Ур-ние Шредингера: несвязанное состояние в дельта-яме

[quantum newbie]

Имеется потенциал $-\varkappa\delta(x)$.
Уравнение Шредингера для такой системы в коорд. представлении описывается так:
$-\frac {\hbar^2} {2 m} \psi''(x) - \varkappa\delta(x)\psi(x) = E \psi(x)$

Ищу несвязанные состояния частицы с волновой функцией $\psi(x)$. Для неё $E > 0$, поэтому введём $k^2 = \frac {2mE} {\hbar^2}$. Кроме того, пусть $\alpha = \frac {m \varkappa} {\hbar^2}$. Тогла имеем $\psi''(x)-2\alpha\delta(x)\psi(x)-k^2\psi(x)=0$.

Решение имеет такой общий вид:
$\psi(x) = a \sin (kx) + b \cos (kx), \; x>0$
$\psi(x) = c \sin (kx) + b \cos (kx), \; x<0$
Сшивка по производной даёт $k(a-c) = 2\alpha b$.

Далее требуется нормировать волновую функцию. Поскольку ожидается, что поведение будет похоже на поведение плоских волн, речь идёт о нормировке не на 1, но на дельта-функцию. Записываем
$\int\limits_{-\infty}^\infty \psi^2(x)dx = \int\limits_{-\infty}^\infty b^2\cos^2(kx)dx + \int\limits_{-\infty}^0 (a^2\sin^2(kx) + ab\sin(2kx))dx + \int\limits_0^\infty (c^2\sin^2(kx) + cb\sin(2kx))dx$

Что делать дальше? Каким образом в терминах обобщенных функций взять классически неберущиеся интегралы, вроде выписанных выше?

[Nemiroff]

Нет сшивки по производной в случае $\delta$-ямы.

[Physman]

А из какого учебника вы взяли эту задачу? Вот, например, есть хороший задачник Галицкого "Задачи по квантовой механике..", глава 2. Там и решения приводятся.

Вообще, ведь можно представить решение в экспоненциальном виде. Слева будет сумма 2 экспонент $-ikx$ и $ikx$, одна из которых появится ввиду надбарьерного отражения, а справа - просто бегущая волна. Вроде, так удобнее.

[quantum newbie]

2 Nemiroff
Насколько я помню, она должна быть. По крайней мере при рассчёте связанного состояния рассуждения следующие:
$\textrm{(УШ)}\;\;\psi''-2\alpha\delta\psi+k^2\psi = 0$
$\psi=a e^{-kx}, x > 0$
$\textrm{(1)}\;\; \psi(+0)=\psi(-0) \;\; \Rightarrow \psi = a e^{-k |x|}$
$\textrm{(2)}\;\; \psi'(+0)-\psi'(-0) = 2\alpha\psi(0) \;\; \Rightarrow k = \alpha$
Есть ещё условие нормировки, из которого можно найти единственно возможное значение $\alpha$. Без условия (2) Вы никогда не сможете показать, что существует ровно одно связанное состояние.
Исходя из этого, я предположил, что и в несвязанном случае будут оба условия (1) и (2), к ним же и номировку.

Upd появилось новое сообщение
2 Physman
Эта задача появилась в ходе решения другой задачи.
Читаю Галицкого, но с ходу не могу найти там этой задачи. Пока хочется вот что уточнить:
Вы говорите, что можно считать, что справа от барьера находится плоская волна, по другую сторону (слева) суперпозиция двух волн. Это мыслится как падение слева некоторой волны и её отражение и прохождение барьера. Это утверждение мне кажется неочевидным. Верно ли, что оно эквивалентно задаче из Галицкого о том, что «функции $\Psi^{+}_p(x)$, описывающие процесс отражения и прохождения частиц с импульсом $p$, образуют полную систему в случае $\delta$-потенциала» (задача 2.43, 3-е изд. 2001)?

[fizeg]

quantum newbie
Сходу не соображу есть ли здесь подводные камни, но если вы разложите синусы и косинусы на экспоненты у вас получатся табличные интегралы Фурье (коэффициенты уточните)
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ikx}dx=\delta(k)$
$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{ikx}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(1+sgn(x))e^{ikx}dx=\frac{1}{2}\delta(k)+\frac{1}{2\pi i k}$

[quantum newbie]

Я копаю в этом направлении, но постоянно упираюсь в непонимание того, как связано то, что я знаю о дельта-функциях, с тем, как мы их используем.

Поскольку функции вида $e^{ikx}$ мы используем как базис, раскладывая любою другую функцию по ним, ожидается, что они ортогональны. Действительно, $\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i(k_1-k_2)x}dx=\delta(k_1-k_2)$ и мы говорим, что при $k_1\neq k_2$ справа стоит что-то вроде нуля.

Пусть имеется две волны $e^{ik_1x}$ и $e^{ik_2x}$, каким коэффициентом нормируется сумма $e^{ik_1x}+e^{ik_2x}$? По идее, если эти волны ортогональны, то коэффициент $\sqrt 2$. Проверяем: $\int\limits_{-\infty}^\infty (e^{-ik_1x}+e^{-ik_2x})(e^{ik_1x}+e^{ik_2x})dx = \int\limits_{-\infty}^\infty (2+e^{i(k_1-k_2)x}-e^{i(k_1-k_2)x})dx = 2 \delta(0) + 2\delta(k_1-k_2)$ я действительно не понимаю, как работать с дельтами.

Возвращаясь к сообщению fizeg, при нормировке появляется интеграл $2\int \cos^2(kx)dx = \int dx + \int \cos(2kx)dx$

[Dolopihtis]

quantum newbie в сообщении #640159 писал(а):

Имеется потенциал $-\varkappa\delta(x)$.

Потенциал в вашем уравнении симметричен относительно 0, т.е. если $\psi(x)$ - решение , то и $\psi(-x)$ тоже будет решением.

Т.е. $\psi(x) = - a \sin (kx) + b \cos (kx), \; x<0$
$\psi(x) = - c \sin (kx) + b \cos (kx), \; x>0$ -
тоже решение.

Т.к. для данного $E$ есть только одно решение (нет вырождения), то $a=-c$.

Из вашего условия для производных следует $a = \alpha b/k$ и $c = - \alpha b/k$.

Вроде бы так.

[fizeg]

quantum newbie в сообщении #641035 писал(а):

Пусть имеется две волны $e^{ik_1x}$ и $e^{ik_2x}$, каким коэффициентом нормируется сумма $e^{ik_1x}+e^{ik_2x}$? По идее, если эти волны ортогональны, то коэффициент $\sqrt 2$. Проверяем: $\int\limits_{-\infty}^\infty (e^{-ik_1x}+e^{-ik_2x})(e^{ik_1x}+e^{ik_2x})dx = \int\limits_{-\infty}^\infty (2+e^{i(k_1-k_2)x}-e^{i(k_1-k_2)x})dx = 2 \delta(0) + 2\delta(k_1-k_2)$ я действительно не понимаю, как работать с дельтами.

И тогда если $k_1\neq k_2$ с таким пофигистичным отношениям к дельта-функциям, вы получаете $2\delta(0)$...

Я подозреваю, что строгого математического смысла в нормировке одного состояния из непрерывного спектра вполне может и не быть вовсе. Я по крайней мере не знаю, есть ли хорошее определение той же $\delta(0)$, хотя такое вполне может встречаться в физических статьях (хотя всегда оправдывается регуляризациями).

Когда вы пишете соотношения вроде $\int dx f(k_1,x)g(k_2,x)=\delta(k_1-k_2)$, да и вообще про дельта-функцию вы по сути дела говорите о функционалах на функциях от $k$. Думаю, что для строгости вам нужно писать ваше нормировочное соотношение для состояний с разной энергией

[quantum newbie]

Dolopihtis в сообщении #641095 писал(а):

Т.к. для данного $E$ есть только одно решение (нет вырождения), то $a=-c$.

Неочевидное утверждение. Почему следует предположить, что вырождения нет? Если мы уберём дельта-яму, то в полученной системе будет двукратное вырождение (волновые функции $e^{ikx}$ и $e^{-ikx}$ обладают одинаковой энергией).

fizeg, в том мире, где я живу, $\delta(0)$ вообще не имеет смысла. Ровно как и $\delta(1)$. Вообще, ни при каком конкретном $x$ запись $\delta(x)$ не имеет смысла, имеет смысл только сама $\delta$ как обобщённая функция.

Говоря строго, когда я говорил о нормировке $\psi(x)$, я имел в виду следующее:
$\forall \varphi \forall k : \; \int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty\psi_k(x)^\ast \psi_k(x) \varphi(k) dxdk = \varphi(0)$
Прав ли я, когда так пишу? Ведь в этом случае нельзя пронормировать отдельную функцию, но можно записать это уравнение только для системы функций.

[ChaosProcess]

В том мире, где вы живете, дельта-функция-сингулярный функционал, и его запись в виде интеграла по некоторой функции из пространства основных функций вообще условна уже сама по себе.

(Оффтоп)

И где же мунин, когда он бывает так нужен...

[Munin]

(Оффтоп)

ChaosProcess в сообщении #641431 писал(а):

И где же мунин, когда он бывает так нужен...

Я тут, но я тут бесполезен... Могу разве что предложить взять состояния в прямоугольной яме, и устремить её ширину к нулю, сохраняя площадь. Physman и fizeg, думаю, лучше меня справятся.

[fizeg]

quantum newbie
Ну значим мы живем в одном мире, если вы еще не заметили

quantum newbie в сообщении #641357 писал(а):

$\delta(0)$ вообще не имеет смысла. Ровно как и $\delta(1)$. Вообще, ни при каком конкретном $x$ запись $\delta(x)$ не имеет смысла, имеет смысл только сама $\delta$ как обобщённая функция.

Не совсем так. Дело в том, что мы можем рассмотреть ограничение обобщенной функции на отрезок. Т.е. для всех функций, которые не равны нулю только в окрестности ненулевого x (а это могут быть ограничения функций, которые уходят и дальше) дельта-функция полностью эквивалентна обычной функции (тождественно равной нулю) В этом смысле мы можем рассматривать $\delta(x)=0, x\neq 0$

Вы мыслите в том же направлении, что я и предлагаю, правда все-таки не совсем в том (и я не понял, что вы вообще попытались записать). Я предлагаю вам рассмотреть скалярное произведение двух состояний из непрерывного спектра с (возможно) разными k. Т.е.
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\psi_{k_1}^\ast(x)\psi_{k_2}(x)dx$
По смыслу это функционал на функциях от $(k_1,k_2)$.

У меня получается
$\pi\Bigl(b_{k_1}b_{k_2}+\frac{a_{k_1}a_{k_2}}{2}+\frac{c_{k_1}c_{k_2}}{2}\Bigr)\Bigl(\delta(k_1+k_2)+\delta(k_1-k_2)\Bigr)$
Дальше вы можете выбрать a,b и c так, чтобы убить первую дельту (т.е. сделать состояния для k с разным знаком ортогональными) и свести это выражение к $\delta(k_1-k_2)$

Но это мы реально строим ортонормированный набор функций. Вы можете нормировать эти решения совершенно из других соображений. Например в реальной ситуации ваш потенциал рано или поздно начнет вести себя по-другому. Обычно мы можем считать, что на самом деле это все равно связанное состояние (и надо его нормировать как связанное состояние), только стенки ямы так далеко, что мы ей можем в нашей задаче пренебречь. И тогда вы например помещаете все в большую коробку, нормируете в ней ваше состояние как связанное, а потом устремляете размер коробки в бесконечность. Это одна из регуляризаций (которая может дать разговорам о $\delta(0)$ минимальный смысл) и я не ручаюсь, что с регуляризацией, которая отражает реальную физику, вы обязательно получите именно нормировку на дельту.

С другой стороны вам может понадобиться нормировать специальным образом, чтобы упростить расчет в теории возмущений, чтобы не возиться в каком-нибудь месте например с лоренц-инвариантностью итд итп. Так что я бы не так заморачивался с нормировками непрерывного спектра как "вещью в себе", просто разберитесь лучше с обобщенными функциями

[Physman]

quantum newbie в сообщении #640299 писал(а):

Physman
Эта задача появилась в ходе решения другой задачи.
Читаю Галицкого, но с ходу не могу найти там этой задачи.

Я почти уверен, что ваша задача ничем не отличается от аналогичной задачи, но с $\delta$-барьером вместо ямы. А решение этой задачи в Галицком есть. И как интегрировать уравнение Шрёдингера объяснено.

Вообще, мне кажется бессмысленным обсуждать "состоятельность" $\delta$-функции. Есть несколько конкретных рецептов её использования. Очень полезных. Их и нужно придерживаться.

[saygogoplz]

Я думаю проще перейти в импульсное представление, тем самым избавившись от дельта-функции, однако нормировка будет все также на дельта функцию из-за непрерывности спектра. Попробуйте.

[Physman]

saygogoplz в сообщении #642300 писал(а):

Я думаю проще перейти в импульсное представление

Обычно, в импульсное представление переходят либо если нас интересуют зависимости не от координат, а от импульсов, либо если задача в нём проще решается.
(Вот, например, если у частицы закон дисперсии непараболический, то записать оператор кин.энергии проще в к-пространстве. С потенциальной энергией обычно сложнее, поскольку в к-пространстве она обычно представляет собой интегральный оператор).

Честно говоря, здесь я мотивации не вижу. Ну разве что для тренировки стоит поиграть с пространствами. (Кстати, опять-таки в Галицком переход к импульсному представлению рассматривается.)