ОТО - единая геометризующая теория поля

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Someone Я думаю, что к физикам нельзя предъявлять такие требования, а в данном
конкретном случае, особенно

Никаких ошибок в обсуждаемой работе нет. Это будет показано.

В дискуссии же здесь, в данном топике, по вопросу склейки внутреннего решения с внешним вакуумным, да, были неточности и недоразумения. Все они будут разобраны и будет выяснено, кто и где прав, кто ошибался.

По поводу знания математического анализа и дифференциальной геометрии физиками Ваш снобизм - это палка о двух концах.

Математику***, можно заметить, не знает никто.

***сем. МАТЕМАТИКА = мате - мати - ка, - "мать матерей"

[pc20b]

1. В задаче склейки внутреннего решения с внешним вакуумным решением Рейсснера-Нордстрема в работе (ЖЭТФ 128, 2, 2005, с.300) ошибок нет.

(чтобы не перемещаться по топику, некоторые формулы, уже приведенные в теме, здесь дублируются)

Доказательство.
а) Краткое.

В данной теме выше было показано, что из решения уравнений Эйнштейна-Максвелла для внешнего вакуумного гравитационного поля сферически симметричного массивного заряженного тела массы покоя $m_0$ с зарядом $Q_0$ следует, что это поле в системе отсчета, в которой оно покоится, описывается в общем случае статической метрикой (теорема Биркгофа), определенной с точностью до произвольной функции $R(r)$ :

(1)

$$ds^2=Adt^2-\frac {R'(r)^2}{A}dr^2-R^2(r)d\sigma ^2$$

,

где

$$A=1-\frac {R_g}{R}+\frac {R_c^2}{R^2}$$

,

$$R_g=\frac {\kappa E_0}{4\pi}$$

- гравитационный радиус источника,

$$R_c=(\frac {\kappa Q_0^2}{8\pi})^{1/2}$$

- т.н. критический радиус, $\kappa =8\pi k/c^4$ - постоянная Эйнштейна, $E_0=m_oc^2$ - полная гравитационная энергия заряда, ${ }'=\partial r$.

Её определитель равен

$$g=-R'^2(r)R(r)^4sin^2\theta$$

,

и он обращается в нуль, помимо точек $R=0$ (сингулярной точки пространства), $\theta ={0,\pi}$ (особых точек сферической системы координат, в которых она «вырождается», т.к. в них неопределена циклическая координата $\varphi$), ещё и в точках, где $R'(r)=0$, $A(R)\neq 0$, где данная система координат также вырождается, но уже по другой причине : вблизи этих точек обращаются в нуль ковариантные компоненты вектора перемещения вдоль радиальной координаты :
$dl_r=\frac {|R'|}{\sqrt A}dr$.

Тем не менее, все геометрические характеристики – кривизны поверхностей в этих точках - определены однозначно. В частности,
2-гауссова кривизна сфер, ортогональных координатам $t,r$ :

$$_0K^{(2)}_r=\frac {1}{R^2}$$

;
4-кривизна этих же сфер :
(2)

$$_0K^{(4)}_r=\frac {1}{R^2}(1-A)=\frac {R_g}{R^3}(1-\frac {R_f}{R})$$

;
Её производная по радиальной координате :
(3)

$$_0K^{(4)}_r'=-\frac {3R_g}{R^4}(1-\frac {4R_f}{3R})R'$$

;
4-кривизна 2-поверхностей, ортогональных координатам $t,\varphi $:

$$_0K^{(4)}_{\varphi}=\frac {(1-A)'}{R^2'}=-\frac {R_g}{2R^3}(1-\frac {2R_f}{R})$$

.

Здесь $R_f=R_c^2/R_g=Q_0^2/2m_0c^2$ - классический радиус.

Метрика (1) может быть подвергнута произвольным взаимно однозначным гладким преобразованиям, оставляющим инвариантной геометрию :

$$t=t(\tilde t,\tilde r)$$

,

$$r=r(\tilde t,\tilde r)$$

,-
с не равными нулю якобианами прямого и обратного преобразований.

В рамках статических метрик (1) производную $R'(r)$, не равную нулю тождественно, можно выбрать произвольно. В частности, при :
1) $R=r$ получаем метрику Рейсснера-Нордстрема (теорема Биркгофа для массы с зарядом) :

(4)

$$ds^2=Adt^2-\frac {1}{A}dr^2-R^2(r)d\sigma ^2$$

;

2) В работе (ЖЭТФ 128, 2, 2005, с.300) выбрана система координат для вакуумной метрики, в которой производная $R'(r)$ обращается в нуль при $r_h=0$, т.е. в месте будущей склейки внутреннего мира электрического заряда, имеющего горловину при $r=r_h$, с этим вакуумным его продолжением.

В частности, в качестве примера рассмотрена функция :

$$R(r)=r+\frac {4R_f^2}{2R_f+r}$$

,

$$r\geqslant 0$$

,
равная $2R_f$ на горловине.

Такая система координат, как обосновано выше, допустима, хоть и вырождается на горловине из-за обращения в нуль на ней определителя метрики. При этом, как уже было отмечено, все геометрические величины на горловине остаются однозначно определёнными и конечными.

Единственное замечание, которое надо сделать : при приведении метрики (1) к метрике (4) Рейсснера-Нордстрема, т.е. при преобразованиях данных координат с $R\neq r$ (назовём их координатами Толмана) к координатам кривизн (Шварцшильда) c $R=\tilde r$, $r=r(\tilde r)$, якобиан преобразования $|\partial r/\partial \tilde r|$ нулится на месте склейки, т.е. на горловине. Но т.к. это происходит в одной точке на границе области, то, как было замечено в ходе дискуссии Someone’м, это не нарушает изометричности. Смысл этой особенности состоит в том, что в координатах кривизн из-за условия $R=r$ (в качестве радиальной координаты выбирается 2-скаляр – радиус гауссовой кривизны поверхностей радиальных сфер) экстремум кривизны, которому соответствует условие $R'_h=0$, ими не описывается.

[Someone]

Вы ничего нового не добавили. Я уже всё сказал по этому поводу.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Математику***, можно заметить, не знает никто.

Ну не нужно так сильно обобщать. Я уже Вам говорил что эти треклятые дыры не клеятся такими элементарными методами. Потом невнушаемость физиков в области математики это только их трудности.

[Шимпанзе]

pc20b

Цитата:

Во-первых, две системы координат, даже заданные на одном объекте, могут описывать разные части одного объекта. А могут и вообще ничего не описывать.

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии…. Да уж ни каждый математик потянет такое. Тут надо воображение физика. Но, вот интересно, а не есть ли эта именно та цепочка, ухватившись за которую можно перейти к теории суперструн? Одна теория дополнила бы другую. Нет?


Шимпанзе

[Someone]

Шимпанзе писал(а):

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии….

Ой! Вы сами то понимаете, о чём говорите? В ОТО нет никакой квантовой геометрии.

[Шимпанзе]

Someone писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии….

Ой! Вы сами то понимаете, о чём говорите? В ОТО нет никакой квантовой геометрии.

Да ну?! А…? Да, Вы правы.
Значит будет!!!


Шимпанзе

[Котофеич]

Someone писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии….

Ой! Вы сами то понимаете, о чём говорите? В ОТО нет никакой квантовой геометрии.

Нет конечно не понимает. Квантовые геометрии и квантовые группы, ввели в науку не
физики, а математики. И кстати в основном для своих внутренних нужд. А вообще говоря,
Шимпанзе просто издевается над автором

[Someone]

Нда. Сегодня у меня с чувством юмора плохо.

[Шимпанзе]

Котофеич писал(а):

Someone писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии….

Ой! Вы сами то понимаете, о чём говорите? В ОТО нет никакой квантовой геометрии.

Нет конечно не понимает. Квантовые геометрии и квантовые группы, ввели в науку не
физики, а математики. И кстати в основном для своих внутренних нужд. А вообще говоря,
Шимпанзе просто издевается над автором

Вы что мой адвокат? Не утруждайтесь, не надо.

Повторяю ещё раз. На мой взгляд pc20b прав по существу.

Шимпанзе

[Котофеич]

Вы неверно поняли. Я сказал не понимает и издевается одновременно, т.е. через свое
собственное непонимание.

[Шимпанзе]

Котофеич писал(а):

:evil: Вы неверно поняли. Я сказал не понимает и издевается одновременно, т.е. через свое
собственное непонимание.

Больно хитро как - то..., но зато смешно.


Шимпанзе

[pc20b]

Пространство ОТО

Someone :

Цитата:

Вы же сами выбрали преобразование координат, в котором якобиан кое-где обращается в ноль. Постарайтесь всё-таки понять, что обе системы координат описывают один и тот же объект. Этому объекту абсолютно чихать на наши системы координат. Он остаётся самим собой, какую бы систему координат на нём ни взять. Выбирая плохие системы координат, мы создаём проблемы не этому объекту, а себе.

Не совсем точно. Это перенесение стандартной ситуации дифференциальной геометрии (когда, скажем, задан гиперболоид инженера Гарина и ему "абсолютно начхать на наши системы координат". Он вынесет любой атлас, лишь бы была $C^r$ - дифференцируемость и взаимная однозначность преобразований).

Пространство ОТО другое - его объекты не заданы, не прибиты гвоздями, а формируется самосогласованно в процессе решения на каком-то многообразии. Можно даже было бы попытаться уточнить общепринятые формулировки ([1], с.68) : математической моделью пространства ОТО является не пара $(\mathbf {\mathcal {M},g)}$, где $\mathbf {\mathcal {M}}$ - 4-$C^{\infty}$ - многообразие, но тройка $(\mathbf {\mathcal {M},g,EE})$, где $\mathbf {EE}$ - уравнения Эйнштейна, а уравнения поля и метрика определены в смысле обобщенных функций ***.

Возникает парадоксальная ситуация : согласно теореме Хокинга-Пенроуза ([2], т. 3, ч. 1, с.150), сингулярности в принципе присутствуют в любом физически значимом пространстве ОТО, они, согласно, скажем, теореме Пуанкаре-Хопфа о связи эйлеровой характеристики с индексами особых точек, формируют это пространство, а их предлагается либо "вырезать" ([1], с.168), либо требовать, чтобы функции, определяющие метрику и преобразования на классе эквивалентных метрик, были гладкими, либо были класса $C^r$.

Т.е., с одной стороны, там, где это можно и надо, нельзя ограничиваться требованием гладкости функций, с другой стороны, "выбирая плохие системы координат" , мы создаем проблемы не "только себе", но и пространству ОТО.

Это, извините, общее высказывание, и ниже будет предпринята попытка его проиллюстрировать на конкретных "затыках", возникших в ходе обсуждения данного решения уравнений ОТО и, если оно верное, то неизбежно вытекающего из него представления не просто о связи "локального" с "глобальным", а об их эквивалентности.

*** Прав Котофеич :

Цитата:

Вам нужно почитать чего нить про обобщенные решения нелинейных уравнений.

И здесь :

Цитата:

Я уже Вам говорил что эти треклятые дыры не клеятся такими элементарными методами. Потом невнушаемость физиков в области математики это только их трудности.

Да, не клеятся. Только хоть самонадеянность математиков - тоже Ваши проблемы, но мы Вам поможем.

Литература
1. С.Хокинг, Дж.Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени.М., "Мир", 1977.
2. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. М., "Мир", 1977.

Добавлено спустя 21 минуту 29 секунд:

Шимпанзе

Цитата:

Видимо, позаимствовали из квантовой геометрии….

Нет. Идея Эйнштейна, ещё раз отметим, другая : через непрерывное гравитационное поле $\equiv$ кривому пространству-времени $\equiv$ материи (общерелятивистский принцип эквивалентности, в приближенной форме формулируемый как локальная лоренцевость, как локальное равенство тяготения и ускорения, как равенство инертной и гравитационной масс и т.д.) объяснить природу квантовых явлений.

По крайней мере возможность объяснения дискретности пространства-времени через возникающее разбиение пространства-времени на периодические компактные наблюдаемые в несопутствующих системах отсчета R-области Новикова и ненаблюдаемые (непроницаемые для световых геодезических) T-области Новикова, уже, возможно, появляется.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Пространство ОТО другое - его объекты не заданы, не прибиты гвоздями, а формируется самосогласованно в процессе решения на каком-то многообразии. Можно даже было бы попытаться уточнить общепринятые формулировки ([1], с.68) : математической моделью пространства ОТО является не пара $(\mathbf {\mathcal {M},g)}$, где $\mathbf {\mathcal {M}}$ - 4-$C^{\infty}$ - многообразие, но тройка $(\mathbf {\mathcal {M},g,EE})$, где $\mathbf {EE}$ - уравнения Эйнштейна, а уравнения поля и метрика определены в смысле обобщенных функций ***.

Ну и где же у Вас обобщенные функции Пока не вижу ни одной.

pc20b писал(а):

*** Прав Котофеич :

Цитата:

нужно почитать чего нить про обобщенные решения нелинейных уравнений.

И здесь :

Цитата:

Я уже Вам говорил что эти треклятые дыры не клеятся такими элементарными методами. Потом невнушаемость физиков в области математики это только их трудности.

Да, не клеятся. Только хоть самонадеянность математиков - тоже Ваши проблемы, но мы Вам поможем.

Литература
1. С.Хокинг, Дж.Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени.М., "Мир", 1977.
2. Ч.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. Гравитация. М., "Мир", 1977.

С такими учителями нет Хокинг давно сам запутался и запутал других.
Про МТУ я лучше промолчу. Для физика это святое. Потом о мертвых или хорошо или лучше
ничего.

[pc20b]

Условия склейки

Someone :

Цитата:

Вы нарушаете общий принцип: если корректная склейка возможна в одной системе координат, то она возможна и в другой, поскольку, выполнив склейку, мы можем перейти потом к любым координатам. Если у Вас склейка в "координатах кривизн" действительно невозможна, то она невозможна вообще, что весьма странно. Значит, Вы где-то ошибаетесь (возможно, Вы требуете от склейки больше, чем следует; в МТУ указаны только условия непрерывности метрики и внешнй кривизны поверхности склейки, у Вас же фигурируют и другие условия; в частности, "гладкости" склейки нужно добиваться просто согласованием координат по разные стороны от поверхности склейки, да и означает она вовсе не непрерывность производных для одинаково обозначенных величин по одинаково обозначенным координатам).

Это не совсем так. Аргументы такие. Пусть есть 3-гиперповерхность склейки $\Sigma ^{(3)}$. Тогда на ней, согласно МТУ, надо выполнить два условия : непрерывность 3-метрики $\textbf {g}^{(3)}$ и, если на данной поверхности отсутствует "дельта-поверхностный слой" (МТУ), непрерывность внешних 3-кривизн "изнутри" и "извне".

Попробуем склеить по данному правилу внутреннее нестационарное пульсирующее во времени решение со статической горловиной со статическим миром Рейсснера-Нордстрема без преобразования координат кривизн. Да, на горловине : $R^{(I)}=R_h$, $r^{(II)}=2r_f$, - внешние 3-кривизны поверхностей, ортогональных как координате $r$, так и координатам $\varphi,\theta$, вроде бы одинаковы. Но коэффициенты 3-метрики - нет : $g_{11}^{(3)}_h^{I}=R'^2_h/f^2_h=0$ при $e\neq \sqrt km_0$, что изнутри должно выполняться на статической горловине, если на плотность пыли не накладывать дополнительного условия, а$g_{11}^{(3)}_h^{II}= 1/A_h\neq 0$.

Более того, это вакуумное решение в координатах кривизн не имеет (скажем так : не обнаруживает) экстремума кривизны сфер, ортогональных радиальной координате : при стремлении $r$ к $2r_f$ со стороны асимптотически плоского 3-пространства, эта кривизна лишь монотонно растет, оставаясь положительной. Поэтому, приклеивая это внешнее решение в координатах кривизн при $r=2r_f$ к внутреннему решению, имеющему этот экстремум, но - при вырождении сферической системы координат на горловине (что в данном случае не страшно, т.к. все геометрические и физические параметры на ней остаются однозначно определимыми и конечными), мы получаем (скажем послабее - можем получить) излом гиперповерхностей в месте склейки. Это, во-первых, недопустимо физически - геометрия должна быть гладкой вне физических особенностей), во-вторых, при переходе к общей карте может привести к разрыву первых производных на горловине, что неоправданно нарушает гладкость функций.

Кроме того, как уже отмечалось, при такой склейке нарушаются необходимые условия склейки Лихнеровича.

Всё это говорит о том, что в отношении данной процедуры склейки координаты кривизн - "неудобные", "плохие". И, вне зависимости от того, надо ли деформировать само внешнее пространство вблизи поверхности склейки, или не надо, происходит ли такая деформация при занулении якобиана или нет (в данном случае, очевидно, согласно логике Эллиса (МТУ) и Someone'а, нет, т.к. якобиан нулится на границе, "в точке", и, в силу непрерывности, изометричность сохраняется), лучше перейти к более удобной системе координат. Кроме того, судя по состоянию данного вопроса в литературе, проблема условий на метрику и многообразие при склейке пока не выглядит решённой. В такой ситуации требование гладкости склейки по гиперповерхностям 4-пространства-времени (а не только условие непрерывности внешних кривизн 3-гиперповерхностей), кажется более надежным. Может, у математиков этот вопрос давно решён?

Добавлено спустя 9 минут 24 секунды:

Котофеич

Цитата:

Ну и где же у Вас обобщенные функции? Пока не вижу ни одной.

Начинаем их любить всё с большей силой.