Здравствуйте!
Сегодня окончил доказательство (на это понадобилось часа полтора).
Разберём доказательство поэтапно.
Для начала- рекуррентная формула:
![$y=R(\frac{xR+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)\sqrt{x ^2+(r+\sqrt{(r^2- x^2}+a+R)^2-R^2}}{x^2+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)^2}))$ $y=R(\frac{xR+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)\sqrt{x ^2+(r+\sqrt{(r^2- x^2}+a+R)^2-R^2}}{x^2+(r+\sqrt{r^2-x^2}+a+R)^2}))$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/f/24f2cc2629af9e0bf9a775330bfac33f82.png)
(1)
(о её выводе можете посмотреть выше, именно алгоритм, выражение, которое дано в этой теме перед этим сообщением, получено неправильно, правильно выражение, приведённое здесь).
Подставим в выражение (1) значение x, являющееся предельным:
![$x_n=r(\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r})$ $x_n=r(\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/f/b7f893777b8c8203d3e9efb0296e781882.png)
(2)
Прежде всего, упростим выражение
![${x_n}^2+(r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R)^2-R^2$ ${x_n}^2+(r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R)^2-R^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/0/ba0dec696168f4a54f1e5ae26de6b79d82.png)
(3). Оно равно
![$a^2+2ar+2aR+4Rr$ $a^2+2ar+2aR+4Rr$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/d/f7d64e0243006b31f91446a8fa9f236282.png)
.(4)
Аналогично упростим выражение
![$r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R$ $r+\sqrt{r^2-{x_n}^2}+a+R$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/7/0e7fa0d147ddd47f7824cb421603ac5b82.png)
(5) Оно равно
![$\frac{a^2+R^2+2aR+2ar+3Rr}{a+R+r}$ $\frac{a^2+R^2+2aR+2ar+3Rr}{a+R+r}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/d/fadb6c54b02b6fee69ad336cf4d9c78082.png)
(6)
Запишем также выражение
![$x_nR$ $x_nR$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/4/914c17a13edda29b2da11b2ea88843fe82.png)
:
![$x_nR=\frac{rR(\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr})}{a+R+r}
$ $x_nR=\frac{rR(\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr})}{a+R+r}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fdd4a44474150fb418dc9b12be91e9982.png)
(7)
Воспользуемя тем, что
![$3Rr=4Rr+Rr-Rr$ $3Rr=4Rr+Rr-Rr$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/554ca266ba7b71c6474d28446c382dd282.png)
.(8) Тогда выражение (1) примет вид:
![$R\frac{(a^2+R^2+2aR+2ar+4Rr)\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{(a+R+r)(a^2+2aR+2ar+4Rr+R^2)} $ $R\frac{(a^2+R^2+2aR+2ar+4Rr)\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{(a+R+r)(a^2+2aR+2ar+4Rr+R^2)} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/c/27c6463fbd65450150eb93bc42d5dcf682.png)
(9)
После сокращения получаем:
![$y=R\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r}$ $y=R\frac{\sqrt{a^2+2aR+2ar+4Rr}}{a+R+r}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/4/7c410cbfea616304513821391ce3bedc82.png)
(10)
(10) является выражением для предела
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
. В силу симметричности выражений для
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
, достаточно в (10) заменить
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
на
![$r$ $r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/f/89f2e0d2d24bcf44db73aab8fc03252c82.png)
и получится выражение для предела
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
. Доказано.
заодно можно заметить, что если выражения для двух зависимых величин симметричны, можно по пределу для одной величины судить о пределе другой велтичины (если только он существует).
С уважением, Николай