Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Цитата:

Прочел. Верно только при $\text{ИС}=2$.

Не при ИС=2, а номере ИС равным 2.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #629375 писал(а):

Возможно более короткое доказательство от противного.

Цитата:

Прочел. Верно только при $\text{ИС}=2$.

Действительно данное утверждение верно. Вот другое доказательство этого утверждения.
ИС находится в 1 строке разностей при ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 .....
2 2 2 2 2........
ИС находится во 2 строке разностей при ПСВ(6):
1 5 7 11 13 17 19 23....
4 2 4 2 4 2 4....
2 2 2 2 2 2

vicvolf в сообщении #629534 писал(а):

Можно обобщить последнее доказательство от противного на случай, если ИС находится в k-ой строке.

Цитата:

давайте.

Это утверждение в общем случае неверно. Контрпримером является ПСВ(210), где dm=10, номер строки ИС равен 15 и ПСВ(2310), где dm=14, а номер строки ИС равен 10.
Это связано с тем, что растет не только dm, но и меняются окружающие разности. При ПСВ(210) рядом стоящие разности равны 2, а при ПСВ(2310) - 4.
Вот если с ростом dm, окружающие разности не меняются, то утверждение наверно будет справедливо. Например, если ПСВ(210), с разностью рядом с dm равной 2, сравнить с ПСВ(30030) также с разностью 2, то dm растет с 10 до 22, а номер строки ИС с 15 до 21 или сравнивать ПСВ(30) с разностью рядом с dm равной 4 с ПСВ(2310). При ПСВ(30) dm=6 номер строки ИС равен 3, а у ПСВ(2310) dm=14 и номер строки ИС равен 15. Ну это пока гипотеза, которую я проверяю на компьютере для больших m.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #630320 писал(а):

Вот если с ростом dm, окружающие разности не меняются, то утверждение наверно будет справедливо. Например, если ПСВ(210), с разностью рядом с dm равной 2, сравнить с ПСВ(30030) также с разностью 2, то dm растет с 10 до 22, а номер строки ИС с 15 до 21 или сравнивать ПСВ(30) с разностью рядом с dm равной 4 с ПСВ(2310). При ПСВ(30) dm=6 номер строки ИС равен 3, а у ПСВ(2310) dm=14 и номер строки ИС равен 15. Ну это пока гипотеза, которую я проверяю на компьютере для больших m.

Прверил на компьютере для больших m - гипотеза подтвердилась. Больше того, номер строки ИС (НСИС) для m>30030 меньше dm-2. При $m=2 \cdot 3...17$ - dm=26 НСИС -22 (dm-4), для $m=2 \cdot 3...19$ - dm=34 НСИС -26 (dm-8), для $m=2 \cdot 3...23$ - dm=40 НСИС -33 (dm-7) и.т.д. (доказать это будет сложно). Таким образом, тем более выполнение леммы при сделанном допущении НСИС= dm-2. Для m=30030 и менее выполнение леммы проверено для каждого варианта в отдельности.

[vicvolf]

Лемма 2
Для простого числа - k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где , выполняется соотношение < .
Доказательство.
Сначала рассмотрим $m < 2 \cdot 3...17$.
Для m=2 ИC находится в первой строке разностей треугольника Гильбрайта и $p_k=3$.
Для m=6 ИС находится во второй строке треугольника Гильбрайта и $p_k=7<3^2$.
Для m=30 ИС1 находится в 2-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 3-ей строке разностей. Следовательно, ИС находится в 3-ей строке разностей треугольника Гильбрайта и $p_k=13<7^2$.
При $m=210=2 \cdot3...7$ ИС1 находится в 9-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 15-ой строке разностей. Следовательно, ИС находится в 15-ой строке разностей треугольника Гильбрайта $p_k=67<13^2$.
При $m=2 \cdot...11=2310$ - dm=14, поэтому на основании (9) $p_{12}=37< p^2_{r+1}=13^2=169$. При $m=2 \cdot...13=30030$ - dm =22, $p_{20}=71< p^2_{r+1}=17^2=289$. При $m=2 \cdot...17$ - dm=26, $p_{24}=89<p^2_{r+1}=19^2=361$.
Теперь рассмотрим случай для $m = 2 \cdot 3...17$ и более.
На основании работы Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993 для простых чисел выполняется соотношение номер строки ИС меньше d(x)-2, где d(x)-максимальный интервал между простыми числами, не превышающими x. Тем более данное соотношение выполняется для ПСВ(m).
Например, номер строки ИС (НСИС) для m>30030 меньше dm-2. При $m=2 \cdot 3...17$ - dm=26 НСИС -22 (dm-4), для $m=2 \cdot 3...19$ - dm=34 НСИС -26 (dm-8), для $m=2 \cdot 3...23$ - dm=40 НСИС -33 (dm-7).
Таким образом, для k из $p_k$ выполняется k<dm-2, т.е $p_k$ растет не более, чем линейно, как $p_{dm-2}$, в то время как $p^2_r$ растет как квадрат, поэтому выполняется неравенство $p_k<p^2_r$ ч.т.д.

[vicvolf]

Уточню формулировку леммы. Для простого числа - k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта выполняется соотношение $p_k<p^2_r$, где $m=2 \cdot...\cdot p_r.$

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #632500 писал(а):

На основании работы Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993 для простых чисел выполняется соотношение номер строки ИС меньше d(x)-2, где d(x)-максимальный интервал между простыми числами, не превышающими x. Тем более данное соотношение выполняется для ПСВ(m).

Непонятна связь между максимальным интервалом и номером строки ИС. Уже который раз натыкаемся на этот вопрос.

[Sonic86]

Не знаю, как целиком сформулировать...
Вот мы пришли к относительно обособленной задаче (целиком задачу не получается сформулировать, пока только частично): дана произвольная конечная последовательность $B=\{b_k\}_{k=1}^n$ натуральных чисел. Определим a_{j,k}: $a_{0,k}=b_k, a_{j+1,k}=|a_{j,k}-a_{j,k+1}|$. Несложно доказать, что начиная с некоторого номера $I$ все числа $a_{j,k}, j\geqslant I$ принимают не более 2-х значений. Например, при $I=n$ Надо найти функцию $I=I(B)$ или хотя бы ее оценки снизу и сверху.
Это формулировка для задачи с глобальным ИС. Можно как-то попробовать сформулировать задачу и для локального ИС. А может даже и не надо.

Я предлагаю пока игнорировать гипотезу Гилбрайта и переключиться, например, на эту задачу. Делать это из тех же соображений, по которым интересно доказывать саму гипотезу Гилбрайта - в надежде, что получиться сделать какой-то инструмент, доказать какие-то интересные соотношения. Истинность гипотезы Гилбрайта все равно очевидна, потому мы, доказывая ее руками, все равно ничего не узнаем. Тем более, что руками она, скорее всего не доказывается. Наверное, ее даже просто руками не получится упереть в какую-нибудь гипотезу о распределении простых (доказательство таких гипотеза само по себе очень сложно). Тем более, что гипотеза Гилбрайта сама по себе - это не инструмент, потому что из ее истинности ничего не следует интересного. А решать предложенную задачу интереснее потому что: 1) мы не знаем ответ на нее, 2) она более похожа на инструмент, чем гипотеза Гилбрайта 3) в ней не нужно знать факты распределения простых, 4) может оно связано с чем-то интересным типа фракталов или динамического хаоса (ляпнул наугад, не знаю что это, потому интересно.)

Вы, конечно, делайте как хотите, дело Ваше, это всего лишь предложение.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #633045 писал(а):

vicvolf в сообщении #632500 писал(а):

На основании работы Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993 для простых чисел выполняется соотношение номер строки ИС меньше d(x)-2, где d(x)-максимальный интервал между простыми числами, не превышающими x. Тем более данное соотношение выполняется для ПСВ(m).

Непонятна связь между максимальным интервалом и номером строки ИС. Уже который раз натыкаемся на этот вопрос.

Этой связью по-моему для простых чисел в основании треугольника Гильбрайта занимался только Odlyzko A.M. в работе Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993, а для ПСВ(m) в основании треугольника Гильбрайта наверно только я.
Номер строки ИС (НСИС) зависит не от последовательности, находящейся в основании треугольника Гильбрайта, а зависит только от последовательности 1-ых разностей треугольника Гильбрайта.
Для начала рассмотрим случай - простые числа в основании треугольника Гильбрайта. С ростом простого числа $p_n$ доказано, что dm растет, как $(p_n)^{0,525+ \varepsilon}$. С ростом $p_n$ растет также НСИС: на интервале [2,7] НСИС-1 (dm=1), на интервале [2,31] НСИС-2 (dm=6), на интервале [2,53] НСИС-3 (dm=6), на интервале [2,59] НСИС-4 (dm=6), на интервале [2,109] НСИС-5 (dm=8), на интервале [2,149] НСИС-6 (dm=14), и.т.д. При больших значениях $p_n$ рост НСИС можно посмотреть в таблице Odlyzko A.M., которую я приводил выше. Из указанных данных видно, что НСИС для простых чисел не превосходит dm (максимальное расстояние между числами на отрезке $[2,p_n]$ в основании треугольника Гильбрайта).

Лемма. Если в основании треугольника Гильбрайта находится ПСВ и $dm>p_{r+1}-1$, то НСИС для ПСВ не превосходит НСИС с простыми числами в основании треугольника Гильбрайта на интервале от 0 до m/2.
Доказательство
В ПСВ(m) на интервале от 0 до m все разности вычетов симметричны относительно m/2, поэтому на интервале (m/2,m) повторяются разности интервала (0,m/2). Поэтому достаточно рассмотреть интервал ПСВ(m) от (0,m/2).
Интервал (0,m/2) в ПСВ(m) можно разбить на интервалы: $(0, p_{r+1})$, $(p_{r+2},p^2_{r+1})$, $(p^2_{r+1},m/2).$
На первом интервале находится только одна разность $p_{r+1}-1$. На втором интервале все разности совпадают с последовательностью первых разностей простых чисел треугольника Гильбрайта. На третьем интервале кроме простых чисел находятся также составные числа, поэтому разности не превышают соответствующие первые разности простых чисел треугольника Гильбрайта.
Если в основание треугольника Гильбрайта к интервалу $(p_{r+2}, p^2_{r+1})$ добавить справа вычеты интервала $(p^2_{r+1},m/2)$, то разности на полученной интервале основания треугольника Гильбрайта не будут превышать 1-ой строке разностей простых чисел, поэтому в полученном треугольнике НСИС не будет превышать, НСИС для простых числел.
Если в основание треугольника Гильбрайта к данному интервалу $(p_{r+2}, m/2)$ добавить слева интервал $(0, p_{r+1})$, то если $dm>p_{r+1}-1$, то dm будет находится на интервале $(p_{r+2}, m/2)$, поэтому в полученном треугольнике НСИС не будет превышать, НСИС для простых числел.
Соотношение $dm>p_{r+1}-1$ соблюдается, начиная с m=2310 $(dm=14, p_{r+1}-1=13)$, НСИС=10<dm=14. Для m=30030 $(dm=22, p_{r+1}-1=16)$, НСИС=21<dm=22 и.т.д.

-- 22.10.2012, 17:33 --

Sonic86 в сообщении #634046 писал(а):

Не знаю, как целиком сформулировать...
Вот мы пришли к относительно обособленной задаче (целиком задачу не получается сформулировать, пока только частично): дана произвольная конечная последовательность $B=\{b_k\}_{k=1}^n$ натуральных чисел. Определим a_{j,k}: $a_{0,k}=b_k, a_{j+1,k}=|a_{j,k}-a_{j,k+1}|$. Несложно доказать, что начиная с некоторого номера $I$ все числа $a_{j,k}, j\geqslant I$ принимают не более 2-х значений. Например, при $I=n$ Надо найти функцию $I=I(B)$ или хотя бы ее оценки снизу и сверху.
Это формулировка для задачи с глобальным ИС. Можно как-то попробовать сформулировать задачу и для локального ИС. А может даже и не надо.

Сказанное в сообщении выше не отрицает необходимость доказательства, что ростом dm в строке 1-ых разностей треугольника Гильбрайта растет НСИС.

[vicvolf]

Описался. Соотношение $dm>p_{r+1}-1$ соблюдается, начиная с m=2310 $(dm=14, p_{r+1}-1=12)$, ........

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #634205 писал(а):

Сказанное в сообщении выше не отрицает необходимость доказательства, что ростом dm в строке 1-ых разностей треугольника Гильбрайта растет НСИС.

Лемма
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$, тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
Доказательство
Проведем доказательство методом математической индукции.
Пусть НСИС=1, тогда по определению строки индикатора сходимости все элементы в первой строке разностей треугольника Гильбрайта не превышают 2. Так как последовательность нечетных чисел в основании треугольника Гильбрайта строго возрастающая, то в первой строке разностей нет нулевых элементов, т.е все $a_{1j}=2$, где $j=1,...n.$
Следовательно, в данном случае $dm=p_n-p_{n-1}=2$. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда $dm=p'_n-p_{n-1}=4$ и НСИС станет больше 1, так как первая строка будет содержать 4 и будет не соответствовать определению строки индикатора сходимости.
Пусть НСИС=k. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p_{n-1}$ $(a_{1,n-1}, ....a_{n-1,n-1})$ останутся без изменения. Все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n}, ....a_{n,n})$ увеличатся на 2, поэтому разность $|a_{i,n}-a_{i,n-1}|$ также увеличится на 2. Поэтому , если в k-ой элемент $a_{k,n}$ был равен 2 (больше он не может быть по определению строки индикатора сходимости), то он станет равным 4 и НСИС станет больше k. Обратим внимание, что элемент $a_{k,n}$ не мог быть равным 0, т.к. в этом случае над ним должны были находиться две 4, но тогда НСИС не был бы ранее равен k.
Итак мы доказали, что НСИС увеличился, но на сколько?
Если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=2$, то НСИС=k+1.
Если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=0$, то НСИС=k+2.
Следствие 1
Если все элементы $a_{l,n-1}=0$ при l>k+1, то НСИС равен бесконечности, т.е. треугольник Гильбрайта расходится. Это еще раз подтверждает правильность выбранного термина - сходимость треугольника Гильбрайта. Треугольник Гильбрайта также будет расходиться при не выполнении признака сходимости треугольника Гильбрайта (см. признак сходимости треугольника Гильбрайта в начале темы).
Следствие 2
Если треугольник Гильбрайта сходится то НСИС не превышает dm.
Это следует из того, что при увеличении dm на 2 НСИС при сходимости треугольника максимально увеличивается также на 2, а при dm=2 НСИС=1.

Доказанная в сообщении лемма подходит для случая, когда в основании треугольника Гильбрайта находится конечная последовательность простых чисел или фрагментов последовательности ПСВ.

Пример.
Пусть первые разности в исходном треугольнике Гильбрайта имеют вид:
2 2 4 2 4
0 2 2 2
НСИС=2

Увеличим разность на 2:
2 2 4 2 6
0 2 2 4
2 0 2
НСИС=3

Увеличим разность еще на 2:
2 2 4 2 8
0 2 2 6
2 0 4
2 4
2
НСИС=5 (Это случай с 0 в 3-ей строке)

Увеличим разность еще на 2:
2 2 4 2 10
0 2 2 8
2 0 6
2 6
4
НСИС равен бесконечности - треугольник Гильбрайта расходится, так не выполняется признак сходимости треугольника: 10>2+2+0+2+2=8.

Теперь вернемся к лемме 2 там остались мелочи!

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #634205 писал(а):

Номер строки ИС (НСИС) зависит не от последовательности, находящейся в основании треугольника Гильбрайта, а зависит только от последовательности 1-ых разностей треугольника Гильбрайта.

Неее. В этом может есть какое-то хорошее утверждение, но вот так прямо утверждать бессмысленно. Я могу взять треугольник Гилбрайта, основанный на на последовательности $a_n=p_1+...+p_n$. И тогда из такого утверждения следует, что $I$ зависит уже не от 1-х разностей, а от вторых.
Или так: можно просто рассмотреть 2-е разности и левую сторону треугольника и сказать, что все зависит от 2-х разностей.
Чего-то в этом утверждении не хватает.

vicvolf в сообщении #634205 писал(а):

С ростом простого числа $p_n$ доказано, что dm растет, как $(p_n)^{0,525+ \varepsilon}$.

И в 6-й раз говорю: не показано. Где это показано? Конечное число случаев в плане доказательства ничего не дает.

vicvolf в сообщении #634205 писал(а):

С ростом $p_n$ растет также НСИС: на интервале [2,7] НСИС-1 (dm=1), на интервале [2,31] НСИС-2 (dm=6), на интервале [2,53] НСИС-3 (dm=6), на интервале [2,59] НСИС-4 (dm=6), на интервале [2,109] НСИС-5 (dm=8), на интервале [2,149] НСИС-6 (dm=14), и.т.д. При больших значениях $p_n$ рост НСИС можно посмотреть в таблице Odlyzko A.M., которую я приводил выше.

Вы здесь разбираете конечное число случаев и в статье Odlyzko рассматривается треугольник до $n<n_0$ - конечное число случаев. Осталось рассмотреть бесконечное число случаев $n>n_0$.
Из этого утверждения гипотеза Гилбрайта вообще тривиально следует. Это просто ее переформулировка.

vicvolf в сообщении #634205 писал(а):

разности на полученной интервале основания треугольника Гильбрайта не будут превышать 1-ой строке разностей простых чисел, поэтому в полученном треугольнике НСИС не будет превышать, НСИС для простых числел.

Я в 7-й раз повторяю: у Вас нет связи между первыми разностями и НСИС. Вы ее не доказали, а лишь перебрали конечное число примеров. Либо пишите, что Вы используете это как гипотезу (кстати 2-ю уже? или 3-ю?). Для доказательства леммы это существенно.

vicvolf в сообщении #634795 писал(а):

и $dm=p_n-p_{n-1}$, тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).

Не очень понятно, что это значит. Я буду понимать так: если $dm_1<dm_2$, то $I_1<I_2$. Т.е. каждое $dm$ отображается на некоторое множество $M(I)$ значений $I$ в $\mathbb{N}$, для разных $dm$ множества $M(I)$ не пересекаются.

vicvolf в сообщении #634795 писал(а):

Пусть НСИС=k. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. ... Все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n}, ....a_{n,n})$ увеличатся на 2

Это неверно. Например, если была последовательность $1;9;11$. На правой стороне треугольника получаем разности $2;6$. А когда мы увеличим $11$ на $2$, на правой стороне треугольника, построенной на последовательности $1;9;13$, получим разности $4;4$, а $4<6$. Для дальнейшего рассуждения это существенно.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #634795 писал(а):

Пусть НСИС=k. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. ... Все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n}, ....a_{n,n})$ увеличатся на 2

Цитата:

Это неверно. Например, если была последовательность $1;9;11$. На правой стороне треугольника получаем разности $2;6$. А когда мы увеличим $11$ на $2$, на правой стороне треугольника, построенной на последовательности $1;9;13$, получим разности $4;4$, а $4<6$. Для дальнейшего рассуждения это существенно.

Ваш контрпример не верен, так как в исходном треугольнике вообще отсутствует ИС, а когда я говорю, что НСИС увеличится, значит предполагаю, что ИС существут в исходном треугольнике. Если ИС существовала, но после добавления 2 перестала существовать, то это означает, что НСИС стал бесконечным, т.е тоже увеличилась.

-- 25.10.2012, 17:33 --

vicvolf писал(а):

Следствие 2
Если треугольник Гильбрайта сходится то НСИС не превышает dm.
Это следует из того, что при увеличении dm на 2 НСИС при сходимости треугольника максимально увеличивается также на 2, а при dm=2 НСИС=1.

Уточню Следствие 2
Если треугольник Гильбрайта существует ИС, то НСИС не превышает dm.
Это следует из того, что при увеличении dm на 2 НСИС максимально увеличивается также на 2, а при dm=2 НСИС=1, если в полученной треугольнике существует ИС.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #635687 писал(а):

Ваш контрпример не верен, так как в исходном треугольнике вообще отсутствует ИС, а когда я говорю, что НСИС увеличится, значит предполагаю, что ИС существут в исходном треугольнике.

А, ну пожалуйста: возьмите последовательность $5;7;11;19;21$ - на правой стороне треугольника получаем $2;6;2;0$. Увеличим последний член на $2$ - получим на правой стороне $4;4;0;2$. Опять же $4<6$. И там и тут $I=3$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #634795 писал(а):

Лемма
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$, тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).

Добавлю Следствие 3
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$ и в исходном треугольнике существует ИС, тогда с уменьшением dm уменьшается номер строки индикатора сходимости (НСИС).
Доказательство
Предположим, что НСИС не уменьшится, а останется там же. Увеличим dm до первоначальной величины, тогда на основании доказанной леммы, НСИС увеличится и ИС будет занимать положение отличное от прежнего, что не может быть. Предположим, что НСИС не уменьшится, а увеличится. Увеличим dm до первоначальной величины, тогда на основании доказанной леммы, НСИС еще увеличится и ИС будет занимать положение отличное от прежнего, что не может быть.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #635695 писал(а):

А, ну пожалуйста: возьмите последовательность $5;7;11;19;21$ - на правой стороне треугольника получаем $2;6;2;0$. Увеличим последний член на $2$ - получим на правой стороне $4;4;0;2$. Опять же $4<6$. И там и тут $I=3$.

Вы решили использовать в примере отрицательную разность, как сделал я в контрпримере к Вашему доказательству на другом сайте. Но в данном случае отрицательная разность не подходит.
В Вашем примере dm=8 и находится между 11 и 19, а не между 19 и 21, поэтому надо рассмотреть следующий треугольник Гильбрайта:
5 7 11 19
2 4 8
2 4
2
НСИС=3
Добавим 2:
5 7 11 21
2 4 10
2 6
4
НСИС стал бесконечностью - значит увеличился.