Я возвращаюсь к рассмотрению данной темы, уточнив ряд вопросов в теме "Плотность числовой последовательности". Публикацию темы начну сначала, так что тем, кто ее ранее не читал, можно начать чтение темы с данного сообщения.
В данной теме я рассматриваю вопросы нахождения асимптотического поведения для плотности и количества простых k-кортежей в натуральном ряде чисел. В дальнейшем буду называть это проще - асимтотическая плотность и количесто простых k-кортежей. Под простым k-кортежем понимается последовательно расположенные k простых чисел с определенным расстоянием между ними в натуральном ряде , если k>1 (для k=1 кортеж - это одно простое число).
Обоначать такие кортежи буду в скобках, с указанием соответствющего расстояния между числами. Например, (2,4,6) - это кортеж из четырех чисел:
, где
. Естественно для k=1 расстояния не указываются - ().
Для k=1, кортеж () - это асимтотическая плотность и количество простых чисел в натуральном ряде, которые известны и доказаны (асимптотический закон распределения простых чисел). Для k=2, кортеж (2) - это асимтотическая плотность и количество простых близнецов в натуральном ряде, в отношении которых имеются только гипотезы (в частности Харди-Литлвуда). Для асимптотической плотности и количества простых кортежей с k>2 также кроме гипотез (в частности Диксона) ничего нет. Поэтому целью данной работы является вывод (доказательство) формул для определения асимптотической плотности и количества простых k-кортежей в натуральном ряде чисел.
Рассмотрение указанного вопроса начну с определения асимптотической плотности и количества k-кортежей в приведенной системе вычетов (ПСВ)по модулю
, где
r-ое простое число.
Обозначим:
- количество k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до x;
- плотность k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до x.
Тогда средняя плотность k-кортежей в ПСВ по модулю m на интервале натурального ряда от 1 до m:
. (1)
Периодически продолжим ПСВ по модулю m с периодом m (ПСВm).
Для ПСВm справедливо утверждение, которое мы доказали вместе с Sonic86. Утверждение доказывается очень просто, но имеет важное значение.
Утверждение 1
Асимптотическая плотность k-кортежей ПСВm в натуральном ряде равна средней плотности k-кортежей в ПСВ на интервале натурального ряда от 1 до m, т.е.
(2)
Доказательство
На интервале от 1 до x ПСВm будет
k-кортежей, где
- ограничена.
Тогда асимптотическая плотность k-кортежей ПСВm в натуральном ряде равна:
ч.т.д.
Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.