2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение06.10.2012, 18:59 
Сам ошибся, сам исправляю
Для числа $c=rst$ - $6$ решений, для числа $c=(rst)^2$ - $9$ решений, для числа $c=defrst$ - $62$ решения.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение07.10.2012, 17:37 
Дополнение
Пока никто никак не отреагировал на мое сообщение, позволю себе дать дополнительные разъяснения:
1. В приведенных мною примерах подразумевается, что $c$ - нечетное число.
2. Количество решений для нечетных чисел, состоящих из простых сомножителей каждый в первой степени, определяется как сумма количества сочетений, определяемых по известной формуле для числа $c$, состоящего из $k$ простых сомножителей, по $1,2,3...k-1$.
3. Количество решений для четных чисел и чисел вида $c=(def...)^m$ может быть определено только методом перебора всех возможных не повторяющихся сочетаний. Хотя, возможно, я ошибаюсь.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение24.10.2012, 16:33 
Возвращаясь к уравнению $x^2-y^2=z^4$. Докажите, что если $x,y,z$ - решение этого уравнения в натуральных числах, то $x$ - конгруэнтное число, т.е. существует прямоугольный треугольник с рациональными длинами сторон, площадь которого равна $x$.
Вычислите длины сторон этого треугольника через $x,y,z$. (На самом деле таких треугольников бесконечно много).

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение25.10.2012, 18:34 
Решением будет треугольник с сторонами:
$\\a=\dfrac y z =\dfrac{y^2}{yz}=\dfrac{x^2-z^4}{yz}\\
b=\dfrac{2xz}{y}=\dfrac{2xz^2}{yz}\\
\\
c=\dfrac{x^2+z^4}{yz}$
Последнее равенство в первой формуле по условие. В числителях видна параметризация пифаговоровых троек.

$\dfrac{ab}{2}=x$

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение26.10.2012, 14:32 
Shadow дал точный ответ. Пойдем дальше.
Рациональных прямоугольных треугольников с площадью $x$ бесконечно много. Найдите какое-нибудь правило, по которому из треугольника Shadow можно получить следующий прямоугольный треугольник с площадью $x$ и напишите выражения для длин его сторон. (Пользуясь этим правилом можно выписать бесконечно много искомых треугольников).

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение26.10.2012, 16:23 
scwec в сообщении #636080 писал(а):
Найдите какое-нибудь правило, по которому из треугольника Shadow можно получить следующий прямоугольный треугольник с площадью $x$ и напишите выражения для длин его сторон. (Пользуясь этим правилом можно выписать бесконечно много искомых треугольников).
Ну, это все умеют. Хотя, чтобы доказать, что это правило даёт бесконечно много различных треугольников, нужно немножко потрудиться. Кажется, я уже об этом где-то здесь писал.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение26.10.2012, 16:51 
Ну, если все умеют, то и написать формулы для длин сторон следующего треугольника будет совсем просто.
Остается их только написать. А потом двигаться дальше.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение03.11.2012, 14:25 
Длины сторон следующего рационального прямоугольного треугольника с площадью $x$:
$$ A=\frac{4xyz(x^2+z^4)}{|y^4-4x^4+4x^2y^2|},B=\frac{|y^4-4x^4+4x^2y^2|}{2yz(x^2+z^4)},C=\frac{(x^2+z^4)^4+16x^2y^4z^4}{2yz(x^2+z^4)|y^4-4x^4+4x^2y^2|}$$
Правила для получения формул были написаны мной в теме "Одномерная динамика" http://dxdy.ru/topic51460-15.html
Вообще уравнение $x^2-y^2=z^4$ при четном фиксированном $y$ играет заметную роль при вычислении количества точек на эллиптических кривых над конечными полями. См. задачу http://dxdy.ru/topic64023.html

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение06.11.2012, 18:46 
А что можно сказать о решении в целых следующего уравнения?

$a^3+b^3+c^3+d^3=n$

где $n$ задано и $a,b,c,d $ неизвестны.

Дело в том, что до такого уравнения можно построить искуственную связь от исходного уравнения этой темы $x^2-y^2=N$.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение07.11.2012, 10:26 
dmd, полезные сведения можно найти http://dxdy.ru/topic26614.html

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение07.11.2012, 13:37 
Уважаемый Александр! У вас опечатка вместо $ a^2 = (mn + 1)^2, b^ 2 = (m + n)^2$ пишете a и b в первой степени. Проверьте $ a - b =(mn + 1)^2 - (m + n)^2=c $.

 
 
 
 Re: Решение Диофантового уравнение a^2-b^2=c
Сообщение08.11.2012, 16:05 
Конечно же я ошибся! :oops:
Vasili, спасибо за подсказку.
Должно быть $a=mn+1$ и $b=m+n$.
Уважаемые модераторы, могу ли я исправить ошибку в своем самом первом сообщении?

 
 
 [ Сообщений: 72 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group