Вопрос по теории множеств

[abral]

Докажите, что всякое отображение множеств$ f: A\mapsto B$ можно представить в виде композиции $g \circ h$, где $g$ - инъекция,$ h$ - сюръекция.

Допустим такое доказательство корректно? $ f: a \mapsto b$,$ h:a\mapsto b/2$, $g:b/2 \mapsto b$ ,$ a \in A$, $b \in B$.

[Someone]

$A$ и $B$ - произвольные множества? Тогда что такое $\frac a2$ и $\frac b2$?
А также что такое "инъекция" и "сюръекция"?

[abral]

Да, произвольные. a - произвольный элемент множества A, b - его образ.
инъективная функция переводит разные элементы в разные.
Функция сюръективна, если множество её значений все B.

-- 03.10.2012, 23:28 --

Наверное все-таки нельзя так $h$ определить.

[AV_77]

Отображение $A \to f(A)$ сюръективно.

[alcoholist]

abral в сообщении #626667 писал(а):

Докажите, что всякое отображение

подумайте, что поставить на место знака вопроса

$$ h:A\to ?,\quad g:?\to B $$

[abral]

Все равно не понимаю.

[theambient]

одно из отображений (сюръективное) вам уже показали

[Профессор Снэйп]

Кстати, как тут с обозначением для композиции. Чаще всего считают, что $(g \circ h)(x) = g(h(x))$, однако иногда встречается и "наоборот": $(g \circ h)(x) = h(g(x))$. Тут какой вариант имеется в виду?

[theambient]

Профессор Снэйп в сообщении #626844 писал(а):

Кстати, как тут с обозначением для композиции. Чаще всего считают, что , однако иногда встречается и "наоборот": . Тут какой вариант имеется в виду?

Я принял соглашения alcoholist, задавшего области определения/значений для $h,g$.

Получается, что Ваш "распространненый" вариант.

[Профессор Снэйп]

Не, ну в чём проблема-то? Любое отображение $f: X \to Y$ - это сюрьекция $X$ на $f(X)$ + инъективное вложение $f(X)$ в $Y$. Называется, сделали задачу из ничего!!!

Хотя это что?.. Мы вот со студентами примерно через месяц будем доказывать, что $2 \cdot 2 = 4$. Между прочим, целую доску исписывать приходится

[theambient]

Профессор Снэйп в сообщении #626855 писал(а):

Хотя это что?.. Мы вот со студентами примерно через месяц будем доказывать, что . Между прочим, целую доску исписывать приходится

это через кошерное определение натурального числа?

[Профессор Снэйп]

theambient в сообщении #626861 писал(а):

это через кошерное определение натурального числа?

Натуральные числа суть конечные ординалы. Сложение и умножение ординалов определяется при помощи трансфинитной индукции известным способом. И мы имеем:

$$ \begin{array}{c} 2 \cdot 2 = 2 \cdot 1^+ = (2 \cdot 1) + 2 = (2 \cdot 0^+) + 2 = ((2 \cdot 0) + 2) + 2 = (0 + 2) + 2 = (0 + 1^+) + 2 = \\ =(0 + 1)^+ + 2 = (0+ 0^+)^+ + 2 = (0+0)^{++} + 2 = 0^{++} + 2 = 1^+ + 2 = 2 + 2 = \\ = 2 + 1^+ = (2+1)^+ = (2+0^+)^+ = (2+0)^{++} = 2^{++} = 3^+ = 4 \end{array} $$

[olenellus]

Ох и крупно же Вы пишите не доске

[Профессор Снэйп]

В семинарских аудиториях бывают маленькие доски

[arseniiv]

Если принять 2 и 4 действительными, получится на сколько досок длиннее?