Движение ракеты в режиме перелета между двумя планетами

[ARD_ElEcTrO]

Здравствуйте, ребята. Очень нуждаюсь в помощи для решения задачи по теоретической механике.

Условие звучит следующим образом:

Исследовать движение ракеты в режиме свободного перелета между двумя планетами с компланарными кеплеровскими орбитами. Найти начальную скорость ракеты. Определить условия минимальной длительности полета. Отладочная задача: перелет между двумя круговыми траекториями.

Я обсудил задание с преподавателем и получил некоторые наводки:

Пусть первая планета - Земля. Вторая - Марс.
Они лежат в одной плоскости и осуществляют движение по эллипсу.
Ракете придаётся некоторая начальная скорость и она тоже движется по эллипсу.
К слову, для упрощения задачи мне позволено считать, что планеты движутся по окружности.
Преподаватель мне указал, что задачу можно решать в полярных координатах, однако, это будет сложновато.

А можно записать уравнения движения и попробовать поработать с ними. То есть, необходимо записать уравнение движения Марса по эллипсу, Земли по эллипсу и, собственно, самой ракеты. Я в этом моменте, честно говоря, не совсем разобрался.

Знающие ребята, прошу помочь разобраться и, для начала, хотя бы записать эти уравнения.

[Pphantom]

Честно говоря, я не очень понимаю, что значит "исследовать" в условии. Если дальше идет расшифровка, то никакие уравнения движения Вам не нужны. Посмотрите в любом поисковике, что такое "эллипс Гомана" и "интеграл энергии в задаче двух тел".

(Оффтоп)

Подробнее, извините, не пишу - это и так практически готовый ответ.

[ARD_ElEcTrO]

Pphantom

Нет, что вы. И за это спасибо. Я сразу же побрёл искать информацию по эллипсу Гомана.

Попробовал разобраться.

Итак, эллипс Гомана – это траектория перелёта с минимальной характеристической скоростью между двумя планетами, имеющими компланарные круговые орбиты и движущимися в поле тяготения центрального тела массой М (Солнца).

Большая полуось a гомановского эллипса при запуске с Земли определяется формулой:
$a=(r_{Earth}+r_{planet})/2$
Где $r_{Earth}$-радиус орбиты Земли,а $r_{planet}$-радиус орбиты планеты назначения.
Скорость $V_1$, которая необходима космическому аппарату на выходе из сферы действия Земли для перехода на гомановский эллипс, равна:
$V_1$=$V_{KA}$-$V_{Earth}$
Где $V_{KA}$ и $V_{Earth}$- скорости относительно Солнца в точке касания орбит КА и Земли.
Из решения уравнений задачи гравитационного взаимодействия двух тел Ньютон нашел соотношение для вычисления скорости движения $V_{KA}$ тела массой $m$ в поле тяготения тела массой $M$ в любой точке эллиптической орбиты:
$(V_{KA})^2=G(M_{Sun}+m_{KA})(2/r-1/a)$, где $M_{Sun}$-масса тела, создающего поле тяготения, $m_{KA}$-масса космического аппарата, $r$-радиус-вектор, $a$-большая полуось эллипса.
Так как масса космического аппарата очень мала по сравнению с массой Солнца, ею можно пренебречь.
Для полёта по гомановскому эллипсу с Земли к Марсу требуется скорость $V_{KA}$ относительно Солнца, вычисляемая по формуле:
$(V_{KA})^2=GM_{Sun} (2/r_{KA} -1/a_{KA} )$
Где r=1 а.е.,так как запуск производится с Земли,
$a_{KA}=(r_{aphelion}+r_{perihelion})/2=(r_{Earth}+r_{Mars})/2$
Для упрощения вычисления , будем определять скорость
$(V_{KA})^2/(V_{Earth})^2 =(GM_{Sun} (2/r_{KA} -1/a_{KA} ))/(GM_{Sun} (2/r_{Earth} -1/a_{Earth} ) )$
Значит,
$(V_{KA})^2$=$(V_{Earth})^2$*$(GM_{Sun} (2/r_{KA} -1/a_{KA} ))/(GM_{Sun} (2/r_{Earth} -1/a_{Earth} ) )$
при том, что формула для вычисления $a_{KA}$ у нас уже имеется формула, а $ r_{Earth}=a_{Earth}$=1 а.е. и $r_{KA}$=1 а.е.
Выходит, что для полёта к Марсу космический аппарат на выходе из сферы действия Земли должен иметь скорость, которая вычисляется по формуле $V_{KA}$.

Это, как я полагаю, и будет начальной скоростью, которую необходимо вычислить в моей задаче?

[Pphantom]

Совершенно верно. Осталось найти время перелета, что тоже элементарно - у Вас есть большая полуось гомановского эллипса и III закон Кеплера.

Можно добавить, пожалуй, что интеграл энергии (то самое соотношение, которое получил Ньютон) годится для произвольной эллиптической орбиты, поэтому совершенно аналогичным образом можно получить время перелета и стартовую скорость в ситуации, когда орбиты планет некруговые. Достаточно очевидно, что экстремумы искомых параметров будут достигаться в ситуации, когда старт и финиш совпадают с перигелиями или афелиями орбит планет (а вот с чем конкретно у каждой планеты - ищите сами ), поэтому уже полученный результат легко обобщается.

Правда, для этого еще и орбиты планет должны быть ориентированы друг относительно друга определенным образом, но учет этого обстоятельства явно выходит за рамки задачи по теоретической механике, поэтому, думаю, можно считать, что Вам повезло и ориентация в нужный момент оказалась той, что требуется.

[ARD_ElEcTrO]

Pphantom

Огромное Вам спасибо за разъяснения. Но, как оказалось, решения с помощью Гомановских эллипсов оказалось недостаточно для меня. Дело в том, что мой преподаватель отрицает тот факт, что мне могло повезти и планеты оказались в нужном положении в нужное время, т.е. решение в корне изменится.
Я получил следующее наставление:

Есть траектория движения Земли по её орбите. Мы всегда можем выбрать момент, когда земля будет в какой-то определенной точке и запустить оттуда ракету. При этом, ракета вылетает со своей скоростью, относительно Земли. Вектор этой скорости направлен под каким-то углом $a$. + Есть скорость самой Земли. По правилу параллелограмма получаем итоговую скорость.

При этом, где-то там есть Марс, который движется по своей траектории. Для упрощения задачи, мне всё так же позволено считать, что планеты движутся по окружности. Так вот, распоряжаясь этим углом $a$, под которым направлена скорость ракеты по отношению к Земле (та скорость, которая создаётся двигателями) - необходимо найти такой угол, чтобы встреча произошла. Начальная скорость ракеты по отношению к Земле - задана.

Если встреча не происходит - мы увеличиваем скорость ракеты до тех пор, пока эта самая встреча не произойдёт.

То есть, необходимо по моменту старта ракеты, моменту импульса и энергии построить траекторию её движения по эллипсу. А после того , как мы построим эллипс - найти его точку пересечения с траекторией движения Марса.


Буду очень благодарен за дальнейшую помощь в решении. Пока стараюсь разобраться с этим всем, но продвигаюсь медленно.

[Pphantom]

ARD_ElEcTrO в сообщении #645755 писал(а):

Есть траектория движения Земли по её орбите. Мы всегда можем выбрать момент, когда земля будет в какой-то определенной точке и запустить оттуда ракету. При этом, ракета вылетает со своей скоростью, относительно Земли. Вектор этой скорости направлен под каким-то углом $a$. + Есть скорость самой Земли. По правилу параллелограмма получаем итоговую скорость.

При этом, где-то там есть Марс, который движется по своей траектории. Для упрощения задачи, мне всё так же позволено считать, что планеты движутся по окружности. Так вот, распоряжаясь этим углом $a$, под которым направлена скорость ракеты по отношению к Земле (та скорость, которая создаётся двигателями) - необходимо найти такой угол, чтобы встреча произошла. Начальная скорость ракеты по отношению к Земле - задана.

Если встреча не происходит - мы увеличиваем скорость ракеты до тех пор, пока эта самая встреча не произойдёт.

Оригинальный у Вас преподаватель. Помимо того, что это совершенно другая задача, она еще и нереалистична.

Тогда нужны какие-то данные, описывающие движение Земли и Марса. Дальше записываются два закона сохранения (энергии и момента импульса) для ракеты, причем это действительно удобнее делать в полярных координатах. Из условия попадания ракеты в Марс получаются уравнения, из которых можно определить угол.

Кстати, минимизировать все-таки надо стартовую скорость по отношению к Земле или время перелета? Если второе, то задача становится тривиальной, но уж совсем странной.

[ARD_ElEcTrO]

Pphantom писал(а):

Оригинальный у Вас преподаватель.

Pphantom писал(а):

Кстати, минимизировать все-таки надо стартовую скорость по отношению к Земле или время перелета? Если второе, то задача становится тривиальной, но уж совсем странной.

В условии задачи требуется определить условия минимальной длительности полёта, однако, на консультации, как я понял - минимальную начальную скорость, когда встреча только-только происходит.

[Pphantom]

ARD_ElEcTrO в сообщении #645784 писал(а):

В условии задачи требуется определить условия минимальной длительности полёта,

Вот-вот. При этом можно сделать скорость сколь угодно большой и просто лететь по прямой.

ARD_ElEcTrO в сообщении #645784 писал(а):

однако, на консультации, как я понял - минимальную начальную скорость, когда встреча только-только происходит.

А вот такая задача уже становится осмысленной. В общем, преподаватель действительно оригинальный.

[ARD_ElEcTrO]

Достаточно далеко продвинулся в решении задачи, однако, на начальном этапе нашёл ошибку в нахождении момента импульса ракеты. Я вычислил его неверно, да ещё и получил результат с неправильной размерностью. Прилагаю файл со своими вычислениями. Ребята, прошу пояснить, как правильно вычислить в моём случае момент импульса ракеты? Заранее спасибо.

URL с работой:
http://rghost.ru/44878331

[Утундрий]

ARD_ElEcTrO
Смотрите Ричард Бэттин "Наведение в космосе", 1966
Ну и в мою заглохшую по причине наличия в природе сей книги тему тоже заглянуть посоветую: post542944.html#p542944

[ARD_ElEcTrO]

Утундрий
Спасибо за отклик и наводку. Я просмотрел тему и полистал книгу, но, к сожалению, не смог найти сведения, которые подсобили бы мне в решении. Не понимаю, как именно найти момент импульса ракеты, которая движется по эллипсу и запущена с Земли под некоторым углом $\varphi$. В моменте ведь необходимо его как-то задействовать..

[Утундрий]

ARD_ElEcTrO в сообщении #703204 писал(а):

полистал книгу, но, к сожалению, не смог найти сведения, которые подсобили бы мне в решении

А читать не пробовали? Попробуйте, интересная книга.

[Oleg Zubelevich]

ракета движется в гравитациорнном поле солнца и двух планет по крайней мере. Эллипсы какие-то...

[ARD_ElEcTrO]

Утундрий

Времени у меня до сдачи не так много, оттого я и призвал к помощи знающих людей, чтобы "ткнули носом", т.к. все дальнейшие вычисления мне необходимо подправить в связи с неправильно определённым моментом импульса до этого. Да и книга не из тех, которую можно с лёгкостью изучить за несколько дней.

[Утундрий]

ARD_ElEcTrO в сообщении #703928 писал(а):

Времени у меня до сдачи не так много...

А, хорошо. Сразу как провалитесь, возвращайтесь в эту тему и продолжим обсуждать задачу.