Аксиомы "не математики"

[Lukin]

epros в сообщении #631669 писал(а):

Может быть Вы хотели сказать, что существование и единственность действительного числа с точки зрения классического анализа не означают его вычислимости? Да, это так. Но речь-то была о "невычислимости" доказательства некоего утверждения. Какого?

Вопрос не совсем ясен. "Какого ?" - это к чему относится: к утверждению или его доказательству ?
Допустим, Вы имели в виду, о каком утверждении можно сказать, что доказательство его не вычислимо. Я думаю, по определению, это любая аксиома (не избыточная, естественно). Если, конечно, не считать "вычислением" сам факт ее существования. Можно зайти и с другой стороны. Геделевское предложение не доказуемо, но факт его существования доказуем.
Допустим, Вы имели в виду "невычислимое доказательство ". Первое, что лезет в голову (если отбросить бесконечности), это явное предъявление алгоритма, вычисляющего число $\Sigma (5)$.
Пока, мне, например, неочевидно, является ли число $\Sigma (5)$ натуральным (конечным).

[epros]

Lukin в сообщении #631757 писал(а):

Вопрос не совсем ясен. "Какого ?" - это к чему относится: к утверждению или его доказательству ?

Речь о «невычислимости» доказательства какого утверждения?

Lukin в сообщении #631757 писал(а):

Допустим, Вы имели в виду "невычислимое доказательство". Первое, что лезет в голову (если отбросить бесконечности), это явное предъявление алгоритма, вычисляющего число $\Sigma(5)$.

Не пойдёт. Нужно какое-нибудь утверждение о данном числе. Любое. Например, что оно - чётное. Или простое. Или больше, чем $10^{10^{10}}$. Или что оно существует. Для последнего есть доказательство.

Кстати, с точки зрения классического анализа все эти доказательства «вычислимы», если утверждаемое - верно. Независимо от того, доказано утверждение в данный момент или нет.

[Lukin]

epros в сообщении #631870 писал(а):

Или что оно существует. Для последнего есть доказательство.
Кстати, с точки зрения классического анализа все эти доказательства «вычислимы», если утверждаемое - верно. Независимо от того, доказано утверждение в данный момент или нет.

Опять не совсем понял. Например, как из доказательства существования Геделевского предложения следует, что его номер четный/нечетный ?
Аналогично, есть доказательство существования числа $\Sigma (5)$, как из этого следует его натуральность, четность и прочее ?

В ретроспективе, еще пример, $2+2=4$ - существует континуум(по крайне мере, счетно-бесконечное множество) доказательств этого утверждения.
Очевидно, среди них есть и невычислимое доказательство (если диагонализировать).

Вопрос в другом, если конечных доказательств нет, есть ли "бесконечное" доказательство ?
Как вычисление, естественно, недоступное, но как измерение - вполне.

[Someone]

Lukin, а Вы хотя бы знаете, о какой задаче идёт речь?

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631922 писал(а):

В ретроспективе, еще пример, $2+2=4$ - существует континуум(по крайне мере, счетно-бесконечное множество) доказательств этого утверждения.
Очевидно, среди них есть и невычислимое доказательство (если диагонализировать).

А что такое "невычислимое доказательство"? Любое множество доказательств будет перечислимым. Если оно есть, то мы всегда сможем его найти.

[Lukin]

Ribocyte в сообщении #631934 писал(а):

А что такое "невычислимое доказательство"? Любое множество доказательств будет перечислимым.

Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.

Someone в сообщении #631926 писал(а):

Lukin, а Вы хотя бы знаете, о какой задаче идёт речь?

Someone, Я Вас очень уважаю, но мы с epros в какой-то теме уже "бились" на тему "усердных бобров", я, пока, свое мнение на эту проблему не изменил.
Вы скупо комментируете мои вопросы и комментарии, прошу Вас, высказывайтесь конкретней (как и epros), иначе я так и не пойму, есть границы у "математики" или нет.

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631950 писал(а):

Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.

Аксиома выбора не имеет отношение к перичислимости множества доказательств. Она - следствие того факта, что для любого текста, являющегося доказательством должен существовать алгоритм, с помощью которого мы можем различать тексты, являющиеся доказательствами и не являющиеся.
Далее, следите за мыслью. Множество всех текстов перечислимо (тривиально). Подмножество доказательств в них - разрешимо. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо (есть такая теорема).
Возьмите брошюрку Успенского "Теорема Геделя о неполноте" и прочитайте только первые страниц где-то 20 - всё станет на свои места. Поверьте.

-- 17.10.2012, 15:52 --

Lukin в сообщении #631950 писал(а):

Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.

Есть, кстати, куча множеств счётных, но неперичислимых - например, множество истин в арифметике первого порядка с операциями сложения и умножения.

[Lukin]

Ribocyte в сообщении #631957 писал(а):

Аксиома выбора не имеет отношение к перичислимости множества доказательств. Она - следствие того факта, что для любого текста, являющегося доказательством должен существовать алгоритм, с помощью которого мы можем различать тексты, являющиеся доказательствами и не являющиеся.

Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора", (спросите у Someone), хотя понятие "конечности" модели-зависимое.
Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.
На Ваш вопрос отвечаю Вашей же цитатой:

Ribocyte в сообщении #631957 писал(а):

Есть, кстати, куча множеств счётных, но неперичислимых - например, множество истин в арифметике первого порядка с операциями сложения и умножения

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631965 писал(а):

Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора"

Значит, Вы не поняли мысль. Хорошо, подробнее.
1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
3. В множестве всех текстов есть РАЗРЕШИМОЕ подмножество доказательство.
4. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо, поэтому множество доказательств перечислимо.

Вы хотите всерьёз опровергнуть 4-й пункт? Пойдете вразрез с канонами матлогики.

-- 17.10.2012, 16:05 --

Lukin в сообщении #631965 писал(а):

Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора"

Из факта конечности элементов какого-то БЕСКОНЕЧНОГО множества и аксиомы выбора НЕ СЛЕДУЕТ его перечислимость. Вы можете закодировать конечными множествами (например, 0, {0}, {0,{0}} и т.д.) все высказывания в арифметике первого порядка с двумя операциями, но при этом множество таких конечных множеств, кодирующих истинные высказывания, будет неперечислимым. Это - контрпример тому утверждению, что якобы из конечности элементов и аксиомы выбора следует перечислимость множества.

[epros]

(Lukin)

Lukin в сообщении #631965 писал(а):

Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.

Похоже, что Вы совершенно ничего не поняли, так что даже и не знаю, что из Ваших постов мне комментировать.

[Lukin]

Цитата:

Значит, Вы не поняли мысль. Хорошо, подробнее.
1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
3. В множестве всех текстов есть РАЗРЕШИМОЕ подмножество доказательство.
4. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо.

Вы хотите всерьёз опровергнуть 4-й пункт? Пойдете вразрез с канонами матлогики.

Для начала, это было бы неплохо.
Ведь "аксиомы" отрицания Вашего утверждения, по Вашему: " пойдет вразрез с канонами матлогики", "выходят за рамки "математики",
о чем, собственно, и тема.
Т.е. Xaositect зря меня убеждал, что ВСЕ ЭТО МАТЕМАТИКА.

Ладно, допустим, так.
Возьмем пункт 1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
Согласен, а "область значений" обязательно перечислимое (или счетное) множество ?
Пункт 2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
Перечислимое - возможно (несчетное множество можно упорядочить, имея аксиому выбора), счетное - только, если каждый текст "конечен" (что моделе-зависимо).
Остальное тривиально.

epros в сообщении #631975 писал(а):

Lukin в сообщении #631965 писал(а):

Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.

Похоже, что Вы совершенно ничего не поняли, так что даже и не знаю, что из Ваших постов мне комментировать.

Это здесь не оффтоп, т.к. тема об утверждениях, не согласующихся с "математикой".
К очень большому сожалению, Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли.

[Ribocyte]

Lukin в сообщении #631983 писал(а):

Согласен, а "область значений" обязательно перечислимое (или счетное) множество ?

Да, область значений ТОЖЕ перечислимое множество.

-- 17.10.2012, 16:27 --

Lukin в сообщении #631983 писал(а):

Остальное тривиально.

Да, тривиально то, что Вы не правы, заявив, что якобы множество доказательств неперичислимо. Это невозможно. Обратное и правда доказывается тривиально.

Если Вы ставите вопрос о том, какие знания об абстракциях могут быть за рамками той математики, что сейчас принята, то мой ответ - та, что основана на физической эмпирике, выходящей за рамки манипулирования нумеруемыми символами. Обоснование - см. выше в предыдущих постах.

[epros]

(Оффтоп)

Lukin в сообщении #631983 писал(а):

Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли

Подождём внятных вопросов.

[Lukin]

Ribocyte в сообщении #631985 писал(а):

Если Вы ставите вопрос о том, какие знания об абстракциях могут быть за рамками той математики, что сейчас принята, то мой ответ - та, что основана на физической эмпирике, выходящей за рамки манипулирования нумеруемыми символами. Обоснование - см. выше в предыдущих постах.

Ок. Мнея Ваш ответ устраивает, хотя я и не считаю, что "выход за пределы математики" связан непременно с эмпирикой, т.к. уже многократно сталкивался со "стеной непонимания", при чисто формальном отрицании некоторых формальных вещей.

(Оффтоп)

epros в сообщении #631988 писал(а):

Lukin в сообщении #631983 писал(а):

Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли

Подождём внятных вопросов.

Ну...ждите, что еще я могу сказать, надеюсь, доживете...

[Ribocyte]

Вообще, ув. Lukin, Ваш вопрос мне тоже интересен.
Математика в широком смысле - знания о точных абстракциях. А что тогда такое нематематика? Получаем внятные представления об абстракциях - получаем математику.
Правда я бы его сформулировал (дело, как говорится, авторское ) по другому - можно ли расширить наши знания о мире абстракций, получая их иными методами, нежели принятыми в математике?
На мой взгляд, никаких других подходов, кроме эмпирики нет. А логический вывод - это ведь тоже частный случай эмпирики. Просто сами методы эмпирики мы можем расширить.
Помните, что есть некое интуитивное представление об алгоритмах, а есть разные уточнения.
Если вычисление - разновидность измерения, то почему бы не представить, что есть интуитивные представления об измерении, а есть уточнения? И попытаться придать этому точный смысл?
Первое расширение - квантовые вычисления.
Можно ли подойти по другому?