О геометрическом смысле уже говорили. Если собственное значение

комплексное, то ему соответствует плоскость (действительный), что преобразование в этой плоскости сводится масштабированию в r раз и повороту на угол

. При необходимости можно придать этому и физический смысл, связанный с некоторым полем (гидродинамический, упругость, электромагнитный и т.д.)
Коллега!
Приходится снова возразить, при всем почтении!
При повороте в вещественной плоскости вектор переходит НЕ в себе пропорциональный,
посему собственным вектором, по любому доступному определению, быть не может!