Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vicvolf]

AKM в сообщении #624529 писал(а):

Я не вникал в суть темы, и даже не знаю, пишете ли Вы подправленное одно-и-то-же, или это последовательные "продолжение следует". Я лишь реагировал на неаккуратность представления (внешнего вида) материала. Обнаруженные ошибки --- только от попыток сделать поаккуратнее. Могу Вам предложить временно переместить тему в Карантин, где Вы сможете сами всё проверить и внести все желательные исправления.

Спасибо, не надо, я все исправлю здесь. Мне давно за сорок и торопиться некуда. В этом году опят видимо не видимо, так что не отказывайте себе в удовольствии!

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #624538 писал(а):

vicvolf в сообщении #624514 писал(а):

Интересно Ваше мнение по данной теме?

Мнение о чём именно Вас интересует?

Что Вы думаете о доказательстве гипотез Харди-Литвуда и Диксона? Возможен ли такой, как у меня. подход к доказательству и при каких предположениях?

[Droog_Andrey]

Думаю, первым предположением должна быть обобщённая гипотеза Римана. Но до её доказательства ещё далековато.

[vicvolf]

Спасибо! Я говорю о предположениях, а не об их доказательстве.

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #624828 писал(а):

Думаю, первым предположением должна быть обобщённая гипотеза Римана. Но до её доказательства ещё далековато.

Вы считаете, что расширенной гипотезы Римана достаточно? Я не видел этого предположения в статьях о гипотезах Харди-Литвуда и Диксона, на которые Вы давали ссылки.

[Droog_Andrey]

vicvolf в сообщении #626008 писал(а):

Вы считаете, что расширенной гипотезы Римана достаточно?

У меня пока нет оснований так считать. Интуиция подсказывает, что понадобится именно обобщённая (для всех классов $L$-функций). Но я не изучал подробно этот вопрос

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #617634 писал(а):

http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pd/rpb021.pdf

Как Вы думаете, почему в этой работе берется интеграл от суммы, а в других, приведенных Вами статьях нет?

[Droog_Andrey]

Потому что в ней исследуются "дырки" строго определённой длины.

[vicvolf]

Я обещал vorvalm сделать некоторые пояснения по получению асимптотики средней плотности и количества составных k-кортежей в ПСВ(m), поэтому продолжу.

k-кортеж в ПСВ(m) может включать k+1, k+2,... k+i кортежи. Например, 3-кортежи (6,2) и (2,6) в ПСВ(30) включают 4-кортеж (2,4,2). Это вычеты 11,13, 17. Назовем такой k-кортеж в ПСВ(m) составным.
С другой стороны, 3-кортежи (4,2) и (2,4) в ПСВ(30) не включают 4-кортежи, так как 4-кортежи не содержат кортежа (2,2,2). Такие кортежи назовем несоставными. Количество несоставных кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле (1): $N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m$. Но для определения количества составных кортежей формула (1) не подходит.
Если определять число 4-кортежей (6,6,6) по формуле (1), т.е. $N_4(6,6,6)$, то мы получим общее число 4-кортежей (6,6,6), в которое войдут 5-кортежи: (6,2,4,6), (2,4,6,6), (6,4,2,6) и (6,6,4,2), а в них, в свою очередь, войдут 6-кортежи (6,2,4,2,6) и (2,4,2,4,6), так как в их составе есть разности (6,6,6). Поэтому, чтобы вычислить $N_4(6,6,6)$, состоящую только из последовательных вычетов, надо определить по формуле (1) число 6-кортежей - $N_6(m)=A_6 \prod_{p>6}(p-6); p\mid m$, затем 5-кортежей - $N_5(m)=A_5 \prod_{p>5}(p-6); p\mid m$ и 4-кортежей - $N_4(m)=A_4 \prod_{p>4}(p-4); p\mid m$, а затем, используя формулу включений, исключений получим:

$$N_4(m)=A_4 \prod_{p>4}(p-4)-A_5 \prod_{p>5}(p-6)+ A_6 \prod_{p>6}(p-6); p\mid m.$$

Подробнее смотрите в теме vorvalm "О проблемме Гольдбаха".

Теорема 2
Асимптотика числа составных k-кортежей в ПСВ(m):

$$\pi_{km}(x) \sim \sum_{j=0}^{i}{(-1)^j C_{kmj}\int_{k+j}}^{x}{\frac {dt} { \ln^{k+j} t}}}$$

, где $C_{kmj}=A_{k+j} \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k+j} {p}$.
Доказательство
На основании формулы включений исключений в общем случае получим формулу числа составных k-кортежей:

$$N_k(m)=A_k \prod_{p>k}(p-k)-A_{k+1} \prod_{p>k+1}(p-k-1)+ A_{k+2} \prod_{p>k+2}(p-k-2) +...+ (-1)^i A_{k+i} \prod_{p>k+i}(p-k-i) ; p\mid m$$

Таким образом,

$$N_k(m)=\sum_{j=0}^{i} {(-1)^j A_{k+j} \prod_{p>k+j}(p-k-j})} ; p\mid m \eqno (9).$$

На основании формулы (4) средняя плотность составных k-кортежей в ПСВ(m):

$$P_k(m)=N_k(m)/m=\sum_{j=0}^{i}{(-1)^j A_{k+j}\prod_{p>k+j}(1-\frac {k+j} {p})/\prod_{2\leq k+j} {p},\eqno(10)$$

, где $p\mid m$.
На основании формулы (5) получаем асимптотическую среднюю плотность составных k-кортежей в ПСВ(m):

$$P_{km}(x)=\sum_{j=0}^{i}{(-1)^j A_{k+j}\prod_{k+j \leq p\leq x}{(1-\frac {k+j} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}} \sim \sum_{j=0}^{i}{(-1)^j {C_{kmj}/ \ln^{k+j} x \eqno (11)$$

, где $C_{kmj}=A_{k+j} \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k+j} {p}$.
Поэтому на основании формулы (8), при определенных допущениях, о которых поговорим позже, получим асимптотику числа составных k-кортежей в ПСВ(m):

$$\pi_{km}(x) \sim \sum_{j=0}^{i}{(-1)^j C_{kmj}\int_{k+j}}^{x}{\frac {dt} { \ln^{k+j} t}}} \eqno (12)$$

ч.т.д.

[vorvalm]

Если исправить некоторые опечатки, то в первом приближении,
можно согласиться с предложенным методом.

[vicvolf]

Какие опечатки?

-- 09.10.2012, 17:07 --

Droog_Andrey в сообщении #627814 писал(а):

Потому что в ней исследуются "дырки" строго определённой длины.

Ваше мнение о методике, представленной выше для определения асимптотики плотности и числа составных кортежей?

[vorvalm]

Рвзберитесь с индексами $i$ и $j$.
В одном случае у вас $p>k+i,$ в другом $p>k+j.$
Мне то все ясно, но участники форума могут и не понять.

[Droog_Andrey]

vicvolf в сообщении #628814 писал(а):

Ваше мнение о методике, представленной выше для определения асимптотики плотности и числа составных кортежей?

Честно - влом разбираться :)

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #628837 писал(а):

Рвзберитесь с индексами $i$ и $j$.
В одном случае у вас $p>k+i,$ в другом $p>k+j.$
Мне то все ясно, но участники форума могут и не понять.

$p>k+i,$ стоит только в произведении не под знаком суммы.
А где знак суммы, то под произведением стоит $p>k+j.$, так как суммирование ведется по j от 0 до i.

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #627814 писал(а):

Потому что в ней исследуются "дырки" строго определённой длины.

А что Вы понимаете под "дырками"?