Непрерывная дробь [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть $\alpha$ разлагается в непрерывную дробь $[q_1; q_2, q_3, \dots]$ и $\delta_k=\frac{P_k}{Q_k}=[q_1; q_2, \dots, q_k]$.
Доказать, что при $s\geqslant 2$ выполняется неравенство

$$|\alpha-\delta_{s-1}|\leqslant \frac{1}{Q_sQ_{s-1}}$$

Мне кажется, что это неравенство вытекает из следующих неравенств:

$$\delta_s-\delta_{s-1}=\frac{(-1)^s}{Q_sQ_{s-1}}$$

$$\delta_1<\delta_3<\delta_5<\dots<\alpha<\dots<\delta_6<\delta_4<\delta_2$$

Первое неравенство я доказал. Второе доказал частично, а именно последовательно $\delta_k$ с нечетными индексами возрастает, а с четными индексами убывает. Но вот как доказать, что при нечетном $m$ и четном $n$ выполняется

$$\delta_m <\alpha< \delta_n$$

Мне кажется, что если я пойму как выводится последнее неравенство, то

$$|\alpha-\delta_{s-1}|\leqslant \frac{1}{Q_sQ_{s-1}}$$

вытекает оттуда.
Поэтому вопрос ставится такой: помогите доказать, что при нечетном $m$ и четном $n$ выполняется

$$\delta_m <\alpha< \delta_n$$

С уважением, Whitaker.

[chessar]

Почитайте например главу 8 у Нестеренко "Теория чисел", там все доказательства достаточно подробно описаны (и в частности то, что Вам требуется на стр. 194). Учитывая, что получаются вложенные отрезки следуют неравенства $\delta_m<\alpha<\delta_n$.

[bot]

chessar в сообщении #632706 писал(а):

Должно быть наоборот: слева чётные, справа нечётные

Это зависит от начала нумерации неполных частных - с нуля или с единицы. ТС начинает с единицы, а Нестеренко, если у него наоборот - с нуля.

[chessar]

bot в сообщении #632711 писал(а):

Это зависит от начала нумерации неполных частных - с нуля или с единицы. ТС начинает с единицы, а Нестеренко, если у него наоборот - с нуля.

Да конечно, Вы правы. Исправил своё предыдущее сообщение.

[Whitaker]

chessar
Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?

[Руст]

Whitaker в сообщении #632826 писал(а):

chessar
Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?

Знаменатель всегда натуральное число и для $k=0,k=1$.

[chessar]

Whitaker в сообщении #632826 писал(а):

Если я правильно понимаю, то числа $Q_k>0$ для $k\geqslant 1$. Верно?

Верно.

-- Пт окт 19, 2012 15:54:21 --

Руст в сообщении #632830 писал(а):

Знаменатель всегда натуральное число и для $k=0,k=1$.

$k=0$ в обозначениях TC нет. Я уже в этом тоже ошибся в своём 1-ом (уже исправленном) ответе.

[Whitaker]

chessar
я буквально почти все прочитал и понял, но остался такой момент, который мне не совсем понятно.
Я доказал, что при $s\geqslant 3$ последовательность $Q_s$ строго возрастает.
Кроме того верно равенство $Q_s=q_sQ_{s-1}+Q_{s-2}$
В книге пишется, что последовательность $Q_s$ стремится к бесконечности, если последовательность $q_i$ бесконечна.
Что они здесь имеют в виду:
- $q_i$ стремится к бесконечности?
- или в $q_i$ бесконечно много членов?

-- Пт окт 19, 2012 15:27:45 --

Хотя на самом деле последовательность $q_i$ нам вообще не нужна.
При $n\geqslant 3$ последовательность $Q_i$ строго возрастает и $Q_i\in \mathbb{N}$ и отсюда очевидно, что она итак стремится к $+\infty$
Верно?

[chessar]

Ну очевидно, что если в $q_i$ бесконечно много членов. Но это уже предполагается вначале. Так что всё верно.

[Whitaker]

Прочитал Ю.В. Нестеренко "Теория чисел" и разобрался в неравенстве.
Действительно, получаем:

$$|\alpha-\delta_s|<\frac{1}{Q_{s-1}Q_s}$$

Там говорится следующее: Пусть $\alpha$ - рациональное, т.е. $\alpha=\dfrac{a}{b}$, тогда получаем:

$$|\alpha-\delta_s|=\left|\dfrac{a}{b}-\dfrac{P_s}{Q_s}\right|=\left|\dfrac{aQ_s-bP_s}{bQ_s}\right|\geqslant\frac{1}{|bQ_s|}$$

Сравнив получившееся неравенство с первым, находим $Q_{s-1}<b$, что невозможно при всех $s$, ведь последовательность $Q_s$ стремится к бесконечности. Противоречие. Значит, $\alpha$ иррационально.
Почему $|aQ_s-bP_s|\geqslant 1$?

Я вроде так понял: Так как $\alpha=\dfrac{a}{b}$. Тогда существует такое $k+1$, что $\alpha=\delta_{k+1}$, но $\alpha\neq\delta_{k}$ и тогда:

$$|\alpha-\delta_{k}|<\frac{1}{Q_{k}Q_{k-1}}}$$

Но еще:

$$|\alpha-\delta_{k}|=\left|\frac{aQ_k-bP_k}{bQ_k}\right|\geqslant \frac{1}{|bQ_k|}$$

Так как $\alpha=\frac{a}{b} \neq \delta_k=\frac{P_k}{Q_k}$, то $|aQ_k-bP_k|\geqslant 1$

Скажите пожалуйста я правильно понял?

[bot]

Whitaker в сообщении #632873 писал(а):

Почему $|aQ_s-bP_s|\geqslant 1$?

Если $\dfrac{a}{b}\ne \dfrac{m}{n}$, то $|an-bm|>0$ и поэтому $\geqslant 1$ - оно же целое.

[Whitaker]

chessar
Большое Вам спасибо за помощь и за то, что указали необходимую литературу!
bot
Вам также спасибо!