Задача Ферматистам.

[Mathusic]

Навеяло утв. Виктора, что простое представляется в виде суммы двух.
Можно ли нуль представить как сумму трёх целых кубов? И вообще $n$-х степеней?

[venco]

Естественно, можно: $0 = 0^3+(-1)^3+1^3$

[Mathusic]

venco в сообщении #259958 писал(а):

Естественно, можно: $0 = 0^3+(-1)^3+1^3$

Вы Ферматик? Добавим условие нонзировости.

[Nilenbert]

Mathusic в сообщении #259998 писал(а):

Вы Ферматик? Добавим условие нонзировости.

Тогда нельзя. Если бы существовали такие ненулевые $x,y,z$, что $x^n+y^n+z^n=0$, то
1) При чётном $n$ это вообще невозможно, так как тогда $x^n+y^n+z^n\ge 1+1+1=3$
2) При нечётном $n$:$x^n+y^n+z^n=0\to x^n+y^n=(-z)^n$, а это равенство невозможно по теореме Ферма.

[Батороев]

Mathusic в сообщении #259957 писал(а):

Навеяло утв. Виктора, что простое представляется в виде суммы двух.

Из какого обсуждения это утверждение? Не нашел.
Утверждалось бы, что любое простое (>3) представляется ввиде полусуммы двух простых, было бы похоже на правду!

[age]

Mathusic
Просмотрел вашу тему, добавлю другое условие:
Всякое ли натуральное число представимо суммой трех кубов целых чисел?
$a^3+b^3+c^3=k$
Оказывается нет. Числа $4$, $7$, $5$, $31$, кажется, не представимы суммой трех кубов.
Однако:
$11=258^3-212^3-197^3=619^3+297^3-641^3$.
$4^2=1626^3-1609^3-511^3$
$5^2=1167^3-1159^3-319^3$
$31^2=11^3-7^3-3^3$

Алгоритм представления натуральных чисел суммой трех кубов мне неизвестен, как и количества таких представлений.

[maxal]

age в сообщении #260340 писал(а):

Всякое ли натуральное число представимо суммой трех кубов целых чисел?

Для представления "всякого натурального числа" необходимо как минимум 9 кубов. Причем реально 9 кубов необходимо только для чисел 23 и 239, все остальные можно представить суммой восьми кубов. Ну а 8 кубов свою очередь реально необходимы для чисел 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 и 454, остальные числа можно представить суммой семи кубов.
См. http://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html

[RIP]

maxal
Проблема Варинга --- это другая задача, там рассматриваются кубы целых неотрицательных чисел. Недостаточность 3 кубов легко доказать, рассматривая их по модулю 9. Легко доказать, что любое целое есть сумма пяти целых кубов (если обозначить $x=\frac{n^3-n}6$, то $n=n^3+(-x-1)^3+(-x+1)^3+x^3+x^3$). В книжке Hardy G.H., Wright E.M. — An Introduction to the Theory of Numbers ($\S21.8$) написано, что неизвестно, достаточно ли четырёх кубов для всех целых чисел (скажем, для чисел, кратных трём, достаточно). С другой стороны, книжка старая. Как там обстоят дела сегодня, не знаю.

[shwedka]

По состоянию на сейчас,
см
Nesterenko,Yu.V.
OnWaring’s problem (elementary methods). (Russian. English, Russian summaries)
Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 322 (2005), Trudy po Teorii
Chisel, 149–175, 254; translation in J. Math. Sci. (N. Y.) 137 (2006), no. 2, 4699–4715.
Результат Линника 1943 года о справедливости гипотезы Варинга
для 7 кубов не улучшен.(Кажется, были доказательства до Линника, но его рассуждение элементарно.)

С другой стороны, известно, что асимптотическая плотность множества целых чисел, не представимых в виде суммы 4 кубов, равна нулю.

Сравнительно свежие результаты на эту тему
Brüdern, Jörg; Kawada, Koichi; Wooley, Trevor D. Additive representation in thin sequences. I. Waring's problem for cubes. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 34 (2001), no. 4, 471--501.

Wooley, Trevor D. (1-MI)
Slim exceptional sets for sums of cubes. (English summary)
Canad. J. Math. 54 (2002), no. 2, 417–448.

см. также
Vaughan, R. C.
On Waring’s problem for cubes.
J. Reine Angew. Math. 365 (1986), 122–170.

Судя по литературе, современные алгебро-геометрические методы до этой задачи еще не добрались. Весь прогресс связан с техническим уточнениями в методе тригонометрических сумм Харди Литтлвуда.


С другий стороны, каждое натуральное число есть сумма четырех кубов положительных рациональных чисел, или трех рациональных чисел, если не ограничивать знак. см у Диксона, в Истории Теории чисел, стр. 728.

[tolstopuz]

shwedka в сообщении #260457 писал(а):

С другий стороны, каждое натуральное число есть сумма четырех кубов положительных рациональных чисел, или трех рациональных чисел, если не ограничивать знак.

Кстати да, с рациональными все довольно забавно.

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A111152

$6=(\frac{17}{21})^3 + (\frac{37}{21})^3$

[RIP]

shwedka в сообщении #260457 писал(а):

Результат Линника 1943 года о справедливости гипотезы Варинга
для 7 кубов не улучшен.(Кажется, были доказательства до Линника, но его рассуждение элементарно.)

До Линника было известно только про 8 кубов (если верить этой статье).
Линник дал элементарное решение общей проблемы Варинга (для всех степеней).
Кстати, метод тригсумм придумали не Харди и Литтлвуд, а Виноградов (Харди и Литтлвуд (некоторые ещё Рамануджана до кучи добавляют) использовали степенные ряды и контурный интеграл). Кроме того, не уверен, но вроде бы теорема о 7 кубах доказывается без помощи кругового метода.

[age]

maxal
Вы, возможно, имели в виду суммы кубов натуральных чисел, потому что:
$15=332^3-265^3-262^3=44^3+23^3-46^3$
$303=548^3-532^3-241^3$.
я имел в виду суммы именно целых кубов, не обязательно положительных.

Хотя проблема Варинга довольно интересная задача и тоже по теме.
Поясню, почему я заинтересовался этой задачей.

Недавно, в одной из тем я предположил, что всякое диофантово уравнение, которое имеет бесконечное количество тривиальных решений - имеет и бесконечное количество нетривиальных (или параметризацию). Возможно, я ошибся, т.к. $2^5+2^5=2^6$ и таких решений бесконечное множество, но $x^5+y^5=z^6$ не имеет параметризации. Но то что ошибся - еще не факт.

Позже я предположил, что если гипотеза верна, то всякое диофантово уравнение должно быть ограничено определенным количеством степеней свобод - переменных, и если количество этих степеней свобод выше некоторого (порогового) значения, то любая константа (выступающая как правило ограничителем гипотезы, т.е. делающая невозможным бесконечное количество решений умножением на некоторое $k$) может быть представлена таким количеством переменных бесчисленное число раз. Ну вот оказалось, что это почти проблема Варинга.

RIP
Насчет пяти кубов интересно. Проверил. Это так. Можно бы конечно написать, что куб не представим суммой кубов трех последовательных чисел:
$a^3\neq(x-1)^3\pm x^3\pm(x+1)^3$, либо
$a^3\neq(x-1)^3\pm 2x^3$ и т.д.
И связать это с непредставимостью некоторых натуральных чисел суммой трех кубов.
Но это глупость.

shwedka
Насчет четырех кубов почти убежден что это так, т.к. одной лишней степени свободы должно быть вполне достаточно для устранения недостатка представимости.

[maxal]

RIP в сообщении #260550 писал(а):

До Линника было известно только про 8 кубов

А MathWorld приписывает результат про 7 кубов Wieferich'у, который якобы доказал, что только вышеуказанные 15 чисел требуют 8 кубов.

-- Tue Nov 10, 2009 18:12:30 --

age
Вероятно, через "степени свободы" вы пытаетесь сформулировать некий аналог abc-гипотезы.

[shwedka]

maxal в сообщении #260708 писал(а):

А MathWorld приписывает результат про 7 кубов Wieferich'у, который якобы доказал, что только вышеуказанные 15 чисел требуют 8 кубов.

Я провела расследования. Wieferich доказал задачу для 9 кубов, в 1909. Е.Ландау в 1911 доказал для 8 кубов, а Линник в 1943 - для 7.
Вечером выложу оригинальные работы.

В статье O. Ramaré
An explicit result of the sum of seven cubes,
Мanuscripta math. 124, 59–75 (2007),

Находится эффективная граница в результате Линника

Цитата:

Theorem 1. Every integer n ≥ exp(524) is a sum of seven cubes.

Относительно отдельных чисел, которые требуют большого количества кубов, написано

Цитата:

From an experimental and heuristical viewpoint, computations and arguments
developed in [1, 2, 6, 16, 27] tend to suggest that every integer ≥ 1014 is a sum of
four cubes. The argument in [6] even leads us to believe that 7,373,170,279,850 is
the last integer that is a sum of five cubes but not of four. When it is required to
exhibit a large example of an integer that is a sum of five cubes, but not of four, the
simplest example I know is 109 + 4.
Similarly, it is believed that 454 is the largest integer that is a sum of at least
eight cubes, that 8,042 is the largest integer that is a sum of seven cubes but not of
six and that 1,290,740 plays this role with respect to sums of six cubes.

Этим подчеркивается, что разговоры
у Вольфрама о полном списке исключительных числах это всего лишь догадки.
Вольфрам (т.е. Эрик Вайсштейн) в своих исторических справках по этому поводу ссылается на несолидный источник,

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, pp. 70 and 75, 1986.

[Mathusic]

Mathusic в сообщении #259957 писал(а):

Навеяло утв. Виктора, что простое представляется в виде суммы двух кубов.
Можно ли нуль представить как сумму трёх целых кубов? И вообще $n$-х степеней?

Просто не допечатал.

-- Ср ноя 11, 2009 20:02:11 --

Батороев в сообщении #260041 писал(а):

Mathusic в сообщении #259957 писал(а):

Навеяло утв. Виктора, что простое представляется в виде суммы двух.

Из какого обсуждения это утверждение? Не нашел.
Утверждалось бы, что любое простое (>3) представляется ввиде полусуммы двух простых, было бы похоже на правду!

Это утверждение доказано не для тривиального случая? ($p=\frac{p+p}{2}$) А вообще смахивает на ЧС гипотезы Гольдбаха.