2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Математические аксиомы - крохотная часть всех возможных точных теорий
Да 18%  18%  [ 6 ]
Нет 18%  18%  [ 6 ]
Затрудняюсь ответить 3%  3%  [ 1 ]
Не понимаю о чем речь 62%  62%  [ 21 ]
Всего голосов : 34
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение16.10.2012, 20:48 


06/07/11
192
epros в сообщении #631669 писал(а):
Может быть Вы хотели сказать, что существование и единственность действительного числа с точки зрения классического анализа не означают его вычислимости? Да, это так. Но речь-то была о "невычислимости" доказательства некоего утверждения. Какого?

Вопрос не совсем ясен. "Какого ?" - это к чему относится: к утверждению или его доказательству ?
Допустим, Вы имели в виду, о каком утверждении можно сказать, что доказательство его не вычислимо. Я думаю, по определению, это любая аксиома (не избыточная, естественно). Если, конечно, не считать "вычислением" сам факт ее существования. Можно зайти и с другой стороны. Геделевское предложение не доказуемо, но факт его существования доказуем.
Допустим, Вы имели в виду "невычислимое доказательство ". Первое, что лезет в голову (если отбросить бесконечности), это явное предъявление алгоритма, вычисляющего число $\Sigma (5)$.
Пока, мне, например, неочевидно, является ли число $\Sigma (5)$ натуральным (конечным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 08:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Lukin в сообщении #631757 писал(а):
Вопрос не совсем ясен. "Какого ?" - это к чему относится: к утверждению или его доказательству ?
Речь о «невычислимости» доказательства какого утверждения?

Lukin в сообщении #631757 писал(а):
Допустим, Вы имели в виду "невычислимое доказательство". Первое, что лезет в голову (если отбросить бесконечности), это явное предъявление алгоритма, вычисляющего число $\Sigma(5)$.
Не пойдёт. Нужно какое-нибудь утверждение о данном числе. Любое. Например, что оно - чётное. Или простое. Или больше, чем $10^{10^{10}}$. Или что оно существует. Для последнего есть доказательство.

Кстати, с точки зрения классического анализа все эти доказательства «вычислимы», если утверждаемое - верно. Независимо от того, доказано утверждение в данный момент или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 11:35 


06/07/11
192
epros в сообщении #631870 писал(а):
Или что оно существует. Для последнего есть доказательство.
Кстати, с точки зрения классического анализа все эти доказательства «вычислимы», если утверждаемое - верно. Независимо от того, доказано утверждение в данный момент или нет.

Опять не совсем понял. Например, как из доказательства существования Геделевского предложения следует, что его номер четный/нечетный ?
Аналогично, есть доказательство существования числа $\Sigma (5)$, как из этого следует его натуральность, четность и прочее ?

В ретроспективе, еще пример, $2+2=4$ - существует континуум(по крайне мере, счетно-бесконечное множество) доказательств этого утверждения.
Очевидно, среди них есть и невычислимое доказательство (если диагонализировать).

Вопрос в другом, если конечных доказательств нет, есть ли "бесконечное" доказательство ?
Как вычисление, естественно, недоступное, но как измерение - вполне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Lukin, а Вы хотя бы знаете, о какой задаче идёт речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 11:51 


13/10/12
39
Lukin в сообщении #631922 писал(а):
В ретроспективе, еще пример, $2+2=4$ - существует континуум(по крайне мере, счетно-бесконечное множество) доказательств этого утверждения.
Очевидно, среди них есть и невычислимое доказательство (если диагонализировать).
А что такое "невычислимое доказательство"? Любое множество доказательств будет перечислимым. Если оно есть, то мы всегда сможем его найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 12:32 


06/07/11
192
Ribocyte в сообщении #631934 писал(а):
А что такое "невычислимое доказательство"? Любое множество доказательств будет перечислимым.

Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.
Someone в сообщении #631926 писал(а):
Lukin, а Вы хотя бы знаете, о какой задаче идёт речь?

Someone, Я Вас очень уважаю, но мы с epros в какой-то теме уже "бились" на тему "усердных бобров", я, пока, свое мнение на эту проблему не изменил.
Вы скупо комментируете мои вопросы и комментарии, прошу Вас, высказывайтесь конкретней (как и epros), иначе я так и не пойму, есть границы у "математики" или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 12:47 


13/10/12
39
Lukin в сообщении #631950 писал(а):
Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.

Аксиома выбора не имеет отношение к перичислимости множества доказательств. Она - следствие того факта, что для любого текста, являющегося доказательством должен существовать алгоритм, с помощью которого мы можем различать тексты, являющиеся доказательствами и не являющиеся.
Далее, следите за мыслью. Множество всех текстов перечислимо (тривиально). Подмножество доказательств в них - разрешимо. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо (есть такая теорема).
Возьмите брошюрку Успенского "Теорема Геделя о неполноте" и прочитайте только первые страниц где-то 20 - всё станет на свои места. Поверьте.

-- 17.10.2012, 15:52 --

Lukin в сообщении #631950 писал(а):
Перечислимым - да (аксиома выбора) счетным - нет. Алгоритмичность я, все-же, связываю со счетностью, а не с перечислимостью.

Есть, кстати, куча множеств счётных, но неперичислимых - например, множество истин в арифметике первого порядка с операциями сложения и умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 12:59 


06/07/11
192
Ribocyte в сообщении #631957 писал(а):
Аксиома выбора не имеет отношение к перичислимости множества доказательств. Она - следствие того факта, что для любого текста, являющегося доказательством должен существовать алгоритм, с помощью которого мы можем различать тексты, являющиеся доказательствами и не являющиеся.

Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора", (спросите у Someone), хотя понятие "конечности" модели-зависимое.
Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.
На Ваш вопрос отвечаю Вашей же цитатой:
Ribocyte в сообщении #631957 писал(а):
Есть, кстати, куча множеств счётных, но неперичислимых - например, множество истин в арифметике первого порядка с операциями сложения и умножения

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:03 


13/10/12
39
Lukin в сообщении #631965 писал(а):
Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора"

Значит, Вы не поняли мысль. Хорошо, подробнее.
1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
3. В множестве всех текстов есть РАЗРЕШИМОЕ подмножество доказательство.
4. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо, поэтому множество доказательств перечислимо.

Вы хотите всерьёз опровергнуть 4-й пункт? Пойдете вразрез с канонами матлогики.

-- 17.10.2012, 16:05 --

Lukin в сообщении #631965 писал(а):
Это следствие "конечности" доказательств и "аксиомы выбора"
Из факта конечности элементов какого-то БЕСКОНЕЧНОГО множества и аксиомы выбора НЕ СЛЕДУЕТ его перечислимость. Вы можете закодировать конечными множествами (например, 0, {0}, {0,{0}} и т.д.) все высказывания в арифметике первого порядка с двумя операциями, но при этом множество таких конечных множеств, кодирующих истинные высказывания, будет неперечислимым. Это - контрпример тому утверждению, что якобы из конечности элементов и аксиомы выбора следует перечислимость множества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834

(Lukin)

Lukin в сообщении #631965 писал(а):
Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.
Похоже, что Вы совершенно ничего не поняли, так что даже и не знаю, что из Ваших постов мне комментировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:24 


06/07/11
192
Цитата:
Значит, Вы не поняли мысль. Хорошо, подробнее.
1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
3. В множестве всех текстов есть РАЗРЕШИМОЕ подмножество доказательство.
4. Разрешимое подмножество перечислимого множества перечислимо.

Вы хотите всерьёз опровергнуть 4-й пункт? Пойдете вразрез с канонами матлогики.

Для начала, это было бы неплохо.
Ведь "аксиомы" отрицания Вашего утверждения, по Вашему: " пойдет вразрез с канонами матлогики", "выходят за рамки "математики",
о чем, собственно, и тема.
Т.е. Xaositect зря меня убеждал, что ВСЕ ЭТО МАТЕМАТИКА.

Ладно, допустим, так.
Возьмем пункт 1. Область применимости ЛЮБОГО алгоритма - ВСЕГДА перечислимое множество и никак иначе.
Согласен, а "область значений" обязательно перечислимое (или счетное) множество ?
Пункт 2. В алфавите доказательств мы можем иметь ПЕРЕЧИСЛИМОЕ счетное множество всех текстов.
Перечислимое - возможно (несчетное множество можно упорядочить, имея аксиому выбора), счетное - только, если каждый текст "конечен" (что моделе-зависимо).
Остальное тривиально.

epros в сообщении #631975 писал(а):
Lukin в сообщении #631965 писал(а):
Вы уж, извините, я подожду, ответов epros и Someone.
Похоже, что Вы совершенно ничего не поняли, так что даже и не знаю, что из Ваших постов мне комментировать.

Это здесь не оффтоп, т.к. тема об утверждениях, не согласующихся с "математикой".
К очень большому сожалению, Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:26 


13/10/12
39
Lukin в сообщении #631983 писал(а):
Согласен, а "область значений" обязательно перечислимое (или счетное) множество ?
Да, область значений ТОЖЕ перечислимое множество.

-- 17.10.2012, 16:27 --

Lukin в сообщении #631983 писал(а):
Остальное тривиально.

Да, тривиально то, что Вы не правы, заявив, что якобы множество доказательств неперичислимо. Это невозможно. Обратное и правда доказывается тривиально.

Если Вы ставите вопрос о том, какие знания об абстракциях могут быть за рамками той математики, что сейчас принята, то мой ответ - та, что основана на физической эмпирике, выходящей за рамки манипулирования нумеруемыми символами. Обоснование - см. выше в предыдущих постах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834

(Оффтоп)

Lukin в сообщении #631983 писал(а):
Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли
Подождём внятных вопросов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение17.10.2012, 13:37 


06/07/11
192
Ribocyte в сообщении #631985 писал(а):
Если Вы ставите вопрос о том, какие знания об абстракциях могут быть за рамками той математики, что сейчас принята, то мой ответ - та, что основана на физической эмпирике, выходящей за рамки манипулирования нумеруемыми символами. Обоснование - см. выше в предыдущих постах.

Ок. Мнея Ваш ответ устраивает, хотя я и не считаю, что "выход за пределы математики" связан непременно с эмпирикой, т.к. уже многократно сталкивался со "стеной непонимания", при чисто формальном отрицании некоторых формальных вещей.

(Оффтоп)

epros в сообщении #631988 писал(а):
Lukin в сообщении #631983 писал(а):
Вы ничего "внятного" (на мои вопросы, а не на свои) в тему не внесли
Подождём внятных вопросов.

Ну...ждите, что еще я могу сказать, надеюсь, доживете...

 Профиль  
                  
 
 Re: Аксиомы "не математики"
Сообщение18.10.2012, 04:23 


13/10/12
39
Вообще, ув. Lukin, Ваш вопрос мне тоже интересен.
Математика в широком смысле - знания о точных абстракциях. А что тогда такое нематематика? Получаем внятные представления об абстракциях - получаем математику.
Правда я бы его сформулировал (дело, как говорится, авторское :-) ) по другому - можно ли расширить наши знания о мире абстракций, получая их иными методами, нежели принятыми в математике?
На мой взгляд, никаких других подходов, кроме эмпирики нет. А логический вывод - это ведь тоже частный случай эмпирики. Просто сами методы эмпирики мы можем расширить.
Помните, что есть некое интуитивное представление об алгоритмах, а есть разные уточнения.
Если вычисление - разновидность измерения, то почему бы не представить, что есть интуитивные представления об измерении, а есть уточнения? И попытаться придать этому точный смысл?
Первое расширение - квантовые вычисления.
Можно ли подойти по другому?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 142 ]  На страницу Пред.  1 ... 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group