Вопрос по теории множеств

[theambient]

arseniiv в сообщении #626976 писал(а):

Если принять 2 и 4 действительными, получится на сколько досок длиннее?

хотябы для начала рациональными

[arseniiv]

С рациональными просто!

$\mathbb Q \equiv \left( \mathbb N^2 \times \mathbb N_{>0} \right) / \left( (a, a', b), (c, c', d) \mapsto ad + c'b = a'd + cb \right)$, при этом тройка $(a, a', b)$ задаёт рациональное число $\frac{a-a'}b$.
Умножение: $(a, a', b)\cdot(c, c', d) \equiv (((ab)c)d + ((a'b)c')d, ((a'b)c)d + ((ab)c')d, bd)$.
Теперь поехали:

\begin{gather*} (2, 0, 1)\cdot(2, 0, 1) = (((2 \cdot 1) \cdot 2) \cdot 1 + ((0 \cdot 1) \cdot 0) \cdot 1, ((0 \cdot 1) \cdot 2) \cdot 1 + ((2 \cdot 1) \cdot 0) \cdot 1, 1 \cdot 1) = \\ = [\,\textit{одна просто доска или две маленькие}\,] = \\ = (4, 0, 1). \end{gather*}