Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vorvalm]

Средняя плотность $\varphi_n(M)/M$ представляется так:

$\varphi_n(M)/M=\prod_{p>n}^p(p-n)/\prod_2^p p,\;p\mid M.$

У вас почему-то используется $r.$

[shwedka]

vicvolf в сообщении #617411 писал(а):

последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.

Вот это утверждение нужно четко сформулировать и доказать.
Слово 'превращается' математического смысла не имеет

[vicvolf]

shwedka в сообщении #617911 писал(а):

vicvolf в сообщении #617411 писал(а):

последовательность вычетов ПСВ(m) превращается в последовательность простых чисел. Поэтому, в этом случае, асимптотические оценки на бесконечности справедливы для последовательности простых чисел.

Вот это утверждение нужно четко сформулировать и доказать.
Слово 'превращается' математического смысла не имеет

Полностью с этим согласен, поэтому выделю отдельно теорему по ПСВ и отдельно теорему по простым числам, где будет описан этот переход. Сначала теорема о ПСВ.
Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности ПСВ и простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=3}^{r}{(p_i-2)} (2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
N_4(m)=\frac {4} {3}(5-2)....(p_r-2)= \prod_{i=5}^{r}{(p_i-4)} (3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".
средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
P_k(m)=N_k(m)/m=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} \cdot \prod_{i=k+1}^{r}{p_i}=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i} (4), где r>k+1.
Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности в ПСВ(m).

Теорема
\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{p_{r+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}} {\pi_{km}(x)}}=1, где \pi_{km}(x) - число указанных кортежей из k чисел не более действительного x в ПСВ(m).

Доказательство
Рассмотрим P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p_i})}/\prod_{i=1}^{k}{p_i}, где $x \leq m$, а m достаточно большое число.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение \prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}):
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...).
Используем формулу:
\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx), где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx).
Потенциируем и получаем:
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) {ln^k(x)})) /ln^k(x).
Следовательно,
\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{km}/ln^k x (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных кортежей в ПСВ(m):
P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{i\leq k} {(p)}\sim A_k \cdot C_{km}/ln^k x \prod_{i\leq k}{(p)}=C_{km}/ln^k x (6), где C_{km}=A_k \cdot C_k/\prod_{i\leq k}{(p)}.

Лемма
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Доказательство
Рассмотрим (6.1). Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Так как $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty$, $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty$ и производная и числителя и знаменателя существуют, то найдем (6.1) по правилу Лопиталя:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(\int_{a}^{x}{f(t)dt})'_x} {(\int_{a}^{x}{g(t)dt})'_x}}=lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(t)}}$.
На основании $f(x) \sim g(x)$ следует, что $lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(t)}}=1$.
Следовательно, \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1 (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$.
На основании указанной леммы предел отношения:
$\lim \limits_{x \to \infty} {{C_{km}\int_{p_{r+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}{/\pi_{km}(x)}}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {С_{km} /ln^k x} {P_{km} (x)}=1$ (7).


Следствие
Из формулы (7) и определения асимптотики функций следует:
\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{p_{r+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}, (8)
где $x \leq m$, а m достаточно большое число.
При $x=m$ \pi_{km}(m) \sim C_{km}\int_{p_{r+1}}^{m}{\frac {dt} {ln^k t}} (8.1).
Поэтому число кортежей в ПСВ(m) от x до m определяется асимптотической формулой:
$\pi_{km}(m)-\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{p_{r+1}}^{m}{\frac {dt} {ln^k t}}-C_{km}\int_{p_{r+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}=C_{km}\int_{x}^{m}{\frac {dt} {ln^k t}}$ (8.2).

Продолжение следует.

[vorvalm]

Индекс простого числа не имеет никакого отношения к числу вычетов в группе.

[vicvolf]

Между 1 и p_r+1 кортежей нет, поэтому интервал интегрирования начинается с p_r+1. это просто достаточно большое число, которое показывает какой модуль m.

Все формулы должны быть окружены знаками доллара.

[vorvalm]

Я имею в виду формулу средней плотности.

[AKM]

vicvolf,
здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).

Формулы окружаются знаками доллара (по изначальному синтаксису $\LaTeX$-a). Про тэги (что их ставить не надо, они поставятся автоматом) там написано. А знаки долларов обязательны!
Совет: Ваше

vicvolf в сообщении #621013 писал(а):

N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).

выглядело бы гораздо читабельнее в виде
$N_k(m)=A_k\prod\limits_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}\qquad(1)$
или

$$N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}.\eqno(1)$$

[vicvolf]

AKM в сообщении #621189 писал(а):

vicvolf,
здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).

Формулы окружаются знаками доллара (по изначальному синтаксису $\LaTeX$-a). Про тэги (что их ставить не надо, они поставятся автоматом) там написано. А знаки долларов обязательны!
Совет: Ваше

vicvolf в сообщении #621013 писал(а):

N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)} (1).

выглядело бы гораздо читабельнее в виде
$N_k(m)=A_k\prod\limits_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}\qquad(1)$
или

$$N_k(m)=A_k\prod_{i=k+1}^{r}{(p_i-k)}.\eqno(1)$$

Прошу прощения. В данный момент иммею доступ в инттернет только с КПК, а здесь нет знака доллара. К сожалению, возможно, еще несколько сообщений до приезда будут так выглядить!

-- 20.09.2012, 16:04 --

vorvalm в сообщении #621130 писал(а):

Я имею в виду формулу средней плотности.

Спасибо! Исправлю в следующей редакции! Дальше по тексту по-моему все нормально?

AKM:

А то, что вверху, называется "избыточное цитирование". Синоним --- "мусор на форуме".
Нет никакой нужды целиком цитировать предыдущее сообщение.

[vorvalm]

AKM:

Бессмысленный (неправильный) совет на тему "как набирать формулы" удалён.
vorvalm, почитайте азы, ссылок полно.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #617845 писал(а):

Средняя плотность $\varphi_n(M)/M$ представляется так:

$\varphi_n(M)/M=\prod_{p>n}^p(p-n)/\prod_2^p p,\;p\mid M.$

У вас почему-то используется $r.$

Не понял почему в ПСВ(30) определяется по этой формуле 3 близнеца, а на самом деле 2 - 29,31 в ПСВ(30) не входят! Все расстояния между ПСВ симметричны. Следовательно и близнецов должно быть четное количество. А по этой формуле получается нечетное.

[vorvalm]

Вы невнимательно ознакомились с определением группы вычетов.
Там сказано, что если минимальный вычет группы меньше модуля,
то группа принадлежит данной ПСВ.

-- Чт сен 20, 2012 21:26:05 --

АКМ
Понял, прочитал,простите ради бога.

[AKM]

vorvalm в сообщении #621588 писал(а):

Понял, прочитал,простите ради бога.

vicvolf в сообщении #621416 писал(а):

Прошу прощения.

(Оффтоп)

Да что же это за дела, все (не только процитированные) только и делают, что просят прощениев!

Я, помнится, как-то шлялся по городу интернету, увидел большой дом этот форум. В окна позаглядывал, благо незашторенные. Девки Задачки красивые, бухло всякое математика всякая рекой льётся. Дай, думаю, зайду.
А на пороге вывеска:

Цитата:

1.1. Запрещается использовать красный цвет приходить в красных штанах.
1.2. Формулы на футболке должны быть оформлены так-то.
1.3. Галстук обязателен.
1.4. Своё бухло приносить запрещается: здесь навалом бесплатного, проверенного.
.................
2.45. Материться запрещено.
..................
5.2. Альтернативные танцы запрещены.
и т. д. и т. п.

Я почесал репку, прикинул: только галстуку надо научиться. Некрасные штаны вроде есть, вальсок в рамках ZFC кое-как сбацаю. А про бухло --- ваще! Дочитал эту длинную петицию до конца. Всё вроде приемлемо, общечеловечно.

Купил пару галстуков (продавщица научила завязывать), пришёл. Походил год; ещё через полгодика вдруг мажордомом предложили (именно это позволяет мне теперь ходить в красных штанах). Согласился: хорошее заведение, почему бы не поддержать? Хотя, конечно, приставать к людям из-за отсутствия галстука или штанов не того цвета как-то не по мне. Но пересилил себя. Вообще счёл таковое приглашение за честь.

Но я упорно не понимаю: как вы ходите в чужие дома, не прочитав в первую очередь эту вывеску???

Развивать этот оффтоп путём отвечания на него в данной теме категорически запрещается!

[vicvolf]

Сделаю некоторые уточнения по последним замечаниям.

Количественные оценки некоторых кортежей чисел в последовательности ПСВ и простых чисел
Рассмотрим приведенную систему вычетов по модулю m=\prod_{i=1}^{r}{p_i}} - ПСВ(m), где p_i - простое число с номером i.
Назовем кортежами чисел последовательно расположенные вычеты в ПСВ(m). Рассмотрим кортежи, состоящие из k вычетов, количество которых определяется по формуле:
$N_k(m)=A_k\prod_{p>k}(p-k); p\mid m$ (1).
Примером таких кортежей для k=2 являются близнецы, так как число вычетов близнецов в ПСВ(m)
определяется по формуле:
$N_2(m)=(3-2)(5-2)....(p_r-2)= \prod_{p>2}(p-2); p\mid m$ (2).
Другим примером таких кортежей для k=4 являются 4 вычета, расстояния между которыми равны соответственно: 6,2,6, так как число таких кортежей в ПСВ(m) определяется по формуле:
$N_4(m)=\frac {4} {3} (5-2)....(p_r-2)= \frac {4} {3}\prod_{p>4}(p-4); p\mid m$ (3).
Число вычетов для кортежей в ПСВ(m) взято из темы vorvalm "Бесконечность простых близнецов".

Средняя плотность вычетов указанных кортежей в ПСВ(m) на основании (1) определяется по формуле:
$P_k(m)=N_k(m)/m=A_k \prod_{p>k}(p-k)/ \prod_{p \geq 2} p=A_k\prod_{p>k}(1-\frac {k} {p})/\prod_{2\leq k} {p}$ (4), где $p\mid m$.

Определим асимптотику числа указанных кортежей чисел в последовательности в ПСВ(m).

Теорема 1
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$, где $\pi_{km}(x)$ - число указанных кортежей из k чисел не более действительного x в ПСВ(m).

Доказательство
Рассмотрим $P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2\leq k} {p}$.
Прологарифмируем и разложим в ряд выражение $\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p})$:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=\sum_{k+1 \leq p\leq x} {ln(1-\frac {k} {p}})= -k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(\frac {1} {p})-k\sum_{k+1 \leq p\leq x}{(1/2p^2+1/3p^3+...)$.
Используем формулу:
$\sum_{p \leq x}{(\frac {1} {p})=\sum_{p\leq k}}(\frac {1} {p})+\sum_{k+1 \leq p\leq x}}{(\frac {1} {p})=M+lnln(x)+O(1/lnx)$, где М-постоянная Мертенса.
Получаем:
$ln(\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) )=C_{1k}-klnlnx+C_{2k}/lnx+o(1/lnx)$.
Потенциируем и получаем:
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) = e^{C_{1k}}(1+o(1)) {ln^k(x)})) /ln^k(x)$.
Следовательно,
$\prod_{k+1 \leq p\leq x}(1-\frac {k} {p}) \sim C_{3k}/ln^k x$ (5).
Поэтому из формулы (4) получаем асимптотику плотности указанных кортежей в ПСВ(m):
$P_{km}(x)=A_k\prod_{k+1 \leq p\leq x}{(1-\frac {k} {p})}/\prod_{2 \leq k}{p}\sim A_k \cdot C_{3k}/ln^k x \prod_{2\leq k}{p}=C_{km}/ln^k x (6), где C_{km}=A_k \cdot C_{3k}/\prod_{2\leq k} {p}$.

Лемма
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Доказательство
Рассмотрим (6.1). Числитель и знаменатель данного выражения являются функциями верхнего предела интегрирования, поэтому на основании теоремы о производной от определенного интеграла по переменному верхнему пределу производная от такой функции существует и равна подынтегральной функции, где в качестве переменной находится верхний предел.
Так как $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и производная и числителя и знаменателя существуют, то найдем (6.1) по правилу Лопиталя:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {(\int_{a}^{x}{f(t)dt})'_x} {(\int_{a}^{x}{g(t)dt})'_x}}=lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(t)}}$.
На основании $f(x) \sim g(x)$ следует, что $lim \limits_{x \to \infty} {\frac {f(x)} {g(x)}}=1$.
Следовательно, \lim \limits_{x \to \infty}{\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1 (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$.
Функция плотности $P_{km}(x)=f(x)$ и $C_{km}/ln^k x $=g(x)$ удолетворяет условиям указанной леммы, поэтому основании леммы предел отношения:
$\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C_{km}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} {ln^k t} }} {\pi_{km}(x)}}=1$ (7) или $\pi_{km}(x) \sim C_{km}\int_{k+1}}^{x}{\frac {dt} {ln^k t}}$ (8).


Продолжение следует.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #623321 писал(а):

Лемма
Пусть $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=0, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=0$ $(\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)}=\infty, \lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}=\infty)$ и $f(x) \sim g(x)$, то $\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\int_{a}^{x}{f(t)dt}} {\int_{a}^{x}{g(t)dt}}}=1$ (6.1) или $\int_{a}^{x}{f(t)dt} \sim \int_{a}^{x}{g(t)dt}$ (6.2).

Лемма ошибочна.
Пример
$f(x)=(x+1)^{-2}, g(x)=(x+2)^{-2}$

[vicvolf]

shwedka в сообщении #623372 писал(а):

Лемма ошибочна.
Пример
$f(x)=(x+1)^{-2}, g(x)=(x+2)^{-2}$

Спасибо за контпример. Жаль, в общем случае лемма ошибочна, но для функции плотности $C_{km}/ln^k x$ асимптотика правильная. Сделаю исправления.