Фихетнгольц - Непоследовательность в доказательстве?

[AV_77]

Ну еще раз повторю, нам не важно сколько у $b$ обратных, главное, что они существуют.

Есть уравнение $xb = a$. Пусть $b^{-1}$ - произвольный обратный для $b$ (если обратных несколько, то выберем любой, какой нам больше понравится и зафиксируем его). Тогда $ab^{-1}$ - решение этого уравнения. Если теперь $c$ - любое другое решение этого уравнения, то показываем, что

$$c = (c \cdot 1) = c (b b^{-1}) = (cb) b^{-1} = ab^{-1}.$$

С этим этапом все понятно? Возражения к доказательству из одной строчки есть? Если нет, то мы показали, что любое решение уравнения $xb = a$ обязательно имеет вид $ab^{-1}$. Обратные для $b$ тут совершенно не при чем и никакой проблемы здесь нет.

Если, теперь $d$ - любой другой обратный для $b$, то $ad$ также является решением уравнения $xb = a$ и, как доказано ранее, выполняется равенство $ad = ab^{-1}$. Что тут не ясно?

Кстати, доказательство единственность обратного, подозреваю, что оно имеет вид
$d = d \cdot 1 = d(b b^{-1}) = (db)b^{-1} = b^{-1}$
основано на той же самой идее, только вместо $a$ используется 1. То есть здесь доказывается, что если $b^{-1}$ решение уравнения $xb = 1$, то оно единственно. Если оно вас устраивает, то чем, по вашему, оно отличается от случая, когда $a \neq 1$?

[lst1999]

Большое спасибо за правильную аналогию. Доказательство единственности у Кудрявцева такое: если $b\cdot\frac1b=1$ и $b\cdot(\frac1b)’=1$, то $ b\cdot\frac1b\cdot(\frac1b)’=(\frac1b)’$ и $\frac1b=(\frac1b)'$, то есть фактически совпадает с тем, что привели Вы, но немного «с другого угла». Действительно, сразу обобщается на случай $c_{1,2}\cdot b=a$ и все сомнения сразу отпадают.

Еще раз спасибо всем участникам ветки!