2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 13:44 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
DjD USB в сообщении #636821 писал(а):
По моему это равнсильно таму же пределу выражения $\frac{n\cdotn!}{(n+1)!}=1-\frac{1}{n+1}$
Не совсем. "Это" равносильно $1-\dfrac{1}{(n+1)!}$, что легко доказывается по индукции. Результат, впрочем, тот же.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 13:53 


16/03/11
844
No comments
Там у меня в знаменателе должно быть $n*n!$

-- Вс окт 28, 2012 14:01:15 --

Я исходил из того что наша изначальная дробь представима в виде $\frac{1*1!}{(n+1)!}+\frac{2*2!}{(n+1)!}+....+\frac{n*n!}{(n+1)!}$ И взял последнюю дробь, там же вроде бы почти все к 0 стремятся

-- Вс окт 28, 2012 14:18:17 --

П3. Замена $t=x^2+2$

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 15:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #636775 писал(а):
Н4. Найдите сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n(n+4)}$

$$=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^N\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}-\sum\limits_{n=5}^{N+4}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}\right)=\sum\limits_{n=1}^4\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$$

bot в сообщении #636775 писал(а):
1. Трёхгранный честный волчок, грани которого помечены цифрами $1, 2, 3$, крутят $n$ раз. Какова вероятность того, что сумма всех цифр на выпавших гранях окажется чётной?

$P_{n+1}=P_n\cdot\frac13+(1-P_n)\cdot\frac23,\ \ \ P_1=\frac13;$

$P_n=\frac12\big(1+(-\frac13)^n\big).$

-- Вс окт 28, 2012 16:53:36 --

bot в сообщении #636775 писал(а):
Н5. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac {\left(1+\frac1n\right)^n }{e}\right)^n.$

$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{n\ln(1+\frac1n)-1}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(e^{-\frac1{2n}+O(n^{-2})}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1{2n}+O(n^{-2})\right)=e^{-\frac12}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 16:03 


16/03/11
844
No comments
Что со мной, замена переменной в П2

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 16:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #636775 писал(а):
2. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos ax^2+2\sin^2\left(x-\dfrac12\right)=ax^2+2x$$ имеет единственное решение.

$$2\sin\frac{ax^2+2x-1}2\cdot\sin\frac{2x-1-ax^2}2=ax^2+2x-1;\ \ \ ax^2+2x-1=0;\ \ \ a=-1\ \text{или}\ a=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 16:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
А как уравнение $ax^2+2x-1=0$ вытекает из предыдущего?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 16:16 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #636914 писал(а):
А как уравнение $ax^2+2x-1=0$ вытекает из предыдущего?

Модуль синуса почти всегда меньше модуля своего аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 16:19 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
ewert в сообщении #636917 писал(а):
Модуль синуса почти всегда меньше модуля своего аргумента.
Ну, это сложно. С косинусами попроще будет. Хотя нет, по существу также (это меня двойка в левой части смутила).

По поводу задачи П1. Конечно, на таких олимпиадах хочется иметь сравнительно простую задачу по теории чисел. Но в данном случае мы имеем весьма приевшийся сюжет, хотя и классический. Возможно, лучше брать теоретико-числовые задачи для 6-8 классов Питерских олимпиад (начиная с районного уровня; олимпиаду 239-й школы лучше проигнорировать). И содержательно, и не так пресно будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 17:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #636775 писал(а):
Докажите, что Вася где-то ошибся.

Ранг великоват, ч.т.д.

bot в сообщении #636775 писал(а):
Н3. Для комплексного $z$, удовлетворяющего неравенству $|z|\leqslant 2$, определите наименьшее и наибольшее значение выражения $|z^2-5|$.

Очевидно, что $|z^2-5|\in[5-|z|^2;\,5+|z|^2]\subset[5-2^2;\,5+2^2]=[1;9],$ причём верхняя граница достигается на $z=2i$ и нижняя -- на $z=2$.

Что-то как-то неолимпиадно. Следующее тоже вполне шаблонно:

bot в сообщении #636775 писал(а):
Н2. Определить все действительные значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $x^3+qx^2+4=0$ имеет три различных действительных корня.

Чтобы был кратный корень, надо, чтобы в нём обращалась в ноль не только сама функция, но и её производная:

$\begin{cases}x^3+qx^2+4=0 \\ 3x^2+2qx=0\end{cases}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{cases}qx^2=-12 \\ 3x=-2q\end{cases}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{cases}x=2 \\ q=-3\end{cases}$

(равносильно, т.к. заведомо $x\neq0$). Из соображений монотонности следует, что областью существования трёх вещественных корней будет $q<-3$.

-- Вс окт 28, 2012 19:02:08 --

EtCetera в сообщении #636843 писал(а):
"Это" равносильно $1-\dfrac{1}{(n+1)!}$, что легко доказывается по индукции.

Не, не надо индукции: если разделить исходную дробь почленно, то стремление последней дроби к единице тривиально, предпоследней к нулю -- тоже, а каждая из предыдущих меньше, чем $\frac1{n^2}$, и при этом их количество меньше, чем $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение28.10.2012, 18:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
В Н2 можно нарисовать график функции $q=-4/x^2-x$ и посмотреть, как он пересекается с горизонтальными прямыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение29.10.2012, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
bot в сообщении #636775 писал(а):
5. Некоторой группировкой членов вещественного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ с условием $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ получили сходящийся ряд. Докажите, что суммы сходящихся рядов, полученных группировками, образуют промежуток.

(Если правильно понял условие.)

Существую две группировки с пределами $m$ и $M.$ Это означает, что существует последовательность частичных сумм, равных поочередно (с точностью до $\varepsilon$) то $m,$ то $M.$ Поскольку $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0,$ существует последовательность частичных сумм равных (с точностью до $\varepsilon$) любому числу между $m$ и $M.$ Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение29.10.2012, 13:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Если я понял правильно, Вы поняли правильно. От противного, мне кажется, проще - тогда , по несчастью вдруг оказавшись на одной стороне пропасти, надо пытаться перепрыгнуть её мелкими прыжками.

(Оффтоп)

Upd. Она мне так во сне и пришла. Не верю, что она оригинальна, однако наспех порывшись в ближайших источниках, я её не обнаружил.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение29.10.2012, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
bot в сообщении #636775 писал(а):
П4. Окружность касается прямой $AB$ в точке $B$ и пересекается с прямой $AD$ в точках $C$ и $D.$
Биссектриса угла $BAD$ пересекает $BC$ и $BD$ в точках $E$ и $F.$ Докажите, что треугольник $FBE$ равнобедренный.

$D_i$ - это дуги
$\frac12(D_1 - D_2)=\frac12(D_3 - D_4)$ - это равенство углов вокруг биссектрисы
$\frac12(D_1 + D_4)=\frac12(D_2 + D_3)$ - это равенство углов в треугольнике $FBE$


Кстати, сколько времени дается на решение задач? Мне кажется справедливым давать 6 часов. Но сейчас всюду обвешивают и недокладывают, поэтому, боюсь, решали часа 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение29.10.2012, 17:19 


16/03/11
844
No comments
TOTAL0 сколько дается времени написанно прям где написаны условия ( самая первая строчка в собщении).

 Профиль  
                  
 
 Re: ОЛИМПИАДА НГУ
Сообщение29.10.2012, 17:23 


05/10/11
50
даже как-то не удобно спросить, но что такое грань волчка?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 57 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group