Коммутативность (перестановочность) сложения имеет отношение только к первому понятию из приведенного вами списка. Все эти понятия действительно имеют место быть и их часто нужно различать.
Сложение, как Вы правильно заметили, это бинарная операция, т.е. отображение из

в

, или, по-школьному, некоторое соответствие, согласно которому паре чисел

сопоставляется их сумма

.
Однако в паре чисел всегда одно идет первым, а другое вторым. Поэтому никто не запрещает бинарной операции ставить разные числа
разным парам

и

. И действительно, опять же из школы можно привести пример - вычитание. Оно тоже сопоставляет паре чисел

одно число - их разность

, причем при разных

и

значения

и

различны.
Сложение же, в отличие от вычитания, обладает особым свойством: при любых

и

значение суммы

всегда такое же, как и

. Именно этот факт и называется коммутативностью сложения или переместительным законом.
Заметьте, что этот факт не зависит ни от способа вычисления суммы, ни от способа представления, поэтому он относится только к операции сложения как таковой, и не относится к остальным трем понятиям, о которых Вы написалы.