оказываются два собственных состояния: правой и левой круговой поляризации. А линейная поляризация по ним раскладывается. То есть, момент импульса у состояния линейной поляризации 0, но оно при этом несобственное. Надо разложить.

[Physman]

Господа,
возник вопрос о спине локализованного фотона, у которого появляется ненулевая эффективная масса как следствие квадратичного закона дисперсии. Эта проблема обсуждается сейчас в теме "Вопрос про гравитацию и бозон Хиггса". Кому интересно, you are welcome to join!

P.S. Желательно всё обсудить в одной и той же теме, чтобы не разрываться между двумя.

[Munin]

Точнее, не о спине, поскольку там вращений нет, а об аналоге спина.

-- 19.11.2012 17:17:56 --

Тема: topic61431.html

[Physman]

Munin в сообщении #646502 писал(а):

Точнее, не о спине, поскольку там вращений нет, а об аналоге спина.

Так когда можно говорить о "спине", а когда об "аналоге спина" для фотона?

[Munin]

Когда вы рассмотрели симметрии относительно группы вращения (группы Лоренца), и нашли соответствующее представление и его размерность - это спин.

А в "локализованном случае" (речь шла об электромагнитном поле между двумя бесконечными проводящими плоскостями) симметрий относительно вращений нет, поскольку плоскости вращать нельзя. Я подразумевал "аналог" в смысле, в котором вводится, например, псевдоспин в графене ( http://ru.wikipedia.org/wiki/Графен ), или в котором Фейнман вводил спиновые состояния в 2D КЭД (Нобелевская лекция, http://ufn.ru/ru/articles/1967/1/c/ ).