На основании работы Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993 для простых чисел выполняется соотношение номер строки ИС меньше d(x)-2, где d(x)-максимальный интервал между простыми числами, не превышающими x. Тем более данное соотношение выполняется для ПСВ(m).
Непонятна связь между максимальным интервалом и номером строки ИС. Уже который раз натыкаемся на этот вопрос.
Этой связью по-моему для простых чисел в основании треугольника Гильбрайта занимался только Odlyzko A.M. в работе Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993, а для ПСВ(m) в основании треугольника Гильбрайта наверно только я.
Номер строки ИС (НСИС) зависит не от последовательности, находящейся в основании треугольника Гильбрайта, а зависит только от последовательности 1-ых разностей треугольника Гильбрайта.
Для начала рассмотрим случай - простые числа в основании треугольника Гильбрайта. С ростом простого числа
доказано, что dm
растет, как
. С ростом
растет также НСИС: на интервале [2,7] НСИС-1 (dm=1), на интервале [2,31] НСИС-2 (dm=6), на интервале [2,53] НСИС-3 (dm=6), на интервале [2,59] НСИС-4 (dm=6), на интервале [2,109] НСИС-5 (dm=8), на интервале [2,149] НСИС-6 (dm=14), и.т.д. При больших значениях
рост НСИС можно посмотреть в таблице Odlyzko A.M., которую я приводил выше. Из указанных данных видно, что НСИС для простых чисел не превосходит dm (максимальное расстояние между числами на отрезке
в основании треугольника Гильбрайта).
Лемма. Если в основании треугольника Гильбрайта находится ПСВ и
, то НСИС для ПСВ не превосходит НСИС с простыми числами в основании треугольника Гильбрайта на интервале от 0 до m/2.
Доказательство
В ПСВ(m) на интервале от 0 до m все разности вычетов симметричны относительно m/2, поэтому на интервале (m/2,m) повторяются разности интервала (0,m/2). Поэтому достаточно рассмотреть интервал ПСВ(m) от (0,m/2).
Интервал (0,m/2) в ПСВ(m) можно разбить на интервалы:
,
,
На первом интервале находится только одна разность
. На втором интервале все разности совпадают с последовательностью первых разностей простых чисел треугольника Гильбрайта. На третьем интервале кроме простых чисел находятся также составные числа, поэтому разности не превышают соответствующие первые разности простых чисел треугольника Гильбрайта.
Если в основание треугольника Гильбрайта к интервалу
добавить справа вычеты интервала
, то разности на полученной интервале основания треугольника Гильбрайта не будут превышать 1-ой строке разностей простых чисел, поэтому в полученном треугольнике НСИС не будет превышать, НСИС для простых числел.
Если в основание треугольника Гильбрайта к данному интервалу
добавить слева интервал
, то если
, то dm будет находится на интервале
, поэтому в полученном треугольнике НСИС не будет превышать, НСИС для простых числел.
Соотношение
соблюдается, начиная с m=2310
, НСИС=10<dm=14. Для m=30030
, НСИС=21<dm=22 и.т.д.
-- 22.10.2012, 17:33 --Не знаю, как целиком сформулировать...
Вот мы пришли к относительно обособленной задаче (целиком задачу не получается сформулировать, пока только частично): дана произвольная конечная последовательность
натуральных чисел. Определим a_{j,k}:
. Несложно доказать, что начиная с некоторого номера
все числа
принимают не более 2-х значений. Например, при
Надо найти функцию
или хотя бы ее оценки снизу и сверху.
Это формулировка для задачи с глобальным ИС. Можно как-то попробовать сформулировать задачу и для локального ИС. А может даже и не надо.
Сказанное в сообщении выше не отрицает необходимость доказательства, что ростом dm в строке 1-ых разностей треугольника Гильбрайта растет НСИС.