Группы и представляющий функтор

[xmaister]

Пусть есть категория $\mathscr{A}$ и фиксирован какой-то $A\in\mathrm{Ob}(\mathscr{A})$. Определим $M_A:\mathscr{A}\to\mathcal{S}$, где $\mathcal{S}$- категория множеств, следующим образом: $M_A(X)=\mathrm{Hom}(A,X)$, для всякого $X\in\mathrm{Ob}(\mathscr{A})$ и, если $\varphi: X\to X'$, то $M_A(\varphi)$- морфизм, т.ч. $g\mapsto \varphi\circ g$. Сказано, что такой функтор называется представляющим (ковариантным).
И вот дальше написано

Хотя этот функтор на предыдущий совсем не похож. $M(S,G)$- множество всех отображений множества $S$ в группу $G$, которая рассматривается как множество. Т.е. что бы так рассматривать надо на категорию групп подействовать стирающим функтором.
У меня какая-то путаница, проясните .

[apriv]

Ну, можно там вместо $X$ и $X'$ кое-где написать $UX$ и $UX'$, но и так понятно, что имеется в виду, поэтому такие детали не уточняют всякий раз. А речь всего лишь о том, что для множества $S$ и группы $X$ множество отображений из $S$ в $X$ снабжается структурой группы функториальным образом.

[xmaister]

Т.е. $M_S$ рассматривается как композиция стирающего функтора $U$ и представляющего функтора $\mathcal{S}\to\mathcal{S}$ при котором $X\to M(S,UX)=\mathrm{Hom}(S,UX)$ и соответственно $g\mapsto U(\varphi)\circ g$. Теперь то мы не знаем ничего о структуре на $X$, потому что $U$. А на полученном $M(S,UX)$ ещё нет групповой структуры. Теперь, я полагаю, надо определить ковариантный функтор $F:\mathcal{S}\to\mathcal{G}$, чобы $M(S,G)$ превратилась в группу. Как это сделать?

(Оффтоп)

apriv в сообщении #630731 писал(а):

такие детали не уточняют всякий раз.

Я первый раз вижу весь этот набор символов (в том смысле, что теорией категорий я раньше не занимался почти и знаю о ней только по наслышке), откуда мне знать что автор там имел ввиду. ИМХО очень не подробно написано

-- 14.10.2012, 15:08 --

Перед тем как начал читать параграф про категории я четко понимал, что из себя представляет $M(S,G)$, а ща вообще хрен пойми что это и откуда он взялся...

[apriv]

Кстати, что это за книжку Вы читаете? Не могу определить.

Ну, давайте так. Забудем пока про представляющие функторы. Возьмем фиксированное множество $S$ и сопоставим каждой группе $X$ множество отображений из $S$ в $X$, то есть, множество $\mathrm{Hom}(S,UX)$. Это ковариантный функтор (по $X$): если $X\to X'$ — гомоморфизм групп, то определено отображение $\mathrm{Hom}(S,UX)\to\mathrm{Hom}(S,UX')$. Теперь введем на этом самом $\mathrm{Hom}(S,UX)$ структуру группы при помощи операции в группе $X$ — поточечно. Тогда для гомоморфизма групп $X\to X'$ определенное выше отображение $\mathrm{Hom}(S,UX)\to\mathrm{Hom}(S,UX')$ будет еще и гомоморфизмом групп. Это доказано выкладкой в книжке. Значит, сопоставление группе $X$ множества $\mathrm{Hom}(S,UX)$ можно рассматривать как функтор не просто в категорию множеств, а в категорию групп (то есть, функтор $X\mapsto\mathrm{Hom}(S,UX)$ пропускается через забывающий функтор из категории групп в категорию множеств). Мы получили функтор из категории групп в категорию групп. Оказывается, этот функтор является представимым! То есть, есть такая замечательная группа $F(S)$, что $\mathrm{Hom}(S,UX)=\mathrm{Hom}(F(S),X)$ (здесь в левой части стоит $\mathrm{Hom}$ в категории множеств, а в правой — в категории групп; равенство писать не очень хорошо, нужно писать изоморфизм и помнить, что это еще означает согласованность с отображениями, которые получаются по гомоморфизмам групп $X\to X'$). Эта замечательная группа $F(S)$ называется свободной группой, порожденной множеством $S$, и ее построение по множеству $S$ тоже функториально, то есть $F$ — функтор из категории множеств в категорию групп (тот самый, про необходимость определения которого Вы говорите выше). Все это вместе означает, что функтор $F$ является левым сопряженным к забывающему функтору $U$; а проще говоря — функтор $\mathrm{Hom}(S,U-)$ оказался представимым. Я не знаю, что написано в книжке вокруг того, что Вы процитировали, но, видимо, там это прописано недостаточно отчетливо.

[xmaister]

apriv в сообщении #630841 писал(а):

Кстати, что это за книжку Вы читаете?

Читаю Ленг- алгебра 1968, "МИР" §7 Категории и функторы.

[apriv]

xmaister в сообщении #630844 писал(а):

apriv в сообщении #630841 писал(а):

Кстати, что это за книжку Вы читаете?

Читаю Ленг- алгебра 1968, "МИР" §7 Категории и функторы.

Ленг, еще и старое издание — не лучший источник информации на эту тему, видимо.

[xmaister]

Т.е. для изучения курса алгебра это не лучший вариант? Не могли бы Вы посоветовать альтернативную литературу. Мне советовали Бурбаков читать, но я не понимаю о чем они пишут...

[apriv]

xmaister в сообщении #630859 писал(а):

Т.е. для изучения курса алгебра это не лучший вариант? Не могли бы Вы посоветовать альтернативную литературу. Мне советовали Бурбаков читать, но я не понимаю о чем они пишут...

Для курса алгебры новое издание Ленга получше, но и оно несколько старомодно. Перевода на русский вроде бы нет. Из нерусского есть еще замечательный учебник Aluffi “Algebra: Chapter 0”, он активно использует язык категорий и функторов, больше, чем Ленг. Из русского — ну, «Курс алгебры» Винберга хороший, но там про категории вроде бы не пишут. Книжка Бурбаки отличная, но именно часть про алгебру для начинающего не очень подходит (хотя в перспективе чтение обязательное).

[xmaister]

apriv в сообщении #630841 писал(а):

Ну, давайте так. Забудем пока про представляющие функторы. Возьмем фиксированное множество $S$ и сопоставим каждой группе $X$ множество отображений из $S$ в $X$, то есть, множество $\mathrm{Hom}(S,UX)$. Это ковариантный функтор (по $X$): если $X\to X'$ — гомоморфизм групп, то определено отображение $\mathrm{Hom}(S,UX)\to\mathrm{Hom}(S,UX')$. Теперь введем на этом самом $\mathrm{Hom}(S,UX)$ структуру группы при помощи операции в группе $X$ — поточечно. Тогда для гомоморфизма групп $X\to X'$ определенное выше отображение $\mathrm{Hom}(S,UX)\to\mathrm{Hom}(S,UX')$ будет еще и гомоморфизмом групп. Это доказано выкладкой в книжке. Значит, сопоставление группе $X$ множества $\mathrm{Hom}(S,UX)$ можно рассматривать как функтор не просто в категорию множеств, а в категорию групп (то есть, функтор $X\mapsto\mathrm{Hom}(S,UX)$ пропускается через забывающий функтор из категории групп в категорию множеств). Мы получили функтор из категории групп в категорию групп.

apriv, спасибо, теперь всё стало понятно! Только вот что полученный функтор- представимый, мне не очевидно, пока что.

apriv в сообщении #630865 писал(а):

Для курса алгебры новое издание Ленга получше, но и оно несколько старомодно.

Его читать хотя бы не вредно? У меня просто печатное издание есть...

[xmaister]

apriv в сообщении #630841 писал(а):

Оказывается, этот функтор является представимым! То есть, есть такая замечательная группа $F(S)$, что $\mathrm{Hom}(S,UX)=\mathrm{Hom}(F(S),X)$ (здесь в левой части стоит $\mathrm{Hom}$ в категории множеств, а в правой — в категории групп; равенство писать не очень хорошо, нужно писать изоморфизм и помнить, что это еще означает согласованность с отображениями, которые получаются по гомоморфизмам групп $X\to X'$).

Вот тут не понятно. Как он может быть представимым, когда он в категорию групп, а не в катгеорию множеств. Ленг называет представимые функторы, как Маклейн называет $\mathrm{hom}$- функторами. Для представимых, он требует изоморфность $\mathrm{hom}$-функтору.

[apriv]

xmaister в сообщении #631089 писал(а):

Вот тут не понятно. Как он может быть представимым, когда он в категорию групп, а не в катгеорию множеств. Ленг называет представимые функторы, как Маклейн называет $\mathrm{hom}$- функторами. Для представимых, он требует изоморфность $\mathrm{hom}$-функтору.

Ну, конечно, опять нужно взять его композицию с забывающим функтором. Пафос вычисления в книжке состоит в том, что представимый функтор пропускается через категорию групп.