Про «перемену мест» слагаемых

[[+]]

У меня неожиданный вопрос по элементарной математике. Я никак не профессиональный математик, поэтому если окажется, что я несу пургу, прошу уважаемых собеседников мне на это вежливо указать.

Итак, вот. С раннего детства для меня остаётся туманным смысл классического «закона» школьной математики: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Я не понимаю, что такое «перемена мест» с математической точки зрения. Для меня этот «закон» звучит всё равно как «Если вместо обычного шрифта написать цифры полужирным, сумма не меняется». То есть: какие-то сущности, которые не входят в предметную область математики («перемена мест» или «насыщенность шрифта»), используются для формулировки выводов, которые вроде как входят в эту область.

У меня в голове различаются четыре категории:

1. Сумма — некое число, которое поставлено в соответствие данному множеству других чисел (слагаемых). (Подозреваю, по-научному это называется «отображение из Rⁿ в R», хотя тут могу ошибаться.)

2. Процедура нахождения этой суммы. (Сложить 2 и 3 можно множеством разных способов.)

3. Способ записи того факта, что такое-то число является суммой таких-то слагаемых. (Например, можно записать 2 + 3 = 5, а можно +(10₂, 11₂) → 101₂.)

4. Способ записи процедуры нахождения суммы — например, школьная запись сложения столбиком, блок-схема или псевдокод. Опять же, для одной и той же процедуры можно привести множество разных способов записи.

По-моему, когда мы говорим «от перемены мест слагаемых сумма не меняется», мы смешиваем и путаем разные категории и разные смыслы.

Буду рад, если компетентные обитатели этого форума прокомментируют мои соображения.

[Xaositect]

Коммутативность (перестановочность) сложения имеет отношение только к первому понятию из приведенного вами списка. Все эти понятия действительно имеют место быть и их часто нужно различать.

Сложение, как Вы правильно заметили, это бинарная операция, т.е. отображение из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}$, или, по-школьному, некоторое соответствие, согласно которому паре чисел $(a, b)$ сопоставляется их сумма $a + b$.
Однако в паре чисел всегда одно идет первым, а другое вторым. Поэтому никто не запрещает бинарной операции ставить разные числа разным парам $(a, b)$ и $(b, a)$. И действительно, опять же из школы можно привести пример - вычитание. Оно тоже сопоставляет паре чисел $(a, b)$ одно число - их разность $a - b$, причем при разных $a$ и $b$ значения $a-b$ и $b-a$ различны.
Сложение же, в отличие от вычитания, обладает особым свойством: при любых $a$ и $b$ значение суммы $a + b$ всегда такое же, как и $b + a$. Именно этот факт и называется коммутативностью сложения или переместительным законом.
Заметьте, что этот факт не зависит ни от способа вычисления суммы, ни от способа представления, поэтому он относится только к операции сложения как таковой, и не относится к остальным трем понятиям, о которых Вы написалы.

[epros]

Xaositect в сообщении #634137 писал(а):

Коммутативность (перестановочность) сложения имеет отношение только к первому понятию из приведенного вами списка

Хм. Непонятно почему. По-моему, в любом из четырёх указанных смыслов свойство коммутативности не является тривиальным.

Вообще, хотелось бы услышать от ТС где именно

[+] в сообщении #634131 писал(а):

мы смешиваем и путаем разные категории и разные смыслы

[Aritaborian]

epros в сообщении #634140 писал(а):

свойство коммутативности не является тривиальным.

Это просто аксиома. Сложение — коммутативная операция. Всегда и везде.

[Xaositect]

epros в сообщении #634140 писал(а):

Xaositect в сообщении #634137 писал(а):

Коммутативность (перестановочность) сложения имеет отношение только к первому понятию из приведенного вами списка

Хм. Непонятно почему. По-моему, в любом из четырёх указанных смыслов свойство коммутативности не является тривиальным.

Плохо выразился. Имеется в виду, что коммутативность - это свойство сложения как операции, а свойства алгоритмов и способов представления сложения являются его следствиями.

[epros]

Aritaborian в сообщении #634148 писал(а):

Это просто аксиома

И что? Нетривиальность и заключается в том, что нужна такая аксиома. В любом из указанных четырёх смыслов можно вообразить какое-нибудь "сложение" без неё.

[fnake]

Если я в корзину положу сначала три яблока, а потом еще два, то в корзине будет пять яблок. Количество яблок останется равным пяти, если я сначала буду класть два яблока, а потом еще три.

[_Ivana]

А почему аксиома, а не определение?

Цитата:

Определение сложения
В абстрактной алгебре сложением может называться любая бинарная, коммутативная и ассоциативная операция. В случае, если на этом множестве определено также умножение, то сложение предполагается дистрибутивным по отношению к нему.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%EB%EE%E6%E5%ED%E8%E5

ЗЫ хотя мне говорили, что в том коротком тексте есть ошибки.

[[+]]

Xaositect, большое спасибо. Но тогда мне не до конца ясно, почему, когда мы говорим о понятии суммы, мы вообще опираемся именно на понятие упорядоченной пары. Безусловно, если определять сумму как число, поставленное в соответствие упорядоченной паре чисел, тогда тот самый школьный закон отражает факт, что для любых a, b +(a, b) = +(b, a).

Но использование именно пары, да ещё упорядоченной, противоречит моей интуиции. Сейчас попробую объяснить. В моей картине мира сумма — это некоторая характеристика произвольного множества чисел. То есть, неважно, сколько их — два, три или 100500; смысл понятия суммы для меня не различается. Наоборот, мне весьма непривычно думать в таком контексте, где сумма двух чисел и сумма трёх чисел — это какие-то принципиально разные сущности.

Грубо говоря, представим себе абстрактный идеальный мешок, допустим, с абстрактными идеальными монетами. С каждой монетой связано число — например, её вес. Вес целого мешка монет — это то же самое, что сумма весов всех отдельных монет. Или рассмотрим не вес, а денежное достоинство. Аналогично, общая стоимость мешка — то же, что сумма достоинств отдельных монет в мешке.

По-моему, при таком понимании смысл понятия «сумма» никак не опирается на какое-либо конкретное количество слагаемых или на какой-то определённый их порядок. В мешке может быть одна монета, две, сто и так далее — для сути дела это неважно.

Собственно, именно такое понимание суммы действует в обычной математике, когда используется знак ∑ с соответствующими индексами.

С моей точки зрения, определять сумму как какую-то характеристику именно двух слагаемых — это всё равно что определять множество как совокупность ровно двух элементов. (А уже потом как-нибудь по-особому строить многоэлементные множества.) Для меня сумма из двух слагаемых — просто частный случай более базового понятия суммы, как я описал выше.

То есть, резюмирую: почему мы определяем сумму, опираясь на количество и порядок слагаемых, когда её суть, вообще говоря, по смыслу не зависит ни от того, ни от другого?

[migmit]

[+] в сообщении #634167 писал(а):

Но использование именно пары, да ещё упорядоченной, противоречит моей интуиции. Сейчас попробую объяснить. В моей картине мира сумма — это некоторая характеристика произвольного множества чисел. То есть, неважно, сколько их — два, три или 100500; смысл понятия суммы для меня не различается. Наоборот, мне весьма непривычно думать в таком контексте, где сумма двух чисел и сумма трёх чисел — это какие-то принципиально разные сущности.

1) Техническое замечание: в множестве каждый элемент содержится максимум один раз. Так что получается, что сумма множества $\{2,2\}$ равна $2$.
2) Как насчёт разности?

[Aritaborian]

migmit в сообщении #634168 писал(а):

Как насчёт разности?

Нет такой операции: «разность». Есть прибавление обратного по сложению элемента.

[epros]

(Оффтоп)

fnake в сообщении #634159 писал(а):

Количество яблок останется равным пяти, если я сначала буду класть два яблока, а потом еще три.

Глубокая мысль.

_Ivana в сообщении #634160 писал(а):

А почему аксиома, а не определение?

А что такое определение? Насколько я знаю, определение некоего термина $\text{isSomething}$ обычно вводится в теорию примерно такой аксиомой:

$\forall x ~ \text{isSomethind}(x) \leftrightarrow \dots$, где на месте троеточия приводятся формулы, определяющие все нужные нам свойства $x$, в числе коих может быть и свойство коммутативности интересующей нас операции.

-- Пн окт 22, 2012 17:29:40 --

[+] в сообщении #634167 писал(а):

Наоборот, мне весьма непривычно думать в таком контексте, где сумма двух чисел и сумма трёх чисел — это какие-то принципиально разные сущности.

Уууу, а что мешает сумму нескольких слагаемых интерпретировать как последовательное применение суммы двух слагаемых?

[migmit]

Aritaborian в сообщении #634170 писал(а):

migmit в сообщении #634168 писал(а):

Как насчёт разности?

Нет такой операции: «разность». Есть прибавление обратного по сложению элемента.

Как это "нет"? Вот: $d :: R\times R\to R$; $d(a, b) = a + (-b)$.

[Aritaborian]

epros в сообщении #634174 писал(а):

Уууу, а что мешает сумму нескольких слагаемых интерпретировать как последовательное применение суммы двух слагаемых?

Тут ещё и свойство ассоциативности внезапно встревает ;-D

migmit в сообщении #634175 писал(а):

Как это "нет"?

Ну хорошо, есть ;-) Имел в виду, что это производная операция, а не одна из основных.
Кстати, что за обозначение: $::$? Не припомню такого... «По определению», что ли?

[epros]

[+] в сообщении #634167 писал(а):

это всё равно что определять множество как совокупность ровно двух элементов. (А уже потом как-нибудь по-особому строить многоэлементные множества.)

О, кстати именно так и происходит: определяется пустое множество и с помощью аксиомы пары из него строятся любые конечные множества. А потом уже с помощью аксиомы бесконечности и прочих аксиом из них строятся любые другие множества.

А в арифметике натуральных чисел, между прочим, сложение определяется через инкремент. И в этом, по-моему, заложена куда более сильная "интуиция", чем про все мешки с монетами.