О физическом смысле

[Профессор Снэйп]

migmit в сообщении #633210 писал(а):

Думаю, топикстартер имел в виду не столько "каков физический смысл", сколько "как можно наглядно представить".

Ну и это тоже, наверное... Мне просто кажется, что должен быть какой-то интересный смысл.

[newtonas]

Профессор Снэйп в сообщении #633229 писал(а):

Ну и это тоже, наверное... Мне просто кажется, что должен быть какой-то интересный смысл.

Потрясающие знания физики и математики демонстрируют участники форума.
Вы абсолютно правы, уважаемый профессор Снэйп, физический смысл у Вашего вопроса:

Цитата:

Рассмотрим линейный оператор из в , разворачивающий плоскость на 90 градусов вокруг начала координат. У него есть собственный вектор с комплексными координатами и комплексным собственным значением. В чём физический смысл такого собственного вектора?

действительно есть, причем очень глубокий.
Этот "физический смысл" в физике и математике называется "центральным полем".
Движение в "центральном поле" смотрите, например, Ландау, Лифшиц,"Механика", или любой другой учебник физики.
Понятие "центрального поля" (без определения!) в физику и математику ввел Ньютон в своих "Математических началах натуральной философии".
Видимо Ньютон считал это понятие "центрального поля" достаточно очевидным, поэтому не дал ему никакого определения.

Движение (и поворот) в центральном поле (или центрального поля) довольно сильно отличается от обычного поворота системы координат (или в системе координат).

Но я не хочу нарушать ход Вашей чрезвычайно содержательной дискуссии. Пусть участники дискуссии попытаются сами найти ответ на вопрос:
Чем отличается поворот (движение) в "центральном поле" от простого поворота системы (или во вращающейся системе)?

Посмотрим, насколько развита фантазия у участников.

[Toucan]

newtonas забанен как клон временно заблокированного пользователя ozes
Бан пользователя ozes переходит в постоянный.

-- Вс 21.10.12 01:43:32 --

Утундрий в сообщении #633009 писал(а):

Вам не понять.

Утундрий, замечание за бессодержательное сообщение и личные выпады

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #633160 писал(а):

Не, ну вот чисто интересно. Если собственный вектор умножить на $i$, то он повернётся вокруг начала координат на 90 градусов...

Давайте так: вы его сначала нарисуйте на плоскости $\mathbb{R}^2,$ а потом говорите, куда он повернётся. Иначе это приложение действий к неопределённым сущностям.

[shwedka]

Профессор Снэйп в сообщении #633160 писал(а):

Не, ну вот чисто интересно. Если собственный вектор умножить на $i$, то он повернётся вокруг начала координат на 90 градусов...

Он никуда не повернется. Умножить собственный вектор (как и никакой другой !) на $i$ нельзя, поскольку в рассматриваемом пространстве такая операция не определена.

[Munin]

А собственный нельзя ещё и потому, что в рассматриваемом пространстве собственного вектора у данного оператора нет.

[migmit]

Народ, ну прекратите нести ерунду. $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}^2\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}$ канонически вкладывается в $\mathbb{R}^2\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=\mathbb{C}^2$, а любой элемент $\mathop{End}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^2)$ канонически же поднимается до элемента $\mathop{End}_{\mathbb{C}}(\mathbb{C}^2)$. А канонически вкладываемые вещи принято отождествлять со своими образами, если только нет очень серьёзных причин этого не делать. Так что у оператора поворота есть собственный вектор с собственным числом $i$.

[Munin]

migmit в сообщении #633820 писал(а):

А канонически вкладываемые вещи принято отождествлять со своими образами, если только нет очень серьёзных причин этого не делать.

Скажите, у действительного уравнения $x^2+1=0$ есть корни? Или "есть очень серьёзные причины этого не делать"?

[shwedka]

migmit в сообщении #633820 писал(а):

$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}^2\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{R}$ канонически вкладывается в $\mathbb{R}^2\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=\mathbb{C}^2$

У нас, шведов, принято отвечать в точности на тот вопрос, который задан.
Если Вы у шведа спросили бы, не знает ли он, который час, он честно ответит, что знает. Если ТС имел в виду каноническое отождествление или что еще, ему никто не мешал это явно спросить. А у вас не так?

[Munin]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #633909 писал(а):

Если Вы у шведа спросили бы, не знает ли он, который час, он честно ответит, что знает.

Хочу быть шведом!

[shwedka]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #633918 писал(а):

shwedka в сообщении #633909 писал(а):
Если Вы у шведа спросили бы, не знает ли он, который час, он честно ответит, что знает.

Хочу быть шведом!

Это, как воспринимать: как предложение руки и сердца? Или как подачу заявления на конкурс (мы сейчас как раз профессора по финансовой математике ищем)?

[migmit]

Munin в сообщении #633882 писал(а):

migmit в сообщении #633820 писал(а):

А канонически вкладываемые вещи принято отождествлять со своими образами, если только нет очень серьёзных причин этого не делать.

Скажите, у действительного уравнения $x^2+1=0$ есть корни? Или "есть очень серьёзные причины этого не делать"?

Munin, вас не подменили? Извините, но мне кажется, я с каким-то альтом разговариваю, употребляющим термины собственного сочинения. Например, "действительное уравнение".

Вот если вы меня спросите "есть ли у этого уравнения корни в поле $\mathbb{R}$", то я пойму.

[shwedka]

migmit в сообщении #633924 писал(а):

Munin в сообщении #633882 писал(а):

migmit в сообщении #633820 писал(а):

А канонически вкладываемые вещи принято отождествлять со своими образами, если только нет очень серьёзных причин этого не делать.

Скажите, у действительного уравнения $x^2+1=0$ есть корни? Или "есть очень серьёзные причины этого не делать"?

Munin, вас не подменили? Извините, но мне кажется, я с каким-то альтом разговариваю, употребляющим термины собственного сочинения. Например, "действительное уравнение".

Вот если вы меня спросите "есть ли у этого уравнения корни в поле $\mathbb{R}$", то я пойму.

Уж простите его!! Он ведь еще не швед!
Своим студентам я, конечно, такой вольности речи тоже не прощаю.

[migmit]

Так проблема не в "вольности речи", проблема в отсутствии смысла.

Если подразумевается "есть ли у этого уравнения вещественные корни", то ответ — нет, конечно. И это никак не зависит от того, считаем ли мы $\mathbb{R}$ подмножеством $\mathbb{C}$.

Если подразумевается "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни в $\mathbb{C}$", то ответ — конечно, есть. И проблемы в этом я не вижу в упор.

Munin явно считает, что какая-то проблема есть. Вот я и хочу понять, какая.

[Munin]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #633922 писал(а):

Это, как воспринимать: как предложение руки и сердца?

Огосоподи... Я думал, швед - это обозначение множества, а не индивидуума. Прошу простить.

migmit в сообщении #633924 писал(а):

Munin, вас не подменили? Извините, но мне кажется, я с каким-то альтом разговариваю, употребляющим термины собственного сочинения. Например, "действительное уравнение".

И здесь прошу прощения. Конечно же, уравнение в действительных числах. Совсем ленюсь языком шевелить, нехорошо это.

migmit в сообщении #633924 писал(а):

Вот если вы меня спросите "есть ли у этого уравнения корни в поле $\mathbb{R}$", то я пойму.

Зато я не пойму. Я привык считать, что алгебраическая система (группа, кольцо, поле, алгебра, представление группы, модуль, векторное пространство, например) первична, и только задав её, а также смысл в ней различных символов ($\cdot,+,=$), мы имеем право писать уравнения и обсуждать их решения. Нельзя записать цепочку символов "$x^2+1=0$", и обсуждать её саму по себе, придавая различный смысл в $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{Z}_2,\mathbb{R}[x],\mathbb{R}^n,$ например. Точнее, можно, но смысл этого занятия стремится к нулю, поскольку мы опираемся на неявные соглашения обозначать в этих системах одними символами неформально "похожие" вещи, и только.

migmit в сообщении #633958 писал(а):

Так проблема не в "вольности речи", проблема в отсутствии смысла.

Если подразумевается "есть ли у этого уравнения вещественные корни", то ответ — нет, конечно. И это никак не зависит от того, считаем ли мы $\mathbb{R}$ подмножеством $\mathbb{C}$.

Если бы я предложил рассматривать уравнение $x^2+1=0$ в вещественных числах, то как раз вопрос "есть ли у этого уравнения вещественные корни" не имел бы смысла, поскольку какие ещё они могут быть? Только если бы я предложил рассматривать уравнение $x^2+1=0$ в комплексных числах или гиперкомплексных числах, имело бы смысл спрашивать, относятся ли корни этого уравнения к некоторому подмножеству.

migmit в сообщении #633958 писал(а):

Если подразумевается "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни в $\mathbb{C}$", то ответ — конечно, есть. И проблемы в этом я не вижу в упор.

Munin явно считает, что какая-то проблема есть. Вот я и хочу понять, какая.

Если подходить совсем педантично, то $x^2+1=0$ - даже не элемент $\mathbb{R}[x],$ это $x^2+1$ - элемент $\mathbb{R}[x].$

Но допустим. Вы говорите, что на вопрос "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни в $\mathbb{C}$" у вас ответ - есть. Но я задал другой вопрос, в переводе на ваш: "есть ли у этого элемента $\mathbb{R}[x]$ корни". Не в $\mathbb{C},$ я этого не указывал, понимаете? Точно так же, как не указывал "в $\mathbb{H}$", "в $L^2[0,1]$" и т. п. $\mathbb{R}$ может быть вложено много куда, канонически вложено, и подразумевать постоянно вложение в $\mathbb{C}$ - это мне кажется неоправданной расхлябанностью. Оправданной, может быть, в некоторых прикладных областях, где постоянно только с $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$ и приходится иметь дело.