Очень базовый вопрос по СТО

[oleg_2]

Munin,
я теперь понял, куда клонит OlegML, и чувствую - он прав.
Решить не могу пока, а чувствую, что при ускорениях оранжевый график будет
монотонным неразрывным.
Доводы:
Алия87 нарисовала множество сопутствующих ИСО (МСИСО).
Каждая МСИСО движется чуть медленнее предыдущей. Вот рисунок из вики

Видно, что при меньшей скорости разность показаний часов ИСО $K'$ меньше.
Когда скорость космонавта станет ноль, то часы МСИСО в точке домоседа покажут
точное время космонавта. А затем разность показаний часов сменит знак.
Ну видно же, что график будет монотонным.

OlegML писал(а):

Надо определится что за рисунки мы строим, я думал мы решаем мою задачу

OlegML,
определяю задачу, которую решал я.
Мимо Земли летит инерционная ракета со скоростью $v$. С ней связана ИСО $K'$,
со множеством часов, расположенных вдоль оси $x'$. Прямо против Земли часы этой
ракеты показали ноль, часы Земли тоже. С Землей связана ИСО $K$, вдоль оси $x$
которой, расположено множество часов.
В точке $x_A$ эта ракета встретилась со встречной инерционной ракетой, с которой
связана ИСО $K''$, а вдоль оси $x''$ встречной ИСО расположено множество часов.
Скорость встречной ракеты относительно ИСО Земли $v$, только в другую сторону
($-v$). В момент встречи ракет выяснилось, что часы обеих ракет показали одинаковое
время $t'_A = t''_A$ (а сравнить показания часов только и можно, когда они рядом).
В момент пролета встречной ракеты мимо Земли сравниваем показания часов Земли и
ракеты $t_B$ и $t''_B$.
Во все другие разные моменты времени наблюдатели видят проносящиеся мимо часы
других ИСО.
Подчеркиваю, что показания часов можно сравнить, когда они рядом. Для того, чтобы
сравнить показания далеких часов, нужно посмотреть на часы, которые в данный
момент пролетают мимо наблюдателя, и которые неподвижны относительно далеких часов
и синхронизированы с ними (а синхронизируются только относительно неподвижные часы).

Как видите, это стилизованная задача близнецов, без ускорения. В ней присутствуют
все основные события задачи близнецов - "старт", "разворот", "прибытие".

Я предлагаю поступить так.
Эта задача простая, рассмотреть ее. Для этой задачи найти решение, оно уже есть,
"требуется" только Ваше согласие. Затем перейти к Вашей задаче с ускорением.
Только оранжевый и зеленый графики.
Другие можно не учитывать, слишком специфические.
Но к сожалению я наверно не смогу решить ускоренческую задачу.

Я Вас с большим трудом понимаю, и наверно, Вы меня так же.
Как-то Вы говорите не по СТО-шински.

[Алия87]

OlegML в сообщении #644771 писал(а):

Положение и момент каждого события однозначно определяются в любой СО.

Не в любой. Для неинерциальной СО ускоренного космонавта некоторые события в пространстве-времени вообще недоступны из-за наличия горизонта событий ускоренного наблюдателя.



Лучше всё (и инерциальную часть движения космонавта и его ускоренную часть движения) рассматривать из ИСО. Формулы которые я приводила для $t$ ИСО и $\tau$ ускоренного космонавта именно для такого случая.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #644810 писал(а):

Munin,
я теперь понял, куда клонит OlegML, и чувствую - он прав.
Решить не могу пока, а чувствую, что при ускорениях оранжевый график будет монотонным неразрывным.

При сумбурности его высказываний, он только случайно высказал что-то, что перекликается с правильными фактами. Лучше ускорения обсуждать отдельно, а OlegML - отдельно.

Да, график будет монотонным непрерывным.

oleg_2 в сообщении #644810 писал(а):

Но к сожалению я наверно не смогу решить ускоренческую задачу.

Сможете, там всё просто.

[oleg_2]

Формула $\frac{a}{c}t=\sh \frac{a}{c}\tau$, которую привела Алия87,
годится. Заготовка для нее есть и в Тейлор-Уилер стр. 132
$dt=\ch(\Theta)d\tau$, где
$\Theta=g'\tau$; $g'=\frac{g}{c^2}$, (ускорение), $\tau=ct'$;
$dt, d\tau$ малые приращения времени домоседа и космонавта.



Я построил примерный график, на котором кривая от нуля до $t_1$ -кусок функции
гиперболического синуса $t=\sh(t')$, а остальные части графика - этот же кусок,
повернутый симметрично.
Точка $A$ соответствует моменту, когда космонавт неподвижен.
Этот график похож на зеленый график прежнего инерционного решения.
Не могу догадаться, как должен выглядеть график, соответствующий оранжевому
"инерционному" графику.
Он должен быть в левой половине рисунка выше биссектрисы.
Он должен проходить чарез точку $A$.
Касательная к нему в точке $A$ должна бы быть под 45 градусов. Или не должна?

Алия87 писал(а):

А вообще есть формула связывающая собственное время $\tau$ равноускоренного космонавта с временем ИСО домоседа $t $.
$\tau=\frac{c}{a}\ln \bigg(\sqrt{1+\frac{a^2t^2}{c^2}}+\frac{at}{c}\bigg)$
Можно и так

$\frac{a}{c}t=\sh \frac{a}{c}\tau$

Алия87,
первая формула, похоже, обратна второй (ареасинус). Нужна другая, соответствующая
условию (про оранжевый график рис. 16 post643374.html#p643374):

Munin post642122.html#p642122 писал(а):

Для его правильного построения, нужно выяснить, какие показания будут на часах
домоседа с точки зрения ИСО $K'$ в момент пересадки космонавта, и какие показания
будут на часах домоседа с точки зрения ИСО $K''$ в момент пересадки космонавта.

Это для инерционного случая. А для ускорения нужно, наверно, сопоставлять часы
домоседа с часами каждой МСИСО. Есть ли такая формула?
И по другим вопросам подскажите, пожалуйста.

[OlegML]

oleg_2 в сообщении #644810 писал(а):

Эта задача простая, рассмотреть ее. Для этой задачи найти решение, оно уже есть,
"требуется" только Ваше согласие. Затем перейти к Вашей задаче с ускорением.
Только оранжевый и зеленый графики.

Если не ошибаюсь Вы уже разобрали эту задачу в начале темы. Или я что то не понял? Она вроде легко решается в СО Земли, но не очевидно с обратной стороны, так как несколько СО.

-- 16.11.2012, 15:02 --

oleg_2 в сообщении #645244 писал(а):

А для ускорения нужно, наверно, сопоставлять часы
домоседа с часами каждой МСИСО. Есть ли такая формула?

Как я понял ускоренный наблюдатель находится в искривленном пространстве. Для того что бы связать моменты события в разных СО опять же приравниваются интервалы, но интервал в ускоренной СО строится с метрикой, отличной от ИСО. Проделав это должны получить в одномерном случае
$t^2=t'^2(G_{00}+2G_{01}V+G_{11}V^2)$
G - метрика, матрица коэффициентов, характеризующих кривизну пространства. В нашем случае эти коэффициенты вроде бы должны зависеть только от ускорения.
У меня сложилось впечатление что нет общепринятого мнения как работать в ускоренной СО, в литературе этот вопрос обходится, а то что мне попадалось выглядит противоречиво.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #645244 писал(а):

Касательная к нему в точке $A$ должна бы быть под 45 градусов. Или не должна?

Нет, не должна.

oleg_2 в сообщении #645244 писал(а):

А для ускорения нужно, наверно, сопоставлять часы домоседа с часами каждой МСИСО. Есть ли такая формула?

Есть. Но её лучше вывести самому. :-)

OlegML в сообщении #645282 писал(а):

Как я понял ускоренный наблюдатель находится в искривленном пространстве.

Нет. Он находится в плоском (= не искривлённом) пространстве, но в криволинейной системе координат. Это разные вещи, их лучше не путать.

OlegML в сообщении #645282 писал(а):

Для того что бы связать моменты события в разных СО опять же приравниваются интервалы, но интервал в ускоренной СО строится с метрикой, отличной от ИСО.

Координатный вид этой метрики отличается, но сама по себе эта метрика (можно сказать, "физически") та же самая.

OlegML в сообщении #645282 писал(а):

Проделав это должны получить в одномерном случае
$t^2=t'^2(G_{00}+2G_{01}V+G_{11}V^2)$

Нет, не это, а формулы с $dt$ и $dt'.$ Кстати, метрический тензор принято обозначать малой буквой $g_{\mu\nu},$ а с большой - вас никто не поймёт (иногда большой буквой $G$ обозначают тензор Эйнштейна).

OlegML в сообщении #645282 писал(а):

У меня сложилось впечатление что нет общепринятого мнения как работать в ускоренной СО, в литературе этот вопрос обходится, а то что мне попадалось выглядит противоречиво.

Всё это подробно описано в литературе по ОТО, но ОТО гораздо более сложная теория, чем СТО, на её освоение у вас уйдёт больше времени и сил. Рекомендуемые учебники по ОТО:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация (в 3 тт.).
Ландау, Лифшиц. Теория поля (Теоретическая физика т. 2).
Вайнберг. Гравитация и космология (в русскоязычном издании автор назван "Вейнберг").
возможно, можно к этому списку добавить
Пенроуз. Путь к реальности.

[oleg_2]

OlegML писал(а):

Если не ошибаюсь Вы уже разобрали эту задачу в начале темы. Или я что то не понял?
Она вроде легко решается в СО Земли, но не очевидно с обратной стороны, так как несколько СО.

Да, Вы правы. Вина моя, я не сразу понял, о чем идет речь, и уровень дискуссии.
Смущает только, что для Вас не очевидно то, что для меня очевидно, хотя я
намного хуже Вас подготовлен. Но будем считать эту задачу пройденным этапом.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #645427 писал(а):

Смущает только, что для Вас не очевидно то, что для меня очевидно, хотя я намного хуже Вас подготовлен.

По-моему, вы подготовлены лучше, и движетесь быстрее.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Надо будет как-нибудь написать трактат "Феномен бесконечного измерения длин трех отрезков в обсуждениях задачи о релятивистских близнецах"

[GAAD]

Алия87 в сообщении #644850 писал(а):

OlegML в сообщении #644771 писал(а):

Положение и момент каждого события однозначно определяются в любой СО.

Не в любой. Для неинерциальной СО ускоренного космонавта некоторые события в пространстве-времени вообще недоступны из-за наличия горизонта событий ускоренного наблюдателя.

Скажите пожалуйста, будьте так любезны, а для инерциальной системы уже ускорившегося космонавта горизонта событий (в вашем понимании) разве не существует?

Пожалуй наберусь смелости уточнить, что то, что Вы приняли за горизонт событий, на самом деле является световым конусом в так сказать разрезе - т.е. мировая линия света является его образующей. Естественно, внутри этого конуса все события являются времениподобными, в отличии от остального пространства. Попасть внутрь конуса можно только в одном случае - двигаясь быстрее света. А т.к. утверждается что это невозможно - то ВСЕ события в нашей Вселенной пространственноподобны и доступны для любого наблюдателя, с какой бы скоростью и ускорением он ни двигался. Отличите лишь в близости к асимптоте, которой является мировая света. Надеюсь, предельно ясно изложил.

[epros]

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

внутри этого конуса все события являются времениподобными

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

Попасть внутрь конуса можно только в одном случае - двигаясь быстрее света

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

то ВСЕ события в нашей Вселенной пространственноподобны

Какой набор восхитительно бессмысленных словосочетаний!

[rustot]

oleg_2 в сообщении #644522 писал(а):

При переходе в обратную ракету, космонавт узнает с помощью своих помошников,
но только не сразу, а потом, когда придет сообщение, что часы домоседа вдруг
мгновенно увеличили показание.

нет, он узнает об этом мгновенно. вот он за мгновение до перехода принял сообщение "на моих часах 12:00", пересчитал с учетом скорости света относительно себя что шло это сообщение 5 часов и на часах домоседа "сейчас" должно быть 17:00. но после перехода он, снова измерив скорость света относительно себя, обнаруживает что это самое сообщение шло 10 часов и на часах домоседа "сейчас" должно быть 22:00. мнение о том какое время "сейчас" у домоседа у встречных ракет изначально разное. а вот мнение о том что часы домоседа идут медленнее своих - одинаковое.

по мне, так скурпулезный расчет процесса ускорения тренирует математические навыки, но ничего нового к _пониманию_ эффекта близнецов не добавляет. мгновенная передача эстафеты с 2 встречными ракетами куда понятнее.

[Алия87]

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

внутри этого конуса все события являются времениподобными,

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

внутри этого конуса все события являются времениподобными, в отличии от остального пространства

GAAD в сообщении #648399 писал(а):

Попасть внутрь конуса можно только в одном случае - двигаясь быстрее света.

[oleg_2]

rustot писал(а):

нет, он узнает об этом мгновенно

Спорить не буду. Можно и так и так подвести.

rustot писал(а):

мгновенная передача эстафеты с 2 встречными ракетами куда понятнее.

Автор темы OlegML всёже ставит вопрос именно с ускорением.
Я пытался вывести формулу, бесполезно. Пытался подобно тому, как это делают
Тейлор-Уилер, через малые приращения. Для простоты теперь перешел на
нерелятивистский пример, через МСИСО, для практики. Тоже не получается.
Наверно придется писать в "помогите решить/разобраться".

Munin писал(а):

Нет, не должна.

(о наклоне касательной в точке $A$ под 45 градусов)
Вот этого не могу понять. Снова приведу этот график, но теперь предположим,
что в момент, когда космонавт оказался в точке $A$ и увидел, что он
неподвижен относительно ИСО домоседа, он выключил двигатель. При этом
последняя МСИСО, стала просто ИСО, неподвижной относительно домоседа.
Откуда бы тут взяться излому графика? И вообще вблизи точки разворота
космонавт движется практически нерелятивистски.
Замечу, на рисунке нет инерционного участка, весь полет с ускорением.

[Munin]

rustot в сообщении #648530 писал(а):

по мне, так скурпулезный расчет процесса ускорения тренирует математические навыки, но ничего нового к _пониманию_ эффекта близнецов не добавляет. мгновенная передача эстафеты с 2 встречными ракетами куда понятнее.

Зато в результате человек сможет легко и быстро понимать и другие эффекты, в том числе более сложные, типа затронутых Алией87. "Близнецы" - одна из самых элементарных задач СТО, не вечно же на ней топтаться.