равномерность

[vicvolf]

Руст в сообщении #623427 писал(а):

$g$ суммы естественным образом получаются при подсчете целых точек в области. Рассмотрим целые точки под графиком $у=f(x)>0, a\le x\le b.$ Количество целых точек есть

$$N=\sum_{A\le n\le B}([\frac{f(nh_1)}{h_2}+\frac 12), A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

.

Здесь А и B могут быть дробными. Может оговорить, что $h_1$ и $h_2$ подобраны так, что деление осуществляется нацело. Тем более, как я понял в дальнейшем рассматриваются только целые точки.

Цитата:

В соответствии с нашей договоренностью точки на границе (в частности на оси х )считаются с весом $\frac 12$ и т.д. Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь первая часть аппроксимация площади интеграла методом трапеции (ошибка обычно порядка $O(1)$) в единицах $h_1h_2$, а $g$ сумма с точностью до знака совпадает с погрешностью.

Здесь хорошо бы пояснить геометрический смысл q-сумм.

-- 05.10.2012, 15:25 --

Руст в сообщении #625035 писал(а):

Теперь начнем теорию $g$ сумм с простейшего случая - линейных $f(x)=ax+b$ $g$ сумм. Всюду будем считать, что длина интервала суммирования натуральное число $B-A\in N$. Соответственно если один конец целое число и значение взято с весом $\frac 12$, то так же и в другом конце.
Лемма о простейшем случае $a=\frac{P}{Q}, B-A=Q.$

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\ge x\ge A+Q}g(\frac{P}{Q}x+b)=g(Qb).$$

Доказательство из-за тривиальности не стану приводить.

Можно пояснить? Тем более это начало и надо понять!

[Руст]

Цитата:

Здесь А и B могут быть дробными. Может оговорить, что $h_1$ и $h_2$ подобраны так, что деление осуществляется нацело. Тем более, как я понял в дальнейшем рассматриваются только целые точки.

Суммирование ведется по целым точкам из некоторого интервала. Границы интервала не обязательно целые.

Цитата:

Здесь хорошо бы пояснить геометрический смысл q-сумм.

Геометрический смысл виден из формулы: $g$ - сумма представляет разницу между площадью вписанного многоугольника с вершинами в целых точках по оси х: ($x,f(x))$) и количеством целых точек в области. При этом точки на оси х считаются как половина.

-- Пт окт 05, 2012 16:40:06 --

Руст в сообщении #625035 писал(а):

Лемма о простейшем случае $a=\frac{P}{Q}, B-A=Q.$

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\ge x\ge A+Q}g(\frac{P}{Q}x+b)=g(Qb).$$

Доказательство из-за тривиальности не стану приводить.

Цитата:

Можно пояснить? Тем более это начало и надо понять!

Доказательство. Представим $Qb=c=C+\delta}, C\in Z, 0\le \delta <1.$
Если $\delta=0$, то дробные доли $\{\frac{Px+C}{Q}\}$ принимают все значения $\frac{k}{Q}, 0\le k<Q$. Если граница интервала целое, то соответствующее значение принимается дважды но с весом $\frac 12$. Для целой точки $g(x)=0$, остальные точки в среднем дают дробную часть $\frac 12$, которая вычитывается при вычислении $g(f(x))$ с каждого нецелого значения, что в ответе дает 0. Когда $\delta>0$ к значениям в каждой точке прибавляется $\frac{\delta}{Q}$ всего Q раз, но еще надо вычесть $\frac 12$, которую не вычитывали с целого значения, которого сейчас нет. Это дает $S_g =Q\delta -\frac 12=g(Qb),$ как и в случае $\delta=0.$

[vicvolf]

Руст в сообщении #627251 писал(а):

Цитата:

Геометрический смысл виден из формулы: $g$ - сумма представляет разницу между площадью вписанного многоугольника с вершинами в целых точках по оси х: ($x,f(x))$) и количеством целых точек в области. При этом точки на оси х считаются как половина.

А как вписан многоугольник. Вершины в целых точках x соединены прямой, т.е площадь эта сумма трапеций?

[Руст]

Цитата:

А как вписан многоугольник. Вершины в целых точках x соединены прямой, т.е площадь эта сумма трапеций?

Да и он не совсем вписан (в не целых точках возможно график пройти ниже трапеции).

[vicvolf]

Поправил последнюю формулу.
Это дает $S_g =Q\delta -\frac 12=g(Qb)$, как и в случае $\delta=0.$

[vicvolf]

Руст в сообщении #623427 писал(а):

Таким образом

$$N=\frac{1}{h_2}\sum_n f(nh_1) -R, R=\sum_n g(\frac{f(nh_1)}{h_2}.$$

Здесь первая часть аппроксимация площади интеграла методом трапеции (ошибка обычно порядка $O(1)$) в единицах $h_1h_2$, а $g$ сумма с точностью до знака совпадает с погрешностью.

Не понял название q-сумма. Это не сумма, а функция. Ведь $R=\sum_n (g_n)$, где $g_n=q(\frac{f(nh_1)}{h_2})$. Здесь q - это функция, дающая погрешность в точке n.

[Руст]

vicvolf в сообщении #627728 писал(а):

Не понял название q-сумма. Это не сумма, а функция. Ведь $R=\sum_n (g_n)$, где $g_n=q(\frac{f(nh_1)}{h_2})$. Здесь q - это функция, дающая погрешность в точке n.

Тригонометрические суммы я для краткости назвал $e$ - суммами, они являются суммами значений $e(f(n))$ для некоторой фиксированной функции $f(n)$, когда аргумент пробегает целые значения из некоторого интервала. Следующая буква в алфавите $g$, соответственно ввел подобную этой действительную функцию $g(x)=g(f(n))$ и назвал соответствующие суммы $g$- суммами.

[vicvolf]

Тригонометрические суммы это n-ая сумма разложения f(x) в ряд Фурье? Если нет, то надо пояснить какие тригонометрические суммы имеются в виду и что они аппроксимируют f(x) или только дробную часть f(x).
Если это n-ая сумма разложения f(x) в ряд Фурье, то никакой аналогии между ними и q-суммами нет, так как q-суммы аппроксимируют только дробную часть f(x), точнее дробную часть кусочно-линейной аппроксимации f(x).
Кстати расчет определенного интеграла методом трапеций для нелинейной f(x) имеет погрешность, зависящей от вида f(x) и отрезка интегрирования (a, b) с оценкой остаточного члена в виде $max_{(a,b)}|f''(x)| \frac {(b-a)^3} {12}$, т.е ошибка вычисления интеграла растет, как куб от отрезка интегрирования. Эту ошибку надо добавлять каждый раз к q-сумме функции.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #627973 писал(а):

Тригонометрические суммы это n-ая сумма разложения f(x) в ряд Фурье? Если нет, то надо пояснить какие тригонометрические суммы имеются в виду и что они аппроксимируют f(x) или только дробную часть f(x).

Тригонометрические функции - это стандартный термин в ТЧ, это суммы вида $\sum\limits_{x\in M}\exp(2\pi if(x))$, где $f(x)$ - многочлен. Изобретены Виноградовым вместе с методом тригонометрических сумм (если не вру, именно они дают наиболее сильную оценку для $\pi(x)-\operatorname{Li}(x)$). Можно про них посмотреть в Боревиче Шафаревиче или в Коробове (или еще где пострашнее).

[Руст]

Sonic86 в сообщении #628016 писал(а):

Тригонометрические функции - это стандартный термин в ТЧ, это суммы вида $\sum\limits_{x\in M}\exp(2\pi if(x))$, где $f(x)$ - многочлен. Изобретены Виноградовым вместе с методом тригонометрических сумм (если не вру, именно они дают наиболее сильную оценку для $\pi(x)-\operatorname{Li}(x)$). Можно про них посмотреть в Боревиче Шафаревиче или в Коробове (или еще где пострашнее).

$f(x)$ не обязательно многочлен. В дзета суммах это $f(x)=t\ln x$. Часто встречающаяся ситуация, когда $f(x)$ гладкая в бесконечности функция.

[Руст]

Продолжу
Тема- "Оценка нелинейных $g-$ сумм".
Такие суммы обычно получаются как погрешность при подсчете количество целых точек через площадь под графиком:
$S_{gf}=S-N(h_1,h_2)$ разница между площадью (в единицах $h_1*h_2$) и количеством целых точек области, ограниченной сверху кривой $y=f(x)$. Дальше будем считать, что граница области задана непрерывной кривой из конечного числа выпуклых илли впуклых участков. Как было сказано, под площадью в этой формуле понимается площадь вписанной трапеции, которая отличается от истинной площади под кривой на $O(1)$. Участку $a\le x\le b,0\le y\le f_1(x)$ соответствует слагаемое:

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\le x\le B}g(f(i)),f(i)=\frac{1}{h_2}f_1(ih_1),A=\frac{a}{h_1},B=\frac{b}{h_1}.$$

Например для круга погрешность выражается формулой

$$8S_{gf}(0,\frac{R}{\sqrt 2}),R=\frac{1}{h},h=h_1=h_2,f(i)=\sqrt{R^2-i^2}.$$

Оценки для $g-$ Сумм получаются обобщением оценки ошибки вычисления интеграла по методу Симпсона. В дальнейшем всегда считаем, что $f(x)$ дважды непрерывно дифференцируемая функция в рассматриваемом интервале суммирования. Докажем следующую вспомогательную лемму:
Лемма 4. Пусть $S$ означает сумму значений $f(n)$ из интервала $[a,b],a,b\in Z,c=\frac{a+b}{2}.$ Тогда

$$S=\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{a<i<b}f(i)=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)-\frac{f''(c)}{12}(b-a)[(b-a)^2-1]+\theta\frac{\delta(b-a)^3}{6}.$$

Здесь $|\theta|<1,\delta=sup|f''(x)-f''(c)|,x\in [a,b].$
Доказательство. Разложим в ряд Тейлора до второй производной включительно около точки $c=\frac{a+b}{2}.$ Тогда $f(x)=f(c)+f'(x)(x-c)+\frac 12 f''(\zeta(x))(x-c)^2,(x-\zeta)(x-c)<0.$ Запишем последнее равенство так же для точек $a,b$ и вычислим:

$$f(x)-\frac{b-x}{b-a}f(a)-\frac{x-a}{b-a}f(b)=0*f(c)+f'(c)*0+\frac{1}{2}[(x-c)^2f''(\zeta(x))-(b-c)^2(f''(\zeta(a))+f''(\zeta(b)))].$$

В правой части из непрерывности второй производной, аппроксимируя ее через $f''(c)$:

$$f''(\zeta(x))(x-c)^2-2(b-c)^2f''(\zeta')=-f''(c)[2(b-c)^2-(x-c)^2]+\theta(x)\delta[2(b-c)^2+(x-c)^2]$$

суммируем по целым х и получаем утверждение леммы.
Эта лемма позволяет определить влияние нелинейности на $g$ сумму в окрестности наклона $\alpha$, разлагая значение наклона в непрерывную дробь. Заметим, что в интервалах длины $b-a\le \sqrt R, R=\frac{1}{f''}$ функция хорошо приближается квадратичной аппроксимацией в центре интервала $c=\frac{a+b}{2}, |\frac{P}{Q}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}|<\frac{1}{\sqrt 5 Q^2}.$ При этом квадратичная добавка в каждый член в указанном интервале не больше $\frac 18$. Заметим, что для функции $f(x)=\frac{1}{h_2}f_1(xh_1)\to f''(x)=\frac{h_1^2}{h_2}f_1''(h_1x)$ изменение второй производной мало в интервалах длины $o(\frac{1}{h_1})$. Это можно использовать при оценке суммы в окрестности критической точки. Продолжу с этого места в следующий раз.

[vicvolf]

Руст в сообщении #625035 писал(а):

Лемма о простейшем случае $a=\frac{P}{Q}, B-A=Q.$

$$S_{gf}(A,B)=\sum_{A\ge x\ge A+Q}g(\frac{P}{Q}x+b)=g(Qb).$$

Доказательство. Представим $Qb=c=C+\delta}, C\in Z, 0\le \delta <1.$
Если $\delta=0$, то дробные доли $\{\frac{Px+C}{Q}\}$ принимают все значения $\frac{k}{Q}, 0\le k<Q$. Если граница интервала целое, то соответствующее значение принимается дважды но с весом $\frac 12$. Для целой точки $g(x)=0$, остальные точки в среднем дают дробную часть $\frac 12$, которая вычитывается при вычислении $g(f(x))$ с каждого нецелого значения, что в ответе дает 0. Когда $\delta>0$ к значениям в каждой точке прибавляется $\frac{\delta}{Q}$ всего Q раз, но еще надо вычесть $\frac 12$, которую не вычитывали с целого значения, которого сейчас нет. Это дает $S_g =Q\delta -\frac 12=g(Qb),$ как и в случае $\delta=0.$

Поясните, пожалуйста, методический вопрос. Почему мы ищем аргумент q функции, а не ее значение? Что это дает? Ведь сама q-функция должна зависить от a=P/Q, а аргумент не зависит - Qb.

[Руст]

vicvolf в сообщении #628606 писал(а):

Поясните, пожалуйста, методический вопрос. Почему мы ищем аргумент q функции, а не ее значение? Что это дает? Ведь сама q-функция должна зависить от a=P/Q, а аргумент не зависит - Qb.

Мы не ищем аргумент, а вычисляем сумму по целым х из указанного интервала. Если границы интервала целые, то они учитываются с весами $\frac 12$. После вычисления суммы получаем короткий ответ указанного вида.

[vicvolf]

Руст в сообщении #628696 писал(а):

Мы не ищем аргумент, а вычисляем сумму по целым х из указанного интервала.

1. Тогда почему результат мы записываем, как аргумент q(Qb), а не q=Qb?
2. Почему q-сумма для ax+b зависит только от b, а от a не зависит? Хотя при изменении угла наклона прямой площади Sq меняются?
3. Если при сечении прямой в одной клетке решетки остаются нижние 2 вершины, то q-сумма для нее будет площадь трапеции. А если после сечения прямой в клетке решетки остаются 3 вершины (2 нижние+1 верхняя), то как считается q-сумма для клетки в этом случае? В этом случае также сечется верхняя клетка и в q-сумму должна войти также площадь верхнего треугольника, а какая площадь войдет в q-сумму от нижней клетки? То же площадь трапеции, но ограниченной сбоку прямой, проходящей через точку пересечения и проекцию точки пересечения прямой?

[Руст]

vicvolf в сообщении #628712 писал(а):

1. Тогда почему результат мы записываем, как аргумент q(Qb), а не q=Qb?

Потому что это удобный вид записи.

Цитата:

2. Почему q-сумма для ax+b зависит только от b, а от a не зависит? Хотя при изменении угла наклона прямой площади Sq меняются?

Потому что суммирование по х проходит по полному периоду. При вычислении суммы мы пользуемся только определением $g$ функции $g(x)=\{x\}-\frac{1}{2}, x\not \in Z, g(n)=0,n\in Z$. Встречаются все дробьные доли по одному разу. С каждым $\frac{k}{Q}, 0<k<Q$ встречается так же $\frac{Q-k}{Q}$, соответственно сумма двух таких значений $g$ функции дает $(\frac{k}{Q}-\frac 12)+(\frac{Q-k}{Q}-\frac 12)=0.$

Цитата:

3. Если при сечении прямой в одной клетке решетки остаются нижние 2 вершины, то q-сумма для нее будет площадь трапеции. А если после сечения прямой в клетке решетки остаются 3 вершины (2 нижние+1 верхняя), то как считается q-сумма для клетки в этом случае? В этом случае также сечется верхняя клетка и в q-сумму должна войти также площадь верхнего треугольника, а какая площадь войдет в q-сумму от нижней клетки? То же площадь трапеции, но ограниченной сбоку прямой, проходящей через точку пересечения и проекцию точки пересечения прямой?

Здесь удобнее считать $g$ сумму, воспользовавшись непосредственным определением,