Фихетнгольц - Непоследовательность в доказательстве?

[lst1999]

Непоследовательность в доказательстве свойств деления рациональных чисел у Фихетнгольца?

Здравствуйте, извините, если отвлекаю по такой мелочи. В пункте 4 первого тома «Курса…» (с. 14, 1969) вводится деление рациональных чисел и доказывается сперва существование и единственность частного, а затем обратного числа. Такое доказательство представляется непоследовательным, поскольку при доказательстве единственности частного, как кажется, неявно используется единственность обратного, которая еще не доказана. Ничего не мешает пока считать, что число $b$ имеет два обратных, так что $c\cdot b=a$ имеет два решения: соответственно, упоминаемое в доказательстве $c’$ можно умножать на «первое» обратное $\frac1b$ и «второе» обратное $\left(\frac1b\right)’$, получая «два» ответа. Доказательство, данное, например, у Кудрявцева представляется мне действительно последовательным и, таким образом, правильным, поскольку сперва говорится об единственности обратного, и только потом: частного.

Вопрос заключается в следующем: справедливо ли вышенаписанное (и соответственно факт непоследовательности) или все дело в моем непонимании?

При необходимости могу выложить сканы данного пункта, хотя книгу легко найти в сети.

[TOTAL]

lst1999 в сообщении #645019 писал(а):

Ничего не мешает пока считать, что число $b$ имеет два обратных, так что $c\cdot b=a$ имеет два решения:

Что мы решаем?

[lst1999]

Здравствуйте, сообщение основывалось на доказательстве, приведенном у Фихтенгольца и будет понятно при ознакомлении с ним. Выложил бы его сюда сканом, однако, неясно отношение к использованию на форуме иллюстраций для таких случаев. Постараюсь перепечатать основу:

Фихтенгольц, т. 1, п. 4, с. 15 (1969) писал(а):

Назовем частным чисел $a$ и $b$ … такое число $c$, что

$$ c\cdot b=a. $$

Этому определению можно удовлетворить, положив $c=a\cdot\frac1b$, так как

$$ c\cdot b = \ldots = a. $$

Обратно, если число $c’$ удовлетворяет определению частного чисел $a$ и $b$, так что $c’\cdot b=a$, то умножив обе части этого равенства на $\frac 1b$ …:

$$ (c’\cdot b)\cdot \frac1b = \ldots =c’, $$

получим, что $c’=a\cdot\frac1b=c$.
Таким образом, доказаны существование и однозначность частного чисел $a$ и $b$... Затем, отсюда, как и выше, вытекает единственность обратного числа (как частного $1$ и $a$)…

Как мне кажется, таким образом доказывается лишь существование и единственность частного в форме представления $a\times(\text{обратное число к }b)$, однако, поскольку еще ничего не говорилось об единственности самого обратного числа к $b$, то не доказывается и единственность частного как такового.

[TOTAL]

Цитата:

Этому определению можно удовлетворить, положив $c=a\cdot\frac1b$

Что такое $\frac1b$?

[lst1999]

Существование обратного числа просто постулируется в том же пункте 4:

Фихтенгольц, т. 1, п. 4, с. 14 (1969) писал(а):

III $4^\circ$ для каждого числа $a$, отличного от $0$, существует число $\frac1a$ (обратное ему), такое, что $a\cdot \frac1a=1$.

[TOTAL]

Открыл Фихтенгольца, прочитал.

Пусть $\frac{1}{b}$ - обратное к $b$ (одно из многих).
Тогда $a \cdot \frac{1}{b}$ - частное.
С другой стороны, частным может быть только $a \cdot \frac{1}{b}$.
Существование и единственность частного доказана.

Если бы использовалось другое обратное, то $a \cdot \frac{1}{b'}$ и только оно является частным.

Если про $a \cdot \frac{1}{b}$ и $a \cdot \frac{1}{b'}$ известно, что "оно и только оно" является частным, то они не могут не совпадать.

[lst1999]

Мне всё-таки непонятно как, допуская существование нескольких обратных к $b$, можно далее делать вывод, что $a\cdot\frac1b$ будет "одно и только одно"? Иными словами, для каждого конкретного обратного к $b$ данный способ будет говорить, что частное единственно именно для данного конкретного обратного к $b$, т.е. $a\cdot\frac1b$ «оно и только оно» для $\frac1b$, а $a\cdot(\frac1b)’$ «оно и только оно» для $(\frac1b)’$. Повторюсь, но

Цитата:

Как мне кажется, таким образом доказывается лишь существование и единственность частного в форме представления $a\times(\text{обратное число к }b)$

[TOTAL]

lst1999 в сообщении #645054 писал(а):

Иными словами, для каждого конкретного обратного к $b$ данный способ будет говорить, что частное единственно именно для данного конкретного обратного к $b$.

С помощью конкретного обратного доказывается существование и единственность частного. Этому единственному частному безразлично, как и с помощью чего доказывали его существование и единственность.

[lst1999]

Но ведь само определение $c=a\cdot \frac1b$, как только мы допускаем существование нескольких обратных чисел, уже само по себе говорит об отсутствии единственности частного. Оно у нас получается не-единственным по определению, и все дальнейшие манипуляции просто доказывают единственность для конкретного выбора обратного числа.

[TOTAL]

lst1999 в сообщении #645062 писал(а):

Оно у нас получается не-единственным по определению, и все дальнейшие манипуляции просто доказывают единственность для конкретного выбора обратного числа.

Частное единственно не для конкретного выбора обратного. Частное просто единственно, что доказывается с помощью произвольного обратного.

Поставьте в ряд десять человек и докажите (с помощью конкретного обратного), что у второго человека справа и только у него в кармане лежит яблоко. Если теперь любым другим способом доказать, что ровно у одного человека в кармане лежит яблоко, то этим человеком не может не быть опять тот же второй справа.

[lst1999]

Уважаемый TOTAL, для меня комичность ситуации в том, что я прекрасно знаю, что и частное единственно и обратное единственно, благодаря доказательству из Кудрявцева. Однако почему-то доказательство Фихтенгольца не делает это для меня ясным, даже с Вашими комментариями. Исходя из сравнения в Вашем последнем сообщении, у меня действительно получается доказать, что у кого-то одного из десяти яблоко, но никак не получается найти у кого именно – до тех пор, пока я ни прибегну к доводам, что обратное – единственно, и из этого следует единственность частного, а не наоборот.

Пусть имеется два обратных к $b$: $\frac1b$ и $\left(\frac1b\right)’$. Тогда получаем, что $c_1=a\frac1b$ и $c_2=a\left(\frac1b\right)’$ - два частных, удовлетворяющих $c\cdot b=a$. Предполагая $c’\cdot b=a$, и последовательно домножая на оба обратных, мы опять воспроизводим этот результат, и я никак не вижу в этом противоречия. Повторяя все выкладки по-отдельности, я прихожу к выводу о том, что единственно $c_1$ и единственно $c_2$ (нельзя умножить на одно число двумя разными способами), однако это всего лишь означает, что есть два числа и оба они единственны сами по себе, а не то, что эти два числа равны. В итоге кажется единственной лишь форма представления частного как $a\times(\text{обратное число к }b)$, однако общее число частных получается равным общему числу обратных.

Если я Вам еще не надоел, пожалуйста прочитайте еще раз эти доводы и укажите противоречие в приведенных рассуждениях; в противном же случае – большое спасибо за потраченное время, и возможно к теме позднее присоединятся другие участники, если найдут обсуждение достойным.

[AV_77]

В чем проблема? Если взять $c = a \frac{1}{b}$, то $cb = a$, то есть $c$ является частным. С другой стороны, если $c'b = a$, то умножая на $\frac{1}{b}$ обе части равенства получим

$$ c' = (c'b)\frac{1}{b} = a \frac{1}{b} = c. $$

Значит частное единственно.

[lst1999]

Прочитайте, пожалуйста, первое сообщение. Проблема в том, что таким ходом доказательства не предусматривается единственность обратного к $b$, таким образом, если в Вашем доказательстве заменить $\frac1b$ на $(\frac1b)’$, то все выводы останутся верными, однако мы будем иметь уже два частных.

Естественно, единственность обратного легко доказать независимым путем (как у Кудрявцева), однако изначальный вопрос заключался в том, является ли именно приведенное у Фихтенгольца доказательство непоследовательным в данном плане.

[AV_77]

Да без разницы, сколько у $b$ обратных. Еще раз. Сначала мы показываем, что $a \frac{1}{b}$ - решение уравнения $xb = a$. Пусть теперь $c'$ - любое другое решение этого уравнения, то есть выполняется равенство $c'b = a$. Умножим это равенство на $\frac{1}{b}$. Тогда получим $$c' = (c' \cdot 1) = c' \left(b \frac{1}{b} \right) = (c'b) \frac{1}{b} = a \frac{1}{b}$. Значит если $c'$ - любое решение уравнения $xb = a$, то необходимо $c' = a \frac{1}{b}$, то есть решение единственно.

[lst1999]

Действительно, этот этап абсолютно верен, мы доказали, что решение имеет единственную возможную форму $c=a\cdot\frac1b$. Однако, пока мы еще не знаем, что само обратное число единственное, т.е. частных в доказанной нами форме может быть сколько угодно: $c_1=a\cdot\frac1b $, $c_2=a\cdot\left(\frac1b\right)’$, … Проблема решается простым доказательством единственности обратного, однако Фихтенгольц доказывает это единство не отдельно, как Кудрявцев, а опираясь на единство частного, которое при таком пути доказательства, без единства обратного, вовсе еще и не едино.

Уважаемый TOTAL пытался мне объяснить, что из доказанной единственности $c_1$, $c_2$ следует, что $c_1=c_2$, однако вот этот переход до меня пока никак не доходит.