Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c

[dalmat]

Сам ошибся, сам исправляю
Для числа $c=rst$ - $6$ решений, для числа $c=(rst)^2$ - $9$ решений, для числа $c=defrst$ - $62$ решения.

[dalmat]

Дополнение
Пока никто никак не отреагировал на мое сообщение, позволю себе дать дополнительные разъяснения:
1. В приведенных мною примерах подразумевается, что $c$ - нечетное число.
2. Количество решений для нечетных чисел, состоящих из простых сомножителей каждый в первой степени, определяется как сумма количества сочетений, определяемых по известной формуле для числа $c$, состоящего из $k$ простых сомножителей, по $1,2,3...k-1$.
3. Количество решений для четных чисел и чисел вида $c=(def...)^m$ может быть определено только методом перебора всех возможных не повторяющихся сочетаний. Хотя, возможно, я ошибаюсь.

[scwec]

Возвращаясь к уравнению $x^2-y^2=z^4$. Докажите, что если $x,y,z$ - решение этого уравнения в натуральных числах, то $x$ - конгруэнтное число, т.е. существует прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон, площадь которого равна $x$.
Вычислите длины сторон этого треугольника через $x,y,z$. (На самом деле таких треугольников бесконечно много).

[Shadow]

Решением будет треугольник с сторонами:
$\\a=\dfrac y z =\dfrac{y^2}{yz}=\dfrac{x^2-z^4}{yz}\\ b=\dfrac{2xz}{y}=\dfrac{2xz^2}{yz}\\ \\ c=\dfrac{x^2+z^4}{yz}$
Последнее равенство в первой формуле по условие. В числителях видна параметризация пифаговоровых троек.

$\dfrac{ab}{2}=x$

[scwec]

Shadow дал точный ответ. Пойдем дальше.
Рациональных прямоугольных треугольников с площадью $x$ бесконечно много. Найдите какое-нибудь правило, по которому из треугольника Shadow можно получить следующий прямоугольный треугольник с площадью $x$ и напишите выражения для длин его сторон. (Пользуясь этим правилом можно выписать бесконечно много искомых треугольников).

[nnosipov]

scwec в сообщении #636080 писал(а):

Найдите какое-нибудь правило, по которому из треугольника Shadow можно получить следующий прямоугольный треугольник с площадью $x$ и напишите выражения для длин его сторон. (Пользуясь этим правилом можно выписать бесконечно много искомых треугольников).

Ну, это все умеют. Хотя, чтобы доказать, что это правило даёт бесконечно много различных треугольников, нужно немножко потрудиться. Кажется, я уже об этом где-то здесь писал.

[scwec]

Ну, если все умеют, то и написать формулы для длин сторон следующего треугольника будет совсем просто.
Остается их только написать. А потом двигаться дальше.

[scwec]

Длины сторон следующего рационального прямоугольного треугольника с площадью $x$:

$$ A=\frac{4xyz(x^2+z^4)}{|y^4-4x^4+4x^2y^2|},B=\frac{|y^4-4x^4+4x^2y^2|}{2yz(x^2+z^4)},C=\frac{(x^2+z^4)^4+16x^2y^4z^4}{2yz(x^2+z^4)|y^4-4x^4+4x^2y^2|}$$

Правила для получения формул были написаны мной в теме "Одномерная динамика" http://dxdy.ru/topic51460-15.html
Вообще уравнение $x^2-y^2=z^4$ при четном фиксированном $y$ играет заметную роль при вычислении количества точек на эллиптических кривых над конечными полями. См. задачу http://dxdy.ru/topic64023.html

[dmd]

А что можно сказать о решении в целых следующего уравнения?

$a^3+b^3+c^3+d^3=n$

где $n$ задано и $a,b,c,d $ неизвестны.

Дело в том, что до такого уравнения можно построить искуственную связь от исходного уравнения этой темы $x^2-y^2=N$.

[scwec]

dmd, полезные сведения можно найти http://dxdy.ru/topic26614.html

[vasili]

Уважаемый Александр! У вас опечатка вместо $ a^2 = (mn + 1)^2, b^ 2 = (m + n)^2$ пишете a и b в первой степени. Проверьте $ a - b =(mn + 1)^2 - (m + n)^2=c $.

[Побережный Александр]

Конечно же я ошибся!
Vasili, спасибо за подсказку.
Должно быть $a=mn+1$ и $b=m+n$.
Уважаемые модераторы, могу ли я исправить ошибку в своем самом первом сообщении?