2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 01:37 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть $\alpha$ разлагается в непрерывную дробь $[q_1; q_2, q_3, \dots]$ и $\delta_k=\frac{P_k}{Q_k}=[q_1; q_2, \dots, q_k]$.
Доказать, что при $s\geqslant 2$ выполняется неравенство $$|\alpha-\delta_{s-1}|\leqslant \frac{1}{Q_sQ_{s-1}}$$Мне кажется, что это неравенство вытекает из следующих неравенств:$$\delta_s-\delta_{s-1}=\frac{(-1)^s}{Q_sQ_{s-1}}$$$$\delta_1<\delta_3<\delta_5<\dots<\alpha<\dots<\delta_6<\delta_4<\delta_2$$Первое неравенство я доказал. Второе доказал частично, а именно последовательно $\delta_k$ с нечетными индексами возрастает, а с четными индексами убывает. Но вот как доказать, что при нечетном $m$ и четном $n$ выполняется $$\delta_m <\alpha< \delta_n$$Мне кажется, что если я пойму как выводится последнее неравенство, то $$|\alpha-\delta_{s-1}|\leqslant \frac{1}{Q_sQ_{s-1}}$$ вытекает оттуда.
Поэтому вопрос ставится такой: помогите доказать, что при нечетном $m$ и четном $n$ выполняется $$\delta_m <\alpha< \delta_n$$
С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 07:32 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Почитайте например главу 8 у Нестеренко "Теория чисел", там все доказательства достаточно подробно описаны (и в частности то, что Вам требуется на стр. 194). Учитывая, что получаются вложенные отрезки следуют неравенства $\delta_m<\alpha<\delta_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
chessar в сообщении #632706 писал(а):
Должно быть наоборот: слева чётные, справа нечётные

Это зависит от начала нумерации неполных частных - с нуля или с единицы. ТС начинает с единицы, а Нестеренко, если у него наоборот - с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 08:29 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
bot в сообщении #632711 писал(а):
Это зависит от начала нумерации неполных частных - с нуля или с единицы. ТС начинает с единицы, а Нестеренко, если у него наоборот - с нуля.
Да конечно, Вы правы. Исправил своё предыдущее сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 14:46 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
chessar
Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 14:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Whitaker в сообщении #632826 писал(а):
chessar
Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?

Знаменатель всегда натуральное число и для $k=0,k=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 14:51 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Whitaker в сообщении #632826 писал(а):
Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?
Верно.

-- Пт окт 19, 2012 15:54:21 --

Руст в сообщении #632830 писал(а):
Знаменатель всегда натуральное число и для $k=0,k=1$.
$k=0$ в обозначениях TC нет. Я уже в этом тоже ошибся в своём 1-ом (уже исправленном) ответе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 14:55 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
chessar
я буквально почти все прочитал и понял, но остался такой момент, который мне не совсем понятно.
Я доказал, что при $s\geqslant 3$ последовательность $Q_s$ строго возрастает.
Кроме того верно равенство $Q_s=q_sQ_{s-1}+Q_{s-2}$
В книге пишется, что последовательность $Q_s$ стремится к бесконечности, если последовательность $q_i$ бесконечна.
Что они здесь имеют в виду:
- $q_i$ стремится к бесконечности?
- или в $q_i$ бесконечно много членов?

-- Пт окт 19, 2012 15:27:45 --

Хотя на самом деле последовательность $q_i$ нам вообще не нужна.
При $n\geqslant 3$ последовательность $Q_i$ строго возрастает и $Q_i\in \mathbb{N}$ и отсюда очевидно, что она итак стремится к $+\infty$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 15:37 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Ну очевидно, что если в $q_i$ бесконечно много членов. Но это уже предполагается вначале. Так что всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 17:31 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Прочитал Ю.В. Нестеренко "Теория чисел" и разобрался в неравенстве.
Действительно, получаем: $$|\alpha-\delta_s|<\frac{1}{Q_{s-1}Q_s}$$Там говорится следующее: Пусть $\alpha$ - рациональное, т.е. $\alpha=\dfrac{a}{b}$, тогда получаем: $$|\alpha-\delta_s|=\left|\dfrac{a}{b}-\dfrac{P_s}{Q_s}\right|=\left|\dfrac{aQ_s-bP_s}{bQ_s}\right|\geqslant\frac{1}{|bQ_s|}$$Сравнив получившееся неравенство с первым, находим $Q_{s-1}<b$, что невозможно при всех $s$, ведь последовательность $Q_s$ стремится к бесконечности. Противоречие. Значит, $\alpha$ иррационально.
Почему $|aQ_s-bP_s|\geqslant 1$?

Я вроде так понял: Так как $\alpha=\dfrac{a}{b}$. Тогда существует такое $k+1$, что $\alpha=\delta_{k+1}$, но $\alpha\neq\delta_{k}$ и тогда:$$|\alpha-\delta_{k}|<\frac{1}{Q_{k}Q_{k-1}}}$$Но еще: $$|\alpha-\delta_{k}|=\left|\frac{aQ_k-bP_k}{bQ_k}\right|\geqslant \frac{1}{|bQ_k|}$$Так как $\alpha=\frac{a}{b} \neq \delta_k=\frac{P_k}{Q_k}$, то $|aQ_k-bP_k|\geqslant 1$

Скажите пожалуйста я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Whitaker в сообщении #632873 писал(а):
Почему $|aQ_s-bP_s|\geqslant 1$?

Если $\dfrac{a}{b}\ne \dfrac{m}{n}$, то $|an-bm|>0$ и поэтому $\geqslant 1$ - оно же целое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная дробь [Теория чисел]
Сообщение19.10.2012, 19:58 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
chessar
Большое Вам спасибо за помощь и за то, что указали необходимую литературу!
bot
Вам также спасибо! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group